复数的三角形式及乘除运算Word格式文档下载.docx
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贝|Jargz/=ZAY?
z/=O\
argZ2=Zxoz2=“2
argz(z?
—z?
)=argz=Zxoz="
3)复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如(cos0i+/sin〃])Z2=/'
2(cos“2十isin”2)
①乘法:
z=zi•zi=n*n[cos(^2)+/sin(〃2)]
如图:
其对应的向量分别为OZ]oz2oz
T7
V1>
若〃2>
0则由OZ]逆时针旋转“2角模变为OZ]的门
<
2>
若〃2<
0则由向量o石顺时针旋转怏|角模变为门5所得向疑便是积Zl*Z2=Z的向量OZ。
为此,若已知复数乙的辐角为U,22的辐角为B求U+B时便可求岀Z1-Z2=ZaZ对应的辐角就是«
+P这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
②除法才=召*6=色=±
[cos(q-02)+isin(&
]-&
2)](其中0工0)
Z2r2
除法对于辐角主要是“相减”(被除数的辐角一除数的辐角)依向量旋转同乘法简述如下:
1洱>
0时云顺时针旋转&
2角。
02V0时石逆时针旋转角。
例1・下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式:
(1)Z1=-2(cos0+isin0)
(2)Z2=cos0-isiii0(3)Z3=-sm0-ricos0
(4)Z4=-sinO-icos0(5)Z5=cos60°
+isin30°
分析:
由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向•变形时,可按照如下步骤进行:
首先确左复数z对应点所在象限(此处可假左e为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确左辎角•此步骤可简称为“立点-泄名-定角"
•这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率.
解:
(1)由“模非负”知,不是三角形式,需做变换:
Zi=Z(-cos6-ism0)
复平Zi(-2cose,-2sm0)在第三象限(假左0为锐角),余弦“-cosh已在前,不需再变换三角函数爼称,因此可用诱导公式%+旷将e变换到第三象限.AZ1=Z(-cosO-isin0)=2[cos(^e)+ism(7r+e)]
(2)由“加号连“知,不是三角形式
复平而上点Z2(cos0.-sinO)在第四象限(假定6为锐角),不需改变三角函数统称,可用诱导公式“2心旷或詬“将G变换到第四象限.
:
.Z2=cosG-isin0=cos(-O)+isin(-6)或Zf=cos0-isinG=cos(27r-0)-Hsin(2n-0)
考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一.
(3)由“余弦前“知,不是三角形式
复平而上点Z3(-sm0,cosO)在第二象限(假立8为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式
同理(4)
7t-0)-risin(
乙1=・sin0-icos0=cos(
7T-0)
(5)
Z5=cos60°
=
SOO)
=(叶1)
UISI+
••
=1
)
小结:
对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点•有了“左点一>
定冬T定角“这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题.
例2.求复数Z=l+cos0+ism0(7r<
0<
27r)的模与辐角主值.
式子中多3个TS只有将消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消T:
v"
乙>
e>
”•••
(i)……(
=-2cos
(-cos
-isin
/•r=-2cos
ArgZ=7r+
+2kn(kGZ)
h<
tc+
2tt»
argZ=7r+
r=2cos
小结:
(1)式右端从形式上看似乎就是三角形式•不少同学认为
argZ=
ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑8角范圖因此一泄要用“模非负,角相同,余弦前,加号连'
來判断是否为三角形式•看了这道例题,你一左能解决如Zi=l-cosO+isin0(jr<
27r)iZ2=l+cos0-isinO(7r<
27r)等类似问题.
例3.将
Z=(7T<
37T)化
为三角形式,并求其辐角主值.
三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦:
下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化.
=cos20+isiii20
7i<
3n,・:
20<
6tt,
H<
20-47r<
2ni/.argZ=20-4^
掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一立要明确,即要分析式子结构•比较苴与三角形式的异同,从而决左变形的方向,采用正确的方法•要求学生做好每道例题后的反思,并能由此及彼,举一反三,达到熟练解决一类问题的目的,如i-itge,tg0-i,i-ctge等.
2.复数Z的模IZI的几何意义是:
复平而上点Z到原点距离,复数模IZ「Z2l的几何意义是:
复平面上两点乙,
Z2之间距离.辐角几何意义是:
以X轴正半轴为角始边,以向量
在射线为终边的角记为Arg乙在[0,2町范围内的辐角称辐角主值,记为arg乙要求学生不仅要理解以上所说各几何意义,还要运用几何意义去解决相关问题.
