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离散数学必备知识点总结讲解
总结离散数学知识点
第二章命题逻辑
1.前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假;
2•主析取范式:
极小项(m)之和;主合取范式:
极大项(M)之积;
3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反;
4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假;
5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写;
6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项;
7.n个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~2n-1)刚好为化简完后的主析取加主合取;
8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式;
9.推证蕴含式的方法(=>):
真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假)
10.命题逻辑的推理演算方法:
P规则,T规则
1真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法;
第三章谓词逻辑
1.一元谓词:
谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质;
多元谓词:
谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含T,存在量词用合取“;
3•既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词;
第四章集合
1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0;
2.基:
集合A中不同元素的个数,|A|;
3.幕集:
给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A);
4.若集合A有n个元素,幕集P(A)有2°个元素,|P(A)|=2|A|=2n;
5.集合的分划:
(等价关系)
1每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合;
2这几个子集相交为空,相并为全(A);
6.集合的分划与覆盖的比较:
分划:
每个元素均应出现且仅出现一次在子集中;
覆盖:
只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次;
第五章关系
1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔AXB的基数为mn,A到B上可以定义2mn种不同的关系;
2.若集合A有n个元素,则|AX\|=n2,A上有2“个不同的关系;
3.全关系的性质:
自反性,对称性,传递性;
空关系的性质:
反自反性,反对称性,传递性;
全圭寸闭环的性质:
自反性,对称性,反对称性,传递性;
4.前域(domR):
所有元素x组成的集合;
后域(ranR):
所有元素y组成的集合;
5.自反闭包:
r(R)=RUIx;
对称闭包:
s(R)=RUR-1;
传递闭包:
t(R)=RUR2UR3U……
6.等价关系:
集合A上的二元关系R满足自反性,对称性和传递性,则R称为等价关系;
7.偏序关系:
集合A上的关系R满足自反性,反对称性和传递性,则称R是A上的一个偏序关系;
8.covA二{
9.极小元:
集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一);极大元:
集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一);最小元:
比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一);最大元:
比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一);
10.前提:
B是A的子集
上界:
A中的某个元素比B中任意元素都大,称这个元素是B的上界(若存在,可能不唯一);
下界:
A中的某个元素比B中任意元素都小,称这个元素是B的下界(若存在,可能不唯一);
上确界:
最小的上界(若存在就一定唯一);
下确界:
最大的下界(若存在就一定唯一);
第六章函数
1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有2mn种不同的关系,有nm种不同的函数;
2.在一个有n个元素的集合上,可以有2n2种不同的关系,有nn种不同的函数,有n!
种不同的双射;
3.若|X|=m,|Y|=n,且m<二n,则从X到Y有a;种不同的单射;
4.单射:
f:
X-Y,对任意x「x2属于X,且xi#x2,若f(xj彳化);
满射:
f:
X-Y,对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应;
双射:
f:
X-Y,若f既是单射又是满射,则f是双射;
5.复合函数:
fog=g(f(x));
6.设函数f:
A-B,g:
B-C,那么
1如果f,g都是单射,则fog也是单射;
2如果f,g都是满射,则fog也是满射;
3如果f,g都是双射,则fog也是双射;
4如果fog是双射,则f是单射,g是满射;
第七章代数系统
1.二元运算:
集合A上的二元运算就是A2到A的映射;
2.集合A上可定义的二元运算个数就是从AXA到A上的映射的个数,即从从AXA到A上函数的个数,若|A|=2,则集合A上的二元运算的
个数为22*2=24=16种;
3.判断二元运算的性质方法:
1封闭性:
运算表内只有所给元素;
2交换律:
主对角线两边元素对称相等;
3幕等律:
主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同;
4有幺元:
