科学网《信息智能与逻辑高级学术论坛》中何华灿的部分文章选.docx

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科学网《信息智能与逻辑高级学术论坛》中何华灿的部分文章选

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《信息、智能与逻辑高级学术论坛》

研究通讯第四期（统一无穷理论专辑）中何华灿的部分文章选

注：

《信息、智能与逻辑高级学术论坛》不是个公开的网站，而是由西北工大基础研究基金和中国人工智能学会人工智能基础专委会于2007年4月开始创办的系列小型学术会议，具体由何华灿主持召开。

一般每年开一次，专门探讨信息时代需要的核心基础理论问题，每次邀请国内知名学者和年轻学人20-30开会集中讨论，平时则通过e-mail讨论酝酿讨论话题，不定期地在内部编辑发行《研究通讯》交流讨论心得，大家认为讨论话题酝酿成熟后再正式编辑成书出版，向外公开论坛的讨论成果，但这不影响个人单独公开发表自己在论坛上的发言内容。

论坛已经在西北工业大学出版社出版3卷《信息、智能与逻辑》5册，由何华灿等人主编，大都是关于数理辩证逻辑的研究成果。

最近2年

主要讨论《统一无穷理论》话题，如果参与者认为某些讨论话题已经成熟，可能会公开出版新的论文集。

目前网友们已经熟悉的张景中、沈卫国、吕陈君、殷业都是

论坛中的主角之一，他们已单独发表了自己在论坛上的部分发言，这符合论坛惯例。

其他论坛成员也可能会公开发表自己在论坛上的发言，但是作为集体讨论的论文

专辑，则需要共同认为酝酿成熟后才能正式出版，目前论文集的初稿正在编辑和讨论修改之中，不益公开发表。

且根据参与者自己的选择，他可匿名或实名地出现在

论文集中。

现在我只能应网友的要求，公布部分何华灿自己的发言。

论文集的前言

从上个世纪开始，由于电报、电话和电子计算机等信息传输和处理工具的陆续出现，把人类带到了信息时代。

为信息时代打开历史大门的金鈅匙是图灵机原理、递归函数论和电子学。

近60多年来，信息处理的主要对象已经发生了重大改变，从最初的确定信息处理、进入到现在的智能信息处理。

开始50多年的主要任务是处理机械系统中的确定信息，使用的是传统的处理工具和方法，其理论基础是经典逻辑和“老三论”，属于初级信息化阶段；现在出现了越来越多的复杂系统中的不确定信息需要处理，使用的处理工具和方法都必须是智能化的，其理论基础是非经典逻辑和“新三论”，属于中级信息化阶段。

从能源工具出现之后500多年的近代史可以看出，工具的革命必然推动数学、科学理论和产品技术的革命。

现在，人类将再次进入工具、产业、科学技术、科学理论和数学等各方面“一条龙式”的原始创新高峰期，可统称为信息革命。

我们应该在信息革命中做些什么？

由图灵机原理可知，影响信息处理的两个最基本的科学概念是“逻辑”和“无穷”，处在智能化信息处理阶段的我们，必须针对处理复杂系统中不确定信息的需要，重新认识和界定“逻辑”和“无穷”这两个最基本的科学概念，为信息革命做点实事。

为此，编者根据自己的毕生感悟提出了“两个基本信念”并提倡进行“两场理论革命”：

①智能信息处理需要柔性逻辑学，建立柔性逻辑学需要进行第二次数理逻辑革命，实现辩证逻辑的数学化；②无穷大和无穷小都是唯一存在的实数，建立统一无穷理论需要进行一场新的数学基础理论革命。

根据这“两个基本信念和两场理论革命”，何华灿等人已写成两本专著《泛逻辑学原理》和《统一无穷理论》在科学出版社出版。

本论文集是过去一年半中在《论坛》内部讨论《统一无穷理论》的发言专辑，它包括作者自己对书的介绍、朋友们的肯定性评价、论坛上的各种质疑和讨论、佐证支持的文章等4大部分。