例4.若ZGc,IZ-2|wl,求IZI的最大,最小值和argZ范围.
解:
法一,数形结合
由IZ-2|<
1,知Z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),IZI表示圆而上任一点到原点的距离.
显然1<
|Z|<
3,.-.121^=3,IZImin=l,
期设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由ICAI=1,IOCI=2知
兀,2兀)
【0,〕U[
法二:
用代数形式求解IZI的最大,最小值,设Z=x+yi(x,yGR)则由IZ-2|<
1得(x-2)2+y2<
L
V(x-2)2+y2<
l,/.(x-2)2<
l,A-1<
x-2<
1,A1<
x<
3,
•••l<
4x-3<
9,A1<
3.
在一题多解的基础上,分析比较各种方法的异同,如何做好方法的选择•务种方法的本质和优势,通过分析与比较都一目了然.
例5•复数Z满足arg(Z+3)=兀
求lz+6l+lz-3il最小值.
由两个复数模的和取最小值,联想到一个点到两个左点距离和的最小值,将之转化为几何问题来解决应比较简便.
x0A=7T,而
IZ+6l+IZ-3il=l(z+3)-(-3)l+l(Z+3)-(3+3i)l
将B(・3,0)与C(3,3)连结,BC连线与0A交点为D,取Z+3为D点,表示复数时,
,•:
所求最小值
IZ+6l+IZ-3il=IBDI+IDCI=IBCI=3
应是平行于0A,且过点(-3,0)的射线BM,
・•.IZ+6l+IZ-3il就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和,连结PQ与射线BM交于点N,取E为N点表示复数时,
IZ+6l+IZ-3il=IPNI+INQI=IPQI=3
・•・所求最小值=3
两种方法的本质相同,都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解,难度会很大.对有关最值问题,尤其是模(距离)和辐角主值最值问题,用数形结合方法显然较为简便.
例6.已知IZ・2i$l,求arg(Z-4i)M大值.
点Z轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆面,在其上任取一点乙连Z与点(0,4)得一以(0,4)为起点,Z为终点的向屋,将起点平移到原点,则8为其对应的辐角主值,显然arg(Z-4i)最大
值为7T.
3.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,英几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.两个复数相除,商的模等于模的商(除数不为零),辐角为两辐角之差,其几何意义同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边三角形、直角三角形,平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘(乘方),相除及乘除混合运算.
例7.若
分别表示复数Zi=l+2
Z2=7+
i,求ZZ2OZi并判断AOZ亿2的形状.
欲求ZZQ乙,可计算
•••ZZ2OZ1=
由余弦左理,设lOZil二k.
k.
IOZ2l=2k(k>
0)IZiZ2l2=k2+(2k)2-2k.2k-cos
•••IZ1Z2』
而k?
+(
k)L(2k)2,•••△OZZ为有一锐角为60。
的直角三角形.
此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便.
例&
已知直线/过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-l.O)和B(0.8)关于/的对称点都在C上,求直线/与抛物线C的方程.
如图,建立复平面xOy,设向量
对应复数分别为
xi+yii,xz+yzi.
由对称性,IOAl=IOAI=l,IOB1=IOBI=8,
X2+yzi=(xi+yii)8i=-8yi+8xii
设抛物线方程为y2=2px(p>
0)则有yr=2pxb
yz2=2px2.
yF=p2,XIOA1=L
)2+p2=l,•••
或・
(舍)
x,直线方程
・•・抛物线方程为y2=
为:
y=x.
对于解析几何的许多问题,若能借助于复数的向量来表示,常常有意想不到的功效•尤其涉及到特殊位置,特殊关系的图形时,尤显其效.
五、易错点
1.并不是每一个复数都有唯一确左的辐角主值•如复数零的模为o,辐角主值不确左.
2.注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角,而argZ表示复数Z的辐角主值.
ArgZ=argZ+2kH(kGZ),argZG[0,2tt),辐角主值是[0.2町内的辐角,但辐角不一泄是辐角主值.
3.复数三角形式的四个要求:
模非负,角相同,余弦前,加号连,缺一不可.任何一个不满足,就不是三角形式.
4.注意复数三角形式的乘除运算中,向量旋转的方向.
六、练习
1.写岀下列复数的三角形式
(sinG-icosO)
2•设
Z=(-3+3i)YnG
N,当ZGR时,n为何值?