元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同;
5有零元:
元素所对应的行和列的元素都与该元素相同;
4.同态映射:
的同态映射;若f是双射,则称为同构;
第八章群
1•广群的性质:
封闭性;
半群的性质:
封闭性,结合律;
含幺半群(独异点):
封闭性,结合律,有幺元;
群的性质:
封闭性,结合律,有幺元,有逆元;
2.群没有零元;
3.阿贝尔群(交换群):
封闭性,结合律,有幺元,有逆元,交换律;
4.循环群中幺元不能是生成元;
5.任何一个循环群必定是阿贝尔群;
第十章格与布尔代数
1.格:
偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界;
2.格的基本性质:
1)自反性
a a>a 2)反对称性 aa=>a=b 对偶: a>b八ba=b 3)传递性 aa 对偶: a>b八b>c=>a>c 4)最大下界描述之一 aAba AAbb 5)最大下界描述之二 cc 对偶c>a,c》b=>c》avb 6)结合律 aA(bAc)=(aAbFc 对偶av(bvc)=(avb)vc 7)等幕律 aAa=a对偶ava=a 8)吸收律 aA(avb)=a 对偶av(aAb)二a 9) a aAb=aavb=b 10) a =>aAb 11) 保序性 b aAb 12) 分配不等式 av(bAc)<(avb)八(avc) 对偶aA(bvc)>(aAb)v(aAc) 13)模不等式 a 3.分配格: 满足aA(bvc)=(aAb)v(aAc)和av(bAc)=(avb)A(avc); 4.分配格的充要条件: 该格没有任何子格与钻石格或五环格同构; 5.链格一定是分配格,分配格必定是模格; 6.全上界: 集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素,则称a为格的全上界,记为1;(若存在则唯一) 全下界: 集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素, 则称b为格的全下界,记为0;(若存在则唯一) 7.有界格: 有全上界和全下界的格称为有界格,即有0和1的格; 8.补元: 在有界格内,如果aAb=0,avb=1,则a和b互为补元; 9.有补格: 在有界格内,每个元素都至少有一个补元; 10.有补分配格(布尔格): 既是有补格,又是分配格; 11.布尔代数: 一个有补分配格称为布尔代数; 第十一章图论 1.邻接: 两点之间有边连接,贝y点与点邻接; 2.关联: 两点之间有边连接,则这两点与边关联; 3•平凡图: 只有一个孤立点构成的图; 4.简单图: 不含平行边和环的图; 5.无向完全图: n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图;有向完全图: n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图; 6.无向完全图有n(n-1)/2条边,有向完全图有n(n-1)条边; 7.r-正则图: 每个节点度数均为r的图; 8.握手定理: 节点度数的总和等于边的两倍; 9.任何图中,度数为奇数的节点个数必定是偶数个; 10.任何有向图中,所有节点入度之和等于所有节点的出度之和; 11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路; 12.可达: 对于图中的两个节点v「Vj,若存在连接Vi到比的路,则称Vi与Vj相互可达,也称Vi与Vj是连通的;在有向图中,若存在Vi到Vj的路,则称Vi到Vj可达; 13.强连通: 有向图章任意两节点相互可达; 单向连通: 图中两节点至少有一个方向可达; 弱连通: 无向图的连通;(弱连通必定是单向连通) 14.点割集: 删去图中的某些点后所得的子图不连通了,如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的,贝S这些点组成的集合称为点割集; 割点: 如果一个点构成点割集,即删去图中的一个点后所得子图是不连通的,则该点称为割点; 15.关联矩阵: M(G),mj是m与ej关联的次数,节点为行,边为列;无向图: 点与边无关系关联数为0,有关系为1,有环为2;有向图: 点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1,关联矩阵的特点: 无向图: 1行: 每个节点关联的边,即节点的度; 2列: 每条边关联的节点; 有向图: 3所有的入度 (1)=所有的出度(0); 16.邻接矩阵: A(G),aj是w邻接到Vj的边的数目,点为行,点为列; 17.可达矩阵: P(G),至少存在一条回路的矩阵,点为行,点为列; P(G)=A(G)+A2(G)+A3(G)+A4(G) 可达矩阵的特点: 表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路,以及在任何节点上是否存在回路; A(G)中所有数的和: 表示图中路径长度为1的通路条数; A2(G)中所有数的和: 表示图中路径长度为2的通路条数; a3(G)中所有数的和: 表示图中路径长度为3的通路条数; A4(G)中所有数的和: 表示图中路径长度为4的通路条数; P(G)中主对角线所有数的和: 表示图中的回路条数; 18.布尔矩阵: B(G),w到Vj有路为1,无路则为0,点为行,点为列; 19.代价矩阵: 邻接矩阵元素为1的用权值表示,为0的用无穷大表示,节点自身到自身的权值为0; 20.生成树: 只访问每个节点一次,经过的节点和边构成的子图; 21.构造生成树的两种方法: 深度优先;广度优先; 深度优先: 1选定起始点V0; 2选择一个与V。 邻接且未被访问过的节点V1; 3从W出发按邻接方向继续访问,当遇到一个节点所 有邻接点均已被访问时,回到该节点的前一个点,再寻求未被访问过的邻接点,直到所有节点都被访问过一次; 广度优先: 1选定起始点V。 ; 2访问与V0邻接的所有节点V1,V2,,Vk,这些作为第一层节点; 3在第一层节点中选定一个节点V1为起点; 4重复②③,直到所有节点都被访问过一次; 22.最小生成树: 具有最小权值(T)的生成树; 23.