从某种意义上看论文集是研究和应用数理辩证逻辑的珍贵材料，与前三期《研究通讯》一脉相承，特提供给有兴趣的朋友们研究参考。

其中记录的都是在讨论中迸发出来的“思想火花”，这些“思想火花”来

源于下列不同视角和观点的激烈碰撞：

统一无穷理论的直接探索者及其同盟军、学校基础理论创新研究的倡导者和管理者、资深数学家和层次无穷理论的坚定维护

者、其他科学工作者。

他们中间有老、中、青三代人，有从事数学、逻辑、哲学、计算机和人工智能学科的专家，有院士、教授、研究员、编辑、工程师和学生。

所

以，这些“思想火花”是

在基础理论创新过程中形成的鲜活的科学思维结晶，具有典型性、草创性和启迪性。

相比之下，那些已经发展完善了的基础理论体系，虽然在自己的领域里发育十分

成熟，方方面面都能自圆其说，却失去了探索新领域的思想活力，显得闭关自守、循规蹈矩，老态龙钟。

科学理论发展的不变规律是：

所有已经成熟的理论体系必然

排斥一切新思想的“入侵”，只能在老框框的范围内按照既定规矩“增高加厚”。

编者认为，这些“思想火花”在探索新领域的过程中异常珍贵，千万不要把它们当成“科学垃圾”给扔掉了。

历史上一个科学理论发展的重要转折常常开始于某个人头脑中一次偶然迸发的“思想火花”，后来所有人的全部努力不过是在给业已燃烧起来的火焰中“添材送风”而已，“思想火种”是异常珍贵的精神财富，它不愧是各个科学理论体系中的“人文始祖”，是这些“思想火种”开创了一个学科！

通过阅读本专辑的各种材料，读者可以亲身感受到辩证逻辑对数学理论形成的奠基性作用，以及形式逻辑对数学理论大厦构建地基的封固性作用：

从表面上看数学理论是一个形式演绎系统，与辩证逻辑“毫无关系”，甚至“水火不容”。

而事实上，要构建一个数学理论“大厦”，必须事先通过辩证逻辑（建筑师1）在数学家头脑里形成一个完整的基本信念X作为“地基”，它以基本定义、基本规定和基本公理的形式（称为“领域公理组”假设）出现在数学理论体系中，作为所有推理的总前提条件。

在数学理论体系建立之前，基本信念X（“领域公理组”假设）是完全自由的，只要它内部不自相矛盾，什么内容都可以，它能够任意变化。

一旦基本信念X（“领域公理组”假设）被确定下来之后，数学家就可以在它的基础上组合派生出各种次生的定义、规定和公理，然后利用形式逻辑（建筑师2）提供的原理和方法推出各种引理，证明各种定理和性质，形成一个完备而无矛盾的形式系统大厦X-S。

建成后的X-S反过来会凭借自己完备而无矛盾的整体属性，把“地基”X牢牢地封闭在“大厦”之内不允许再有任何修改，一切有悖于“地基”X的其它信念都不允许在“大厦”X-S中存在。