IdE
3.在复平面上A,B表示复数为a,p(a#O),且片(l+i)s判断AAOB形状,并证明
Saaob=
参考答案:
1.
(1)ai=
[cos(
n-0)+isin
(3)
(sm0-icos0)=
[C
+0)-risiii(
+9)]
2.n为4的正整数倍
3.法一:
•••(!
◎卩=(l+i)a
AOB=
分别表示复数a,p-a,
由p-a=ai,得
+isin
=i=cos
•••ZOAB=90°
•••AAOB为等腰直角三角形.
Tl
1*1,
|=|p-a|=|ai|=|a|,A
|=|p|=|(l+i)a|=
l2+l
l2=|a|2+|a|2=
AAAOB为等腰直角三角形,•••
I-1
1=
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选择题
则实数a的值是()
1.若复数z=(a+i)2的辐角是
D.
2.已知关于x的实系数方程x:
+x+p二0的两虚根/b满足a-b二3,则p的值是()
A、一2
D、1
3.设兀〈0<
,则复数
的辐角主值为()
A、2—30
B、30-2n
C、30
D、3()-n
4.复数
cos+isin经过n
次乘方后,所得的幕等于它的共辄复数,则n的值等于()
CA.3「B、12「C、6k-l(kGZ)「D.6k+l(kGZ)
5.z为复数,
广的图形是()
A、直线
B、半实轴长为1的双曲线
C、焦点在X轴,半实轴长为的双曲线右支D、
不能确泄
答案与解析
答案:
1、B
2、C3.B4、C5、C
解析:
1・•/z=(a+i)==(a'
-l)+2ai,argz=
/.4pT二9,p=
故本题应选C・
=cos3
3・
()+isin3()・
故本题应选B・
4.由题意,得
)n=co
=cos
由复数相等的左义,得
解得
=2kn
(kGZ),An=6k-1.故本题应选C・
a=的双曲线右支,故本题应选C.
复数三角形式的运算•疑难问题解析
1.复数的模与辐角:
(1)复数模的性质:
Izrz2I=Iz,I•Iz2I
(2)辐角的性质:
积的辐角等于各因数辐角的和.商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.一个复数n次幕(nWN)的辐角等于这个复数辐角的n倍.
注意:
(1)辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如下而两个问题:
若arg(2-i)=a,arg(3-i)=p,求a邙的值.(a+pG(3;
r,4町)
若arg(2-i)=a,arg(3-i)=p,求arg[(2-i)(3-i)]的值.
(2)两个复数乘积的辐角主值不一怎等于两辐角主值的和,商的辐角主值不一泄等于辐角主值的差.
2.关于数的开方
(1)复数的开方法则:
r(cose+isui0)的n次方根是
几何意义:
对应
所以,复数Z的】】次方根,在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点.
(2)复数平方根的求法.
求・3・4i的平方根.
解法一利用复数代数形式.设的平方根为x+yi(x>
yGR),则有
(x+yi)2=3・4L即(x2・y2)+2xyi=3・4i,由复数相等条件,得
A-3-4i的平方根是±
(l-2i).法二利用复数的三角形式.
3・复数集中的方程.
关于实系数的一元二次方程的解法:
设ax2+bx+c=0(aRa,b,cER,XuX2为它的两个根)可以充分利用复数z的整体性质,复数z的三种表示方法及其转换来解方程.已知方程x2-4x+p=0两虚数根为a、卩,fi|a-p|=2求实数p的值.
解法1•••实系数一元二次方程虚根共馳设a=a+bn
p=a-bi»
(a,b£
R)/.a+p=2a=4,•:
a=2
又V|a-p|=2,AI2bil=2得5=±
1
即两根为2+i,2・i由韦达定理得:
p=(2+i)(2-i)=5
法2由芾达定理可得:
a+p=4,a0=p
于是a-p|2=|(a-p)2|=|(a+P)2-4ap|=|42-4pl=4,即l4-pl=l
又VA=42-4p<
0p>
4,Ap-4=1,得p=5
说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别.
一等式成立.若有两个虚根则上述等式不成立.因为丨a-卩IV(a-P)2.因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系,要避免出现混淆与干扰.
已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根,求实数a的值.
分析已知方程有模为1的根,此根可能是实数,也可能是虚数,故求实数a要注意分域讨论.
