高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第五章平面向量.docx
- 文档编号:5445779
- 上传时间:2023-05-08
- 格式:DOCX
- 页数:49
- 大小:143.19KB
高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第五章平面向量.docx
《高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第五章平面向量.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第五章平面向量.docx(49页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第五章平面向量
第五章平面向量
全国卷年考情图解
高考命题规律把握
1.高考在本章一般命制1个小题,分值占5分.
2.高考在本章重点考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的数量积及应用、向量的平行与垂直,难度一般较小.
3.本章一般不涉及解答题,在知识的交汇上往往以三角函数、解析几何、概率等为载体进行考查.
第一节
平面向量的概念及线性运算
一、基础知识批注——理解深一点
1.向量的有关概念
(1)向量的定义及表示:
既有大小又有方向的量叫做向量.以A为起点、B为终点的向量记作,也可用黑体的单个小写字母a,b,c,…来表示向量.
(2)向量的长度(模):
向量的大小即向量的长度(模),记为||.
任意向量a的模都是
非负实数,即|a|≥0.
2.几种特殊向量
名称
定义
备注
零向量
长度为0的向量
零向量记作0,其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
单位向量记作a0,a0=
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)
0与任意向量共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量
相反向量
长度相等且方向相反的两个向量
若a,b为相反向量,则a=-b
单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与向量a平行的单位向量有两个,即向量和-.
3.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
❷
(1)交换律:
a+b=b+a;
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb
❷向量加法的多边形法则
多个向量相加,利用三角形法则,应首尾顺次连接,a+b+c表示从始点指向终点的向量,只关心始点、终点.
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).
(2)=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( )
(2)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.( )
(3)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
(二)选一选
1.下列说法正确的是( )
A.单位向量都相等
B.模为0的向量与任意向量共线
C.平行向量不一定是共线向量
D.任一向量与它的相反向量不相等
解析:
选B 对于A,单位向量的模相等,方向不一定相同,所以A错误;对于B,模为0的向量为零向量,零向量和任意向量共线,所以B正确;对于C,共线向量是方向相同或相反的非零向量,也叫平行向量,所以C错误;对于D,零向量与它的相反向量相等,所以D错误.故选B.
2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
A.||=||一定成立 B.=+一定成立
C.=一定成立D.=-一定成立
解析:
选A 在平行四边形ABCD中,=+一定成立,=一定成立,=-一定成立,但||=||不一定成立.故选A.
3.设a,b都是非零向量,下列四个选项中,一定能使+=0成立的是( )
A.a=2bB.a∥b
C.a=-bD.a⊥b
解析:
选C “+=0,且a,b都是非零向量”等价于“非零向量a,b共线且反向”,故答案为C.
(三)填一填
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=________.
解析:
|-+|=|++|=||=2.
答案:
2
5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
解析:
由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)],
所以解得
答案:
-
[典例] 给出下列命题:
①若a=b,b=c,则a=c;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中正确命题的序号是________.
[解析] ①正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
②正确.∵=,∴||=||且∥,
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则∥且||=||,因此,=.
③不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
④不正确.考虑b=0这种特殊情况.
综上所述,正确命题的序号是①②.
[答案] ①②
[解题技法] 向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
[题组训练]
1.给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②λa=0(λ为实数),则λ必为零;
③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2D.3
解析:
选D ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.③错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故错误的命题有3个,故选D.
2.设a0为单位向量,下列命题中:
①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,假命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.
综上所述,假命题的个数是3.
[典例]
(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.-B.-
C.+D.+
(2)如图,在直角梯形ABCD中,=,=2,且=r+s,则2r+3s=( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析]
(1)作出示意图如图所示.=+=+=×(+)+(-)=-.故选A.
(2)根据图形,由题意可得=+=+=+(++)=+(+)=+=+.
因为=r+s,所以r=,s=,则2r+3s=1+2=3.
