学年人教B版高中数学必修3教学案第一章中国古代数学中的算法案例可直接打印.docx
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学年人教B版高中数学必修3教学案第一章中国古代数学中的算法案例可直接打印
预习课本P27~32,思考并完成以下问题
(1)如何求两个数的最大公约数?
(2)秦九韶算法的原理是什么?
1.“更相减损之术”
更相减损之术就是对于给定的两个数,以两数中较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成一对新数,再用较大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差和较小的数相等,此时相等的两数便为两个原数的最大公约数.
2.割圆术
割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的方法.
3.秦九韶算法
把一元n次多项式函数P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写:
P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,
令vk=(…(anx+an-1)x+…+an-(k-1))x+an-k,
则递推公式为
其中k=1,2,…,n.
这样求一元n次多项式P(x)的值就转化为求n个一次多项式的值,这种求n次多项式值的方法就叫做秦九韶算法.
1.用更相减损术求98与63的最大公约数时,需做减法的次数为( )
A.4 B.5
C.6D.7
解析:
选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进行6次减法.
2.225与150的最大公约数是( )
A.15B.30
C.45D.75
解析:
选D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75),所以225与150的最大公约数是75.
3.已知多项式f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x-
,用秦九韶算法求f(-2)等于( )
A.-
B.
C.
D.-
解析:
选A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x-
,∴f(-2)=-
.
4.用圆内接正多边形逼近圆,因而得到的圆周率总是________π的实际值.
解析:
用割圆术法求出的是π的不足近似值.
答案:
小于
求最大公约数
[典例] 求261和319的最大公约数.
[解] 319-261=58,
(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29),所以319与261的最大公约数是29.
“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤
第一步,给定两个正整数m,n(m>n).
第二步,计算m-n所得的差k.
第三步,比较n与k的大小,其中大者用m表示,小者用n表示.
第四步,若m=n,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
[活学活用]
1.用更相减损之术求36与135的最大公约数,需做减法的次数是________.
解析:
(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→(18,9)→(9,9),故共进行了6次减法运算.
答案:
6
2.求378与90的最大公约数.
解:
法一:
378-90=288,
288-90=198,
198-90=108,
108-90=18,
90-18=72,
72-18=54,
54-18=36,
36-18=18,
∴378与90的最大公约数是18.
法二:
378=90×4+18,
90=18×5,
∴378与90的最大公约数是18.
用秦九韶算法求多项式的值
[典例] 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当x=2时的值.
[解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.
而x=2,所以有
v0=8,
v1=8×2+5=21,
v2=21×2+0=42,
v3=42×2+3=87,
v4=87×2+0=174,
v5=174×2+0=348,
v6=348×2+2=698,
v7=698×2+1=1397.
所以当x=2时,多项式的值为1397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写.
(2)计算应由内向外依次计算.
(3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.
[活学活用]
用秦九韶算法写出当x=3时,f(x)=2x5-4x3+3x2-5x+1的值.
解:
因为f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1,
v0=2,v1=2×3+0=6,v2=6×3-4=14,v3=14×3+3=45,v4=45×3-5=130,v5=130×3+1=391,
所以f(3)=391.
[层级一 学业水平达标]
1.78与36的最大公约数是( )
A.24 B.18
C.12D.6
解析:
选D (78,36)→(42,36)→(36,6)→…→(6,6).
2.用秦九韶算法求多项式f(x)=x3-3x2+2x-11的值时应把f(x)变形为( )
A.x3-(3x+2)x-11
B.(x-3)x2+(2x-11)
C.(x-1)(x-2)x-11
D.((x-3)x+2)x-11
解析:
选D f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-11.
3.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6,则f(10)的值为________.
解析:
由秦九韶算法,得
f(x)=x3-2x2-5x+6
=(x2-2x-5)x+6
=((x-2)x-5)x+6.
当x=10时,
f(10)=((10-2)×10-5)×10+6
=(8×10-5)×10+6
=75×10+6
=756.
答案:
756
4.求168,54,264的最大公约数.
解:
为简化运算,先将三个数用2约简为84,27,132.
由更相减损之术,先求84与27的最大公约数.
84-27=57,57-27=30,30-27=3,
27-3=24,24-3=21,21-3=18,18-3=15,
15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3,
故84与27的最大公约数是3.
再求3与132的最大公约数.
易知132=3×44,所以3与132的最大公约数就是3.
故84,27,132的最大公约数是3,
即168,54,264的最大公约数是6.
[层级二 应试能力达标]
1.用更相减损术求459与357的最大公约数,需要做减法的次数为( )
A.4B.5
C.6D.7
解析:
选B 459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51,所以459与357的最大公约数为51,共做减法5次.
