中考数学复习专题讲座十方案设计型问题.docx

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中考数学复习专题讲座十方案设计型问题

2013年中考数学复习专题讲座十：

方案设计型问题

一、中考专题诠释

方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。

随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。

二、解题策略和解法精讲

方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：

测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。

所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。

这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。

解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。

三、中考考点精讲

考点一：

设计测量方案问题

这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。

所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。

例1（2012•河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：

tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析：

设AB=x米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到BE=AB=x，然后在Rt△ABD中得到tan31°=

．求得x=24．然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC即可．

解答：

解：

设AB=x米．

∵∠AEB=45°，∠ABE=90°，

∴BE=AB=x

在Rt△ABD中，tan∠D=

，

即tan31°=

．

∴x=

≈

=24．

即AB≈24米

在Rt△ABC中，

AC=

=25．

即条幅的长度约为25米．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．

考点二：

设计搭配方案问题

这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。

它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。

解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。

例2（2012•内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：

造型花卉

甲

乙

A

80

40

B

50

70

（1）符合题意的搭配方案有几种？

（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？

最低成本为多少元？

考点：

一元一次不等式组的应用。

专题：

应用题；图表型。

分析：

（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可．

（2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案．

解答：

解：

（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，

则有

，

解得37≤x≤40，

所以x=37或38或39或40．

第一方案：

A种造型37个，B种造型23个；

第二种方案：

A种造型38个，B种造型22个；

第三种方案：

A种造型39个，B种造型21个．

第四种方案：

A种造型40个，B种造型20个．

（2）分别计算三种方案的成本为：

①37×1000+23×1500=71500元，

②38×1000+22×1500=71000元，

③39×1000+21×1500=70500元，

④40×1000+20×1500=70000元．

通过比较可知第④种方案成本最低．

答：

选择第四种方案成本最低，最低位70000元．

点评：

此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性，

（1）根据图表信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答；

（2）为最优化问题，根据

（1）的结果直接计算即可．

考点三：

设计销售方案问题

在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。

在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。

通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。

近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。

例5（2012•广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．

（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？

（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？

（3）上面的哪种购买方案最省钱？

按最省钱方案购买需要多少钱？

考点：

一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

分析：

（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：

①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；

（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：

①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；

（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据

（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用．

解答：

解：

（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：

，

解得：

．

答：

购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．

（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：

，

解得：

99≤a≤101

，

∵a为正整数，

∴a=99，100，101，则电脑依次买：

297台，296台，295台．

因此该校有三种购买方案：

方案一：

购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；

方案二：

购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；

方案三：

购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块；

（3）解法一：

购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：

方案一：

295×4000+101×15000=2695000（元）

方案二：

296×4000+100×15000=2684000（元）

方案三：

297×4000+99×15000=2673000（元）

因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元．

解法二：

设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，

则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000，

∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元）

因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．

点评：

此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．

考点四：

设计图案问题

图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。

这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。

例6（2012•遵义）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有13

种．

考点：

利用轴对称设计图案．

分析：

根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．

解答：

解：

如图所示：

故一共有13种做法，

故答案为：

13．

点评：

此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．

四、真题演练

一、选择题

2．（2012•本溪）下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

利用平移设计图案．

专题：

探究型．

分析：

根据平移及旋转的性质对四个选项进行逐一分析即可．

解答：

解：

A、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误；

B、是利用图形的旋转和平移得到的，故本选项错误；

C、是利用图形的平移得到的，故本选项正确；

D、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误．

故选C．

点评：

本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形经过平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．

3．（2012•丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A．①B．②C．③D．④

考点：

利用旋转设计图案．

分析：

通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称．

解答：

解：

如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．

故选B．

点评：

本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．

4．（2012•广元）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点：

利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．

分析：

根据旋转、轴对称的定义来分析．

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；

轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．

解答：

解：

图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；

图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；

图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；

图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．

故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．

故选A．

点评：

考查了旋转和轴对称的性质．①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应角相等．

二、填空题

5．（2012•杭州）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（-1，1），（-2，-2），（0，2），（-2，-3）

．

考点：

利用轴对称设计图案．

分析：

根据轴对称图形的定义：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．

解答：

解：

如图所示：

A′（-1，1），A″（-2，-2），C（0，2），D（-2，-3）

故答案为：

（-1，1），（-2，-2）），（0，2），（-2，-3）．

点评：

此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．

6．（2012•漳州）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）．

（1）先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形；

（2）完成上述设计后，整个图案的面积等于20

．

考点：

利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．

专题：

探究型．

分析：

（1）根据图形对称的性质先作出关于直线l的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形即可；

（2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论．

解答：

解：

（1）如图所示：

先作出关于直线l的对称图形； 

再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向

旋转90°后的图形．

（2）∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，

∴原图形的面积为5，

∴整个图案的面积=4×5=20．

故答案为：

20．

点评：

本题考查的是利用旋转及轴对称设计图案，熟知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等是解答此题的关键．