[答案]
(1)A
(2)C
[解题技法] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:
①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
(4)与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
[题组训练]
1.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+ B.=-
C.=+D.=-
解析:
选A 由题意得=+=+=+-=-+.
2.(2019·太原模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ=________.
解析:
如图,∵=+=+=+,①
=+=+,②
由①②得=-,=-,
∴=+=+=-+-=+,
∵=λ+μ,∴λ=,μ=,λ+μ=.
答案:
[典例] 设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3a-3b,
求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.
[解]
(1)证明:
∵=a+b,=2a+8b,=3a-3b,
∴=+=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,
∴,共线.
又∵它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb同向,
∴存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb.
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的非零向量,
∴解得或
又∵λ>0,∴k=1.
[解题技法]
1.共线向量定理的3个应用
证明向量共线
对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb(b≠0),则a与b共线
证明三点共线
若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线
求参数的值
利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
2.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.
[题组训练]
1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形D.以上都不对
解析:
选C 由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.
2.已知向量e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,若向量a与向量b共线,则( )
A.λ=0B.e2=0
C.e1∥e2D.e1∥e2或λ=0
解析:
选D 因为向量e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,又因为向量a和b共线,存在实数k,使得a=kb,所以e1+λe2=2ke1,所以λe2=(2k-1)e1,所以e1∥e2或λ=0.
3.已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 设E是BC边的中点,则(+)=,由题意得=,所以==(+)=+,又因为B,O,D三点共线,所以+=1,解得t=,故选B.
4.已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
解析:
选D 由=+,得-=,∴=·,∴点P在射线AB上,故选D.
1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A. B.
C.D.
解析:
选A 由题意得+=(+)+(+)=(+)=.
2.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为( )
A.1B.-
C.1或-D.-1或-
解析:
选B 由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),
于是λa+b=k.
整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.
由于a,b不共线,所以有
整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.
又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.
3.设向量a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( )
A.-2B.-1
C.1D.2
解析:
选B 因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.
4.(2019·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点,=-4,则=( )
A.-B.+
C.-D.+
解析:
选B 法一:
设=x+y,由=-4可得,+=-4-4,即--3=-4x-4y,则解得即=+,故选B.
法二:
在△ABC中,=-4,即-=,则=+=-=-(+)=+,故选B.
5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+,则等于( )
A.1B.2
C.3D.
解析:
选C 因为=-=+-=,=-=+-=,所以=3.故选C.
6.已知△ABC的边BC的中点为D,点G满足++=0,且=λ,则λ的值是( )
A.B.2
C.-2D.-
解析:
选C 由++=0,得G为以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此=-2,则λ=-2.故选C.
7.下列四个结论:
①++=0;②+++=0;
③-+-=0;④++-=0,
其中一定正确的结论个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选C ①++=+=0,①正确;②+++=++=,②错误;③-+-=++=+=0,③正确;④++-=+=0,④正确.故①③④正确.
8.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且=,=,AC,MN交于点P.若=λ,则λ的值为( )
A.B.
C.D.
解析:
选D ∵=,=,∴=λ=λ(+)=λ=λ+λ.∵点M,N,P三点共线,∴λ+λ=1,则λ=.故选D.
9.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.
解析:
因为向量λa+b与a+2b平行,
所以可设λa+b=k(a+2b),则所以λ=.
答案:
10.若=,=(λ+1),则λ=________.
解析:
如图,由=,可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点,
则=-,结合题意可得λ+1=-,所以λ=-.
答案:
-
11.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________.(用a,b表示)
解析:
如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.
答案:
b-a -a-b
12.(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD中,M为BC的中点.若=λ+μ,则λ-μ=________.
解析:
如图,在平行四边形ABCD中,=,所以=+=+=+(-)=+(-)=+-,所以=+,所以=+,所以λ=,μ=,所以λ-μ=.
答案:
13.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.
(1)求证:
A,B,D三点共线;
(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
解:
(1)证明:
由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
∵=2e1-8e2,
∴=2.