构造最小生成树的三种方法: 克鲁斯卡尔方法;管梅谷算法;普利姆算法; (1)克鲁斯卡尔方法 1将所有权值按从小到大排列; 2先画权值最小的边,然后去掉其边值;重新按小到大排序; 3再画权值最小的边,若最小的边有几条相同的,选择时要满 足不能出现回路,然后去掉其边值;重新按小到大排序; 4重复③,直到所有节点都被访问过一次; (2)管梅谷算法(破圈法) 1在图中取一回路,去掉回路中最大权值的边得一子图; 2在子图中再取一回路,去掉回路中最大权值的边再得一子图; 3重复②,直到所有节点都被访问过一次; (3)普利姆算法 1在图中任取一点为起点Vi,连接边值最小的邻接点v2; 2以邻接点V2为起点,找到V2邻接的最小边值,如果最小边值 比Vi邻接的所有边值都小(除已连接的边值),直接连接,否则退回Vi,连接Vi现在的最小边值(除已连接的边值); 3重复操作,直到所有节点都被访问过一次; 24.关键路径 例2求PERT图中各顶点的最早完成时间,最晚完成时间,缓冲时间及关键路径. 解: 最早完成时间 TE(vi)=O TE(v2)=max{0+1}=1 TE(v3)=max{0+2,1+0}=2 TE(v4)=max{0+3,2+2}=4 TE(v5)=max{1+3,4+4}=8 TE(v6)=max{2+4,8+1}=9 TE(v7)=max{1+4,2+4}=6 TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)=min{12-1}=11 TL(v5)=min{11-1}=10 TL(v4)=min{10-4}=6 TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-仁1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0 关键路径: v1-v3-v7-v8 Vi r2 25.欧拉路: 经过图中每条边一次且仅一次的通路; 欧拉回路: 经过图中每条边一次且仅一次的回路; 欧拉图: 具有欧拉回路的图; 单向欧拉路: 经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路; 欧拉单向回路: 经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路; 26. (1)无向图中存在欧拉路的充要条件: ①连通图;②有0个或2个奇数度节点; (2)无向图中存在欧拉回路的充要条件: ①连通图;②所有节点度数均为偶数; (3)连通有向图含有单向欧拉路的充要条件: 1除两个节点外,每个节点入度二出度; 2这两个节点中,一个节点的入度比出度多1,另一个节点的入; 度比出度少1; (4)连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件: 图中每个节点的出度二入度; 27.哈密顿路: 经过图中每个节点一次且仅一次的通路; 哈密顿回路: 经过图中每个节点一次且仅一次的回路; 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图; 28.判定哈密顿图(没有充要条件) 必要条件: 任意去掉图中n个节点及关联的边后,得到的分图数目小于等于n; 充分条件: 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数; 29.哈密顿图的应用: 安排圆桌会议; 方法: 将每一个人看做一个节点,将每个人与和他能交流的人连 接,找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图),即可; 30.平面图: 将图形的交叉边进行改造后,不会出现边的交叉,则是 平面图; 31.面次: 面的边界回路长度称为该面的次; 32.一个有限平面图,面的次数之和等于其边数的两倍; 33.欧拉定理: 假设一个连通平面图有v个节点,e条边,r个面,则 v-e+r=2; 34.判断是平面图的必要条件: (若不满足,就一定不是平面图) 设图G是v个节点,e条边的简单连通平面图,若v>=3,则ev=3v-6; 35.同胚: 对于两个图G1,G2,如果它们是同构的,或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图,则称G1,G2是同胚的;36•判断G是平面图的充要条件: 图G不含同胚于K3.3或K5的子图; 37.二部图: ①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1,V2; ②图中每条边的一个端点在V1,另一个则在V2中; 完全二部图: 二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接;判定无向图G为二部图的充要条件: 图中每条回路经过边的条数均为偶数; 38.树: 具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图; 39.节点的层数: 从树根到该节点经过的边的条数; 40.树高: 层数最大的顶点的层数; 41.二叉树: 1二叉树额基本结构状态有5种; 2二叉树内节点的度数只考虑出度,不考虑入度; 3二叉树内树叶的节点度数为0,而树内树叶节点度数为1; 4二叉树内节点的度数二边的总数(只算出度);握手定理“节点数二边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立; 5二叉树内节点的总数二边的总数+1; 6位于二叉树第k层上的节点,最多有2心个(k>=1); 7深度为k的二叉树的节点总数最多为2k-1个,最少k个(k>=1); 8如果有no个叶子,n2个2度节点,则no=匕+1; 42.二叉树的节点遍历方法: 先根顺序(DLR); 中根顺序(LDR); 后根顺序(LRD); 43.哈夫曼树: 用哈夫曼算法构造的最优二叉树; 44.最优二叉树的构造方法: 1将给定的权值按从小到大排序; 2取两个最小值分支点的左右子树(左小右大),去掉已选的 这两个权值,并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值; 3重复②,直达所有权值构造完毕; 45.哈夫曼编码: 在最优二叉树上,按照左0右1的规则,用0和1 代替所有边的权值; 每个节点的编码: 从根到该节点经过的0和1组成的一排编码;
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