三、解答题

7．（2012•山西）实践与操作：

如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．

（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．

（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．

考点：

利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．

分析：

（1）利用正方形边长的一半为半径，以边长中点为圆心画半圆，画出两个半圆即可得出答案；

（2）利用

（1）中图象，直接拼凑在一起得出答案即可．

解答：

解：

（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．  

（2）在图4中画出符合题目要求的图形．        

评分说明：

此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题目要求即可给分．

点评：

此题主要考查了利用轴对称设计图案，仿照已知，利用轴对称图形的定义作出轴对称图形是解题关键．

9．（2012•丹东）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？

（参考数据：

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）

考点：

解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：

首先B点作BD⊥AC，垂足为D，根据题意，得：

∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，然后分别在Rt△ABD与Rt△CBD中，利用余弦函数求得BD与BC的长，继而求得答案．

解答：

解：

过B点作BD⊥AC，垂足为D．

根据题意，得：

∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，

在Rt△ABD中，

∵cos∠ABD=

，

∴cos37○=

≈0.80，

∴BD≈10×0.8=8（海里），

在Rt△CBD中，

∵cos∠CBD=

，

∴cos50○=

≈0.64，

∴BC≈8÷0.64=12.5（海里），

∴12.5÷30=

（小时），

∴

×60=25（分钟）．        

答：

渔政船约25分钟到达渔船所在的C处．

点评：

此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．

10．（2012•长春）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为108cm，支架OA与水平晾衣杆OC的夹角∠AOC为59°，求支架两个着地点之间的距离AB．（结果精确到0.1cm）[参考数据：

sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66]

考点：

解直角三角形的应用．

分析：

作OD⊥AB于点D，在直角三角形OAD中，利用已知角的余弦值和OA的长求得AD的长即可求得线段AB的长．

解答：

解：

作OD⊥AB于点D，

∵OA=OB

∴AD=BD

∵OC∥AB

∴∠OAB=59°，

在RtAOD中，AD=OA•cos59°，

∴AB=2AD=2OA•cos59°=2×108×0.52≈112.3cm．

答：

支架两个着地点之间的距离AB约为112.3cm．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解

12．（2012•河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．

（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？

试写出所有可能的方案．

考点：

一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用。

分析：

（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆．

（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况．

解答：

解：

（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，

则125（1+x）2=180，

解得x1=0.2=25%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）

∴180（1+20%）=216（辆），

答：

该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆；

（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，

则

，

由①得b=150﹣5a，

代入②得20≤a≤

，

∵a是正整数，

∴a=20或21，

当a=20时b=50，当a=21时b=45．

∴方案一：

建室内车位20个，露天车位50个；

方案二：

室内车位21个，露天车位45个．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出2012年的家庭电动自行车量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解．

15．（2012•丹东）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样．规定：

顾客在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球，第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客消费刚好满300元，则在本次消费中：

（1）该顾客至少可得10

元购物券，至多可得80

元购物券；

（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率．

考点：

列表法与树状图法．

分析：

（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的购物券，至多可得的购物券的金额；

（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

解答：

解：

（1）根据题意得：

该顾客至少可得购物券：

0+10=10（元），至多可得购物券：

30+50=80（元）．

故答案为：

10，80．                    

（2）列表得：

0

10

30

50

0

-

（0，10）

（0，30）

（0，50）

10

（10，0）

-

（10，30）

（10，50）

30

（30，0）

（30，10）

-

（30，50）

50

（50，0）

（50，10）

（50，30）

-

∵两次摸球可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额不低于50元的结果共有6种．                            

∴该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率是：

．

点评：

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是不放回实验．

17．（2012•铁岭）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．

（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？

（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？

考点：

一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

分析：

（1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；

（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24﹣m）个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案．

解答：

解：

（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元

依题意得：

解得：

答：

设每个笔记本3元，每支钢笔5元．

（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24﹣m）个

依题意得：

解得：

12≥m≥10

∵m取正整数

∴m=10或11或12

∴有三种购买方案：

①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．

②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．

③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．

点评：

本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．

18．（2012•南充）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．

（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？

（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．

考点：

一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

分析：

（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．根据题意：

“租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元”；“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”；列出方程组，求解即可；

（2）根据汽车总数不能小于

（取整为6）辆，即可求出共需租汽车的辆数；设出租用大车m辆，则租车费用Q（单位：

元）是m的函数，