中考相似三角形动点问题分类讨论问题培优及答案docx.docx
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2018年中考复习相似动点分类讨论
1.如图,已知一个三角形纸片ABC,BC边的长为8,BC边上的高为6,B和C都为锐角,M为AB一动点(点M与点A、B不重合),过点M作MN∥BC,交AC于点N,在△AMN中,设MN的长为x,MN上的高为h.
(1)请你用含x的代数式表示h.
(2)将△AMN沿MN折叠,使△AMN落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面
的点为A1,△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,当x为何值
时,y最大,最大值为多少?
【答案】解:
(1)QMN∥BC
h
x
3x
△AMN∽△ABC
8
h
6
4
(2)Q△AMN≌△A1MN△A1MN的边MN上的高为h,
①当点
A1落在
四
边形
BCNM
内或
BC
边上时,
yS△A1MN=
1
1
3
3
2
(0
x≤4)
MN·h
2
x·x
8
x
2
4
②当A1落在四边形BCNM外时,如下图(4
x
8)
,
设△A1EF的边EF上的高为h1,则h1
2h
6
3x
6
2
QEF∥MN
△A1EF∽△A1MN
Q△A1MN∽△ABC
△A1EF∽△ABC
S△A1EF
2
1
h1
QS△ABC
6
824
S△ABC
6
2
3x6
2
3
2
2
S△A1EF
24x
12x24
6
2
Qy
S△A1MNS△A1EF
3x2
3x2
12x
24
9x2
12x24
所
8
2
8
y
9x2
12x
24
(4
x
8)
A
8
综上所述:
当0
x≤4时,y
3x2,取x
4,y最大
6
9
8
16
当4
x8
时,y
x2
12x24
,取x
,y最大
8
8
3
M
N
BEFC
A1
Q86当x
16时,y最大,y最大
8
3
2.如图,抛物线经过
A(4,0),B(10),,C(0,2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过
P作PM
x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,
M为顶点的三角形与
△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点
P的坐标;若不存在,请
说明理由;
【答案】解:
(1)该抛物线过点
C(0,
2)
,可设该抛物线的解析式为
yax
2
bx2.
Q
将A(4,0),B(1,0)代入,
16a
4b
2
,
a
1,
1
5
得
0
解得
2
此抛物线的解析式为
y
x
2
x
2.
a
b
2
0.
5
2
2
b.
2
(2)存在.
如图,设P点的横坐标为m,则P点的纵坐标为
1m2
5m
2,
2
2
当1m4时,AM
4m,PM
1m25m2.
2
2
又
Q
COA
PMA
,
①当AM
AO
2
△APM∽△ACO,
90°
PM
OC
时,
1
即4
m
2
1m2
5m
2
.解得m1
2,m2
4(舍去),
P(21),.
2
2
②当AM
OC
1
时,△APM∽△CAO,即2(4
m)
1
m2
5
m
2
.
PM
OA
2
2
2
解得m1
4,m2
5
(均不合题意,舍去)
当
1
m
4
时,P(2,1)
.
类似地可求出当
m4
时,P(5,2)
.
当m
1时,P(
3,14).综上所述,符合条件的点
P为(2,1)
或(5,2)
或(
3,14).
3.如图,已知直线
2
x
8与直线
l2
:
y
2x16
相交于点
,、
l2
分别交x轴于
l1:
y
3
Cl1
3
A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,顶点F、G都在x轴上,且
点G与点B重合.
(1)求△ABC的面积;
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;
(3)若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数
关系式,并写出相应的t的取值范围.
y
l2
l1y
E
C
D
A
O
F
(G)
Bx
【答案】
(1)解:
由2
8
0
4.A点坐标为
40
x
3
3
,得x
,.
由
2x160,x
8.B
点坐标为
8,0.AB8
412.
得
∴
y
2
8
,
x
,
x
3
5
5,6.∴
由
3
解得
.∴C点的坐标为
y
2x
.
y
6
16
S△ABC
1
·
1
12
6
.
2
AByC
2
36
28
8
(2)解:
∵点D在l1上且xD
xB
8,yD
8.∴D点坐标为
8,8.