又∵与有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)由
(1)可知=e1-4e2,
∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
∴存在实数λ,使=λ,
即3e1-ke2=λe1-4λe2,
得
解得k=12.
第二节
平面向量基本定理及坐标表示
一、基础知识批注——理解深一点
1.平面向量基本定理
(1)定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:
不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底;
(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;
(3)如果对于一组基底e1,e2,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则可以得到
2.平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a+b=(x1+x2,y1+y2),
a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法:
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),
||=.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
当且仅当x2y2≠0时,a∥b与=等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
二、基础小题强化——功底牢一点
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( )
(3)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成=.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
(二)选一选
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=( )
A.(-2,-1) B.(-2,1)
C.(-1,0)D.(-1,2)
解析:
选D 因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=(1,1)-(1,-1)=-=(-1,2).
2.在△ABC中,点D在边AB上,且=,设=a,=b,则=( )
A.a+bB.a+b
C.a+bD.a+b
解析:
选B =+=+=+(+)=+=b+a,故选B.
3.已知平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为( )
A.B.
C.D.
解析:
选D ∵=+=(-2,3)+(3,7)=(1,10),∴==,
∴=.
(三)填一填
4.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=________.
解析:
2a+b=(4,2),因为c∥(2a+b),所以4λ=2,解得λ=.
答案:
5.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a,b表示).
解析:
因为=3,所以==(a+b),又因为=a+b,所以=-=(a+b)-=-a+b.
答案:
-a+b
考点一 平面向量基本定理及其应用
[典例] 如图,以向量=a,=b为邻边作平行四边形OADB,=,=,用a,b表示,,.
[解] ∵=-=a-b,
==a-b,
∴=+=a+b.
∵=a+b,
∴=+
=+
==a+b,
∴=-=a+b-a-b=a-b.
综上,=a+b,=a+b,=a-b.
[解题技法]
1.平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.
(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.
2.应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线,就可以作为平面向量的一组基底,基底可以有无穷多组.
(2)利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.
[题组训练]
1.在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=AB,BQ=BC,若=a,=b,则=( )
A.a+b B.-a+b
C.a-bD.-a-b
解析:
选A 由题意知=+=+=+(-)=+=a+b.
2.已知在△ABC中,点O满足++=0,点P是OC上异于端点的任意一点,且=m+n,则m+n的取值范围是________.
解析:
依题意,设=λ(0<λ<1),
由++=0,知=-(+),
所以=-λ-λ,由平面向量基本定理可知,
m+n=-2λ,所以m+n∈(-2,0).
答案:
(-2,0)
[典例] 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b,
(1)求3a+b-3c;
(2)求M,N的坐标及向量的坐标.
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)设O为坐标原点,∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
∴M(0,20).又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
∴N(9,2),∴=(9,-18).
[变透练清]
1.本例条件不变,若a=mb+nc,则m=________,n=________.
解析:
∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=(5,-5),
∴
解得
答案:
-1 -1
2.已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且=3,则||=________.
解析:
设P(x,y),由题意可得A,B两点的坐标分别为(2,3),(4,-1),由=3,可得
解得故||=.
答案:
[解题技法]
1.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
2.向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同.
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算.
(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分.
[典例] 已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
[解]
(1)∵a=(1,0),b=(2,1),
∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),
∵ka-b与a+2b共线,
∴2(k-2)-(-1)×5=0,∴k=-.
(2)=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).
∵A,B,C三点共线,∴∥,
∴8m-3(2m+1)=0,∴m=.
[解题技法]
1.平面向量共线的充要条件的2种形式
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.
(2)若a∥b(b≠0),则a=λb.
2.两个向量共线的充要条件的作用
判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 三维设计 高考数学三维设计高考总复习一轮资料Word学案第五章 平面向量 高考 数学 复习 一轮 资料 Word 第五 平面 向量
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)