2.用秦九韶算法求多项式f(x)=0.5x5+4x4-3x2+x-1,当x=3时的值时,先算的是( )
A.3×3B.0.5×35
C.0.5×3+4D.(0.5×3+4)×3
解析:
选C 把多项式表示成如下形式:
f(x)=((((0.5x+4)x+0)x-3)x+1)x-1,按递推方法,由内往外,先算0.5x+4的值.
3.4830与3289的最大公约数为( )
A.23 B.35
C.11D.13
解析:
选A 4830=1×3289+1541;
3289=2×1541+207;
1541=7×207+92;
207=2×92+23;92=4×23;
∴23是4830与3289的最大公约数.
4.根据递推公式
其中k=1,2,…,n,可得当k=2时,v2的值为( )
A.v2=anx+an-1
B.v2=(anx+an-1)x+an-2
C.v2=(anx+an-1)x
D.v2=anx+an-1x
解析:
选B 根据秦九韶算法知v0=an,v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2=(anx+an-1)x+an-2.
5.用“更相减损之术”求128与48的最大公约数,第一步应为________________.
解析:
先求128-48的值,即128-48=80.
答案:
128-48=80
6.117与182的最大公约数等于________.
解析:
(117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13),所以其最大公约数为13.
答案:
13
7.阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0时,框图中A处应填入________.
解析:
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,先用秦九韶算法改为一次多项式,
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
f1=an;k=1,f2=f1x0+an-1;
k=2,f3=f2x0+an-2;…;
归纳得第k次fk+1=fkx0+an-k.故A处应填an-k.
答案:
an-k
8.用秦九韶算法计算多项式f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64,当x=2时的值.
解:
将f(x)改写为f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64,v0=1,v1=1×2-12=-10,v2=-10×2+60=40,v3=40×2-160=-80,v4=-80×2+240=80,v5=80×2-192=-32,v6=-32×2+64=0.所以f
(2)=0,即x=2时,原多项式的值为0.
9.现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干,要焊接一批正方体模型,问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料?
解:
为了使所焊接正方体的体积最大,需找出两种规格的钢筋的最大公约数.使用更相减损之术:
(5.6,2.4)→(3.2,2.4)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8).因此将正方体的棱长设计为0.8米时,正方体的体积最大且不浪费材料.
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列赋值语句正确的是( )
A.s=a+1 B.a+1=s
C.s-1=aD.s-a=1
解析:
选A 赋值语句的格式为“变量=表达式”,“=”的左侧只能是单个变量,故B、C、D均不正确.
2.在用“更相减损之术”求98和56的最大公约数时,操作如下:
(98,56)→(56,42)→(42,14)→(28,14)→(14,14).由此可知两数的最大公约数为( )
A.98B.56
C.14D.42
解析:
选C 由更相减损术可知两数最大公约数为14.
3.阅读如图所示的程序框图,下列说法正确的是( )
A.该框图只含有顺序结构、条件分支结构
B.该框图只含有顺序结构、循环结构
C.该框图只含有条件分支结构、循环结构
D.该框图包含顺序结构、条件分支结构、循环结构
解析:
选D 阅读程序框图,可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件分支结构,故选D.
4.如图是计算函数y=
框图,在①②③处应分别填入的是( )
A.y=ln(-x),y=0,y=2x
B.y=ln(-x),y=2x,y=0
C.y=0,y=2x,y=ln(-x)
D.y=0,y=ln(-x),y=2x
解析:
选B 当x>-2不成立时,有x≤-2,则①处填入y=ln(-x);
当x>-2成立时,若x>3成立,则y=2x,则②处填入y=2x;
若x>3不成立,即-2 则③处填入y=0. 5.由下面循环语句可知输出的结果是( ) A.5B.6 C.7D.8 解析: 选C 程序执行的功能是S=1+2+3+…+i,当i=6时,S>20,终止循环,此时输出的i=7. 6.执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的a的值为-1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为( ) A.0.2,0.2B.0.2,0.8 C.0.8,0.2D.0.8,0.8 解析: 选C 当a=-1.2时,执行第一个循环体,a=-1.2+1=-0.2<0再执行一次第一个循环体,a=-0.2+1=0.8,第一个循环体结束,输出;当a=1.2时,执行第二个循环体,a=1.2-1=0.2,输出. 7.已知函数f(x)= 写f{f[f (2)]}的算法时,下列哪些步骤是正确的( ) S1 由2>0,得f (2)=0; S2 由f(0)=-1,得f[f (2)]=f(0)=-1; S3 由-1<0,得f(-1)=-1+1=0, 即f{f[f (2)]}=f(-1)=0. A.S1B.S2 C.S3D.三步都对 解析: 选D 以上三步遵循由内向外的计算顺序,计算结果正确,所以三步都对. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为( ) A.7B.6 C.5D.4 解析: 选B 第一次运行: S=0+(-1)1×1=-1<3;第二次运行: n=2,S=-1+(-1)2×2=1<3;第三次运行: n=3,S=1+(-1)3×3=-2<3;第四次运行: n=4,S=-2+(-1)4×4=2<3;第五次运行: n=5,S=2+(-1)5×5=-3<3;第六次运行: n=6,S=-3+(-1)6×6=3,满足S≥3.故输出n的值为6,故选B. 9.若如图所示的程序框图输出的S的值为126,则条件①为( ) A.n≤5B.n≤6 C.n≤7D.n≤8 解析: 选B 由题知,第一次循环后,S=2,n=2;第二次循环后,S=6,n=3;第三次循环后,S=14,n=4;第四次循环后,S=30,n=5;第五次循环后,S=62,n=6;第六次循环后,S=126,n=7,满足了S=126,循环结束,所以条件①为n≤6. 10.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是4,则程序框图中的处理框“①”处应填写的是( ) A.n=n-1B.n=n-2 C.n=n+1D.n=n+2 解析: 选C 因为起始n=1,输出的n=4,所以排除A、B.若“①”处填n=n+1.则S= =-1,n=2,判断-1≠2,继续循环;S= = ,n=3,判断 ≠2,继续循环;S= =2,n=4,判断2=2,则输出n的值为4,故选C. 11.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6的值,当x=-4时,v4的值为( ) A.-57B.124 C.-845D.220 解析: 选D 依据秦九韶算法有v0=a6=3,v1=v0x+a5=3×(-4)+5=-7,v2=v1x+a4=-7×(-4)+6=34,v3=v2x+a3=34×(-4)+79=-57,v4=v3x+a2=-57×(-4)+(-8)=220,故选D. 12.执行如图所示的程序框图,若输出S= ,则输入整数n=( ) A.8B.9 C.10D.8或9 解析: 选D 在条件成立的情况下,执行第一次循环后,S= ,i=4;执行第二次循环后,S= ,i=6;执行第三次循环后,S= ,i=8;执行第四次循环后,S= ,i=10.若n=8或n=9,此时10≤n不成立,退出循环,输出S= ,因此n=8或n=9,故选D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.下列程序运行后输出的结果为________. 解析: 当x=5时,y=-20+3=-17, 所以最后输出的x-y=5-(-17)=22. 答案: 22 14.用秦九韶算法求多项式P(x)=8x4-17x3+7x-2,当x=21的值时,需把多项式改写为________. 解析: 根据秦九韶算法的原理可知,把多项式改写为P(x)=(((8x-17)x+0)x+7)x-2. 答案: P(x)=(((8x-17)x+0)x+7)x-2 15.定义某种运算⊗,S=a⊗b的运算原理如下图所示,则0⊗(-1)=________;设f(x)=(0⊗x)x-2⊗x,则f (1)=________. 解析: 因为0>-1, 故S=0⊗(-1)=|-1|=1. 又因为,0<1,故0⊗1=0.而2>1, 故2⊗1=1. 故f (1)=(0⊗1)×1-2⊗1 =0-1=-1. 答案: 1 -1 16.执行如图所示的框图所表达的算法,如果最后输出的S值为 ,那么判断框中实数a的取值范围是________. 解析: 当1≤a<2时,输出的S值为 = ; 当2≤a<3时,输出的S值为 = ; 当3≤a<4时,输出的S值为 = ;…; 当2015≤a<2016时,输出的S值为 . 答案: [2015,2016) 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求72,120,168的最大公约数. 解: 由更相减损之术,得 168-120=48,120-48=72,72-48=24, 48-24=24, 故120和168的最大公约数是24. 而72-24=48,48-24=24, 故72和24的最大公约数也是24, 所以72,120,168的最大公约数是24. 18.(本小题满分12分)编写一个程序,输出使1+4+7+…+i≥300成立的最小的正整数i. 解: 程序如下: 19.(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=3时的值. 解: f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x, 所以当x=3时, v1=7×3+6=27, v2=27×3+5=86, v3=86×3+4=262, v4=262×3+3=789, v5=789×3+2=2369, v6=2369×3+1=7108, v7=7108×3=21324, 故x=3时,多项式f(x)的值为21324. 20.(本小题满分12分)某公司为激励广大员工的积极性,规定: 若推销产品价值在10000元之内的年终提成5%;若推销产品价值在10000元以上(包括10000元),则年终提成10%,设计一个求公司员工年终提成f(x)的算法的程序框图. 解: 程序框图如下图所示: 21.(本小题满分12分)如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着边线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,△APB的面积为y,求y与x之间的函数关系式并画出程序框图. 解: 函数关系式为 y= 程序框图如图所示: 22.(本小题满分12分)给出30个数1,2,4,7,11,…,其规律是: 第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,依此类推,要计算这30个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示). (1)请在图中①处和②处填上合适的语句,使之能完成算法功能; (2)根据程序框图写出程序. 解: (1)①处应填i≤30,②处应填p=p+i. (2)程序如下:
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