解⑴若所给方程有实根则厶=(3a)2-4x2(a2-a)=a2+8a>
0,即a<
-8或a>
由条件得根必为1或-1,
①将x=l代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解.
即a2-a-2=0t/.a=-l或a=2(舍)
己知方程x2-(2i-l)x+3ni-i=0有实数根,求实数in.
分析求实数m的范用,若用判别式来判断是错误的,因为此方程的系数是复数.
利用求根公式或用韦达圮理或选用复数相等,解方程组来求实数m均可以.现仅介绍一种方法.解Vx»
mER,方程变形可得,(x2+x+3m)-(2x+l)i=0
复数例题讲解与分析
例1.已知x,y互为共轨复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.
[思路1]:
确圧一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角,设z=a+bi或三角形式,化虚为实。
[解法1]:
设x=a+bi(a.beR),则y=a・bi,代入原等式得:
(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i.
[思路2]:
*y互为共IT含义?
Tx+yGR,xyGR,则(x+y)2・3xyi=4・6i
•••由韦达立理可知:
x,y同是方程:
z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根.分别解两个一元二次方程则得x,y……(略)。
例2.已知zecjzl=l且z?
知,则复数()
A、必为纯虚数B、是虚数但不一宦是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数
【思路分析]:
选择题,从结论的一般性考虑,若z=±
l,显然A、B选项不成立,分析C、D选项,显然穷举验证不能得出一般结论只能推演
[法1]设z=a+bi.a,beR.a2+b2=l,a=iO.
则
Co
WR,故,应选
),
[法2]设z=cos0+ism0(0GR,且
ER.
[法4]•••当lzl=l时有z・
eR.
[法5]•••复数z为实数的充要条件是车
Vlzl=l时,
.•・GRo
[评注]:
复习中,概念一泄要结合意义落实到位,一方而深化理解(比如复数泄义:
“形如a+bi(a.bGR)的数叫复数“深入理解就有凡是复数都能写成这样,求一个复数,使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实:
……。
同时对一些概念的等价表达式要熟知。
(比如:
z=a+bieR
b=O(a.bGR)
z2>
0;
z+=0(z#0)
z2<
0:
)
在面对具体问题时要有简捷意识(比如该例方法1,有同学可能会在算到
时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行),多方理解挖掘题目立意。
例3.求使关于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.
[思路分析1:
根的判别式只适用实系数的一元二次方程,虚系数有实根用两复数相等,化虚为实。
设xo为方程的一个实根,则有
xo2+mx<
)+2+(2xo+m)i=O
m=±
2
例4・设zWC,arg(z+2)=arg(z-2)=
[思路分析]:
常规思路,设z=a+bi,由已知列关于a.b的方程求解:
数形结合思想,由题设可知z+2对应的
z・2对应
点A在射线OA上,ZAOX=
的点B应在射线OB上,
ZBOX=
z对应的点Z应在AB中点上,IABI=4,AB〃0x轴,
ZAOB=
故而易得:
z=-l+
(略)
例5.设x,yGR,zi=2-
x+xi.
z?
已知IZll=IZ2b
y-i+(
・y)i,
arg
(1)求
)叫?
⑵设
求集合A={xlx=z2k+zA
kGZ}中元素的个数。
理解已知>IZll=IZ2b
含义?
=i,即zI=z2i->
两复数相等->
x,y.
l(cos
Zl=Z2i,
■
2-
x+xi=[
x=y=
[简评]1°
本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法,如果把两个已知条件割裂开来去考虑,则需要解关于x,y的二元二次方程组,其运算肯立很麻烦:
2°
在计算题中对1的立方根之一:
w=-
i的特性要
熟知即w・—
3=1,
=w2,l+w+w2=
点设汁问题是命题经常参考的着眼点。
(2)[思路分析]:
由
(1)知
i,z的特性:
z=cos+isin
Z?
=W,,z2k+z-2k可怎么理解呢?
(Z2)k+(Z2Xk,7^+
言
+
WA\+M*Z+得Z
令I
当k=3m时,z2k+z*2k=(w3)m+(w3ym=2,
当k=3m+l时,z2k+z'
2k=w3m-w+w3m-wd=w+w,=w+
当k=3m+2时,z2k+z-2k=w3m.w2+w3m-w2=w2+w2=w3-w^+w3-w=w!
+w=-1,
综上可知,集合A中有2个元素。
[法2]:
Vlzl=
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- 复数 三角 形式 乘除 运算