3
3
又∵点E
在l
2
上且y
E
y
D
8,2x168.x
4.∴
E
点坐标为
,.∴
E
E
48
OE
8
4
4,EF
8.
(3)解法一:
①当0≤t
3时,如图1,矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形
CHFGR
(t
0
时,为四
边形CHFG
).过C作CM
AB于M,则
Rt△RGB∽Rt△CMB.
y
l2
y
y
l1
l2
l1
l2
l1
E
E
E
D
D
D
C
C
C
R
R
R
A
O
FMGBx
AFOGMBx
FAGO
M
Bx
(图1)
(图2)
(图3)
∴BG
RG,即t
RG,∴RG2t.
BM
CM
3
6
QRt△AFH∽Rt△AMC,
S△AFH361
1
28
∴
S
S△ABCS△BRG
t2t
8
t
t.
即
2
2
3
S
4t2
16t
44.·············································
3
3
3
G(8-t,0)∴GR=2
8
2t,
当3
t
8时,如图2,为梯形面积,∵
(8
t)
3
3
8
3
∴s
1
4[2(4t)
8
82t]
8t
80
2
3
3
3
3
3
当8
t
12时,如图3,为三角形面积,
1
2t
t)
t2
s
2
(8)(12
8t48
3
3
4.如图,矩形
ABCD中,AD3
厘米,AB
a厘米(a
3
).动点M,N同时从B点
出发,分别沿
BA,B
C运动,速度是
1厘米/秒.过
M作直线垂直于
AB,分别
交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)若a
4厘米,t1秒,则PM
______厘米;
(2)若a
5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比;
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形
PMBN与梯形PQDA的面积相等,求
a的取值
范围;
(4)是否存在这样的矩形:
在运动过程中,存在某时刻使梯形
PMBN,梯形PQDA,梯
形PQCN的面积都相等?
若存在,求
D
Q
C
D
a的值;若不存在,请说明理由.
P
N
3
A
M
B
A
【答案】解:
(1)PM
,
4
(2)t2,使△PNB∽△PAD,相似比为3:
2
(3)QPM⊥AB,CB⊥AB,AMP
ABC,
△AMP∽△ABC,
PM
AM
即
PM
a
t,QPM
t(at)
,
t(a
1)
BN
AB
t
a
a
QM
3
a
(QP
AD)DQ
(MPBN)BM
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,即
2
2
3
t(at)
3(a1)
t(at)tt
6a
a
a
化简得t
,
2
2
6
a
Qt≤3,
6a≤3,则a≤6,3
a≤6,
6a
(4)Q3a≤6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等
QC
N
P
MB
梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可,则CNPM
t(at)3t,把t6a代入,解之得a23,所以a23.
a6a
所以,存在a,当a23时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.
5.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q
到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?
【答案】解:
(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以
0
BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP又.因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形.
(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,
所以S△BPQ=1
×BP×QE=1
(6-t)×3t=-
3
2
2
2
2
t+33t;
0
0
0
(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60
,∠RQC=∠B=60,又因为∠C=60,
所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t因.为BE=BQ·cos600=1×2t=t,
2
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,
所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,
0
0
所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR~△PRQ,
所以∠QPR=∠A=600,所以tan60
0=QR,即6
2t
3,所以t=6,所以当t=
6时,△
PR
3t
5
5
APR~△PRQ
6.在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90o,CB=3,OA=6,BA=35.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
(3)点M是
(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使
以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请
说明理由.
y
M
CB
D
E
N
OAFx
(第26题图1)
O
A1
.7.在图15-1至图15-3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45.°
M
D
2
B
(1)如图15-1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系;
N
(2)将图
15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图
15-2,其中AO=OB.
求证:
AC=BD,AC⊥BD;
D
(3)将图
15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
2
BD
图7-1
M
O
D
2
M
图15-3,求
的值.
OE
A
AC
A
B
【答案】
解:
(1)AO=BD,AO⊥BD;
1
C
NF
N
图4
1C
图7-2
B
M
(2)证明:
如图4,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠ACO=∠BEO.
又∵AO=OB,∠AOC=∠BOE,∴△AOC≌△BOE.∴AC=BE.
又∵∠1=45°,∴∠ACO=∠BEO=135°.∴∠DEB=45°.
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