所以，X-S大厦是建立在X上的完全封闭的自洽系统，它本身不能向X外扩张，只能在X上按照既定的规矩“增高加厚”。

如果要想突破X的局限性，包含更多的客观规律，他必须把原来的基本信念X扩大，这个过程只能在X-S大厦之外通过“建筑师1”来完成。

因为只有辩证逻辑才永远保持着开放的姿态，可以接纳各种新思想的出现，重新归纳出不同于X的基本信念Y。

在新的地基Y上，“建筑师2”仍然可以通过形式逻辑来建立Y-S大厦。

一般会有两种不同的情况出现：

①一是XìY，这时可以把X-S大厦作为子建筑包容在Y-S大厦中。

②二是X和Y不相交，这时X-S大厦和Y-S大厦彼此独立，它们将作为一个更大的建筑群的两个独立组成部分存在其中。

不管是哪种情况，新的Y-S大厦将拥有自己的概念、规定、原理和方法，并可通过特殊的退化或者转换机制与X-S大厦中的概念、规定、原理和方法相对应。

但是，试图用X-S大厦中的概念、规定、原理和方法去否定Y-S大厦中的各种原始根据和推理结论，那将是完全错误的，因为它们的立论基础已经完全不同。

不清楚这一点，把已经存在的数学理论当成“绝对真理”，那就会阻碍数学的“创新性发展”，结果是数学只能在原有认识的基础上按照既定规矩“增高加厚”。

历史早已用事实否定了这种“循规蹈矩”的数学发展观。

数学发展史告诉我们，几千年来数学的发展过程一直是有两种模式在交替地进行：

正常模式--在原有的“天地”内按照既定规矩“增高加厚”；反常模式--在新的“天地”内进行“创新性发展”，

形成新的规矩，建立新的数学大厦。

在数千年内整个数学的发展经历了从有穷数学到常量数学、从常量数学到变量数学的两次大的反常发展期，在数百年内变量数学

的发展又经历了两次小的反常发展期：

从经典微积分到标准分析，从标准分析到非标准分析。

在除此之外的其它时间内，数学都处在正常发展期。

不同正常发展期数

学家们的集体“基本信念”是不同的。

建立有穷数学F-S的基本信念F主要是：

①从1开始通过+1操作形成的自然数都是有穷整数；②从1开始通过分割操作形成的小数都是有穷小数。

建立常量数学PI-S的基本信念PI主要是：

①有穷自然数可无限地延伸，没有最大元存在；②有穷小数可无限地延伸，没有最小元存在。

建立变量数学AI-S的过程比较曲折，其“基本信念”的归纳在编者提出统一实无穷观之前经历过两次变迁。

第一次是变量实无穷观1AI，其要点是：

①实无穷大变量是比任何有穷自然数都大的变量，它要多大就能有多大，其极限是￥；②实无穷小变量是比任何有穷小数都小的变量，它要多小就能有多小，其极限是0。

对应的数学理论1AI-S是经典微积分。

第二次是穷竭（极限）实无穷观2AI，其要点是：

①有穷自然数的无限延伸形成了一个实无穷集合，其“势”是最小的实无穷大w；②为了包容无理数，单位区间实数应该是1通过实无穷大w次分割操作（二进制中是对分）形成的小数，它共有2w个不同的编码，是另外一个实无穷集合。

③实无穷小是0。

对应的数学理论2AI-S是标准分析，层次实无穷理论是其理论基础。

后来出现的非标准分析是对标准分析认识局限性的一种补充。

现在编者提出了统一无穷观UAI，其要点是：

①根据无穷概念的双相性，潜无穷过程和实无穷过程应该同时并存，各司其职，不能相互排斥、相互代替或相互转换。

②根据完整的自然数谱和完整的单位区间实数谱，层次无穷理论的错误是把潜无穷大w当成了实无穷大￥。

实际上，通过+1操作形成的自然数集和通过对分操作形成的单位区间实数集都是￥位编码，共有2￥个，差别仅仅是小数点的位置不同。

③根据无穷位编码仍是无穷个的ICI原理，2￥=￥是实无穷大的基本性质，实无穷大的分层没有理论根据。

④实无穷小d=1/￥唯一存在。

UAI是建立在完整数谱基础上的科学实无穷观，它能够包容1AI和2AI两种实无穷观中的合理部分，克服它们的局限性，更加科学合理。

其对应的变量数学理论UAI-S能够把标准分析和非标准分析统一在一个完整的理论中。

编者认为，变量数学系统2AI-S的内部虽然完备而无矛盾，一切可以自圆其说。

但是，它的基本信念2AI具有明显的认识局限限，只有突破这些认识局限性（而不是逻辑演绎方面的错误），在UAI基础上才能建立完善的变量数学大厦UAI-S。

现在的首要任务是厘清实无穷的基本概念，发现层次无穷理论的2AI从那一个基本概念开始走偏了（认识错了），把它彻底纠正过来，为变量数学理论体系的最后建立清理出完整可靠的地基UAI，然后才有可能进入构建形式系统UAI-S的技术细节讨论。

如果硬是要用2AI-S中的已有概念、规定、原理和方法来评价UAI中的各种基本主张，那是不恰当的，两者的基本信念已经有很多的不同。

犹如我们不能根据欧氏几何学中三角形三内角之和等于180度的结论，去排斥非欧几何学中三角形三内角之和大于或者小于180度的结论那样。

有了牢固的地基，上层建筑中的技术细节才是有意义的。

我们论坛上一切争论和分歧，从本质上讲就是如何看待辩证逻辑（建筑师1）和形式逻辑（建筑师2）的关系问题，或者说就是如何看待地基（由基本信念决定的领域公理组）和大厦（公理化的形式演绎系统）的关系问题。

编者相信，当数学家们验收通过了地基UAI后，建立公理化形式演绎系统大厦UAI-S的任务对他们来说是“轻车熟路”的事情，有许多标准件、模板和成功经验可以使用，没有原则性困难。

现在的主要思想障碍是：

要改变数学家头脑中业已存在的那些基本信念和数学常识异常艰难，它们已经和各种概念、规定和定理密切交织在一起，牵一发而动全身，需要有一次大规模的“洗脑运动”。

编者原有的学校重点基础研究基金项目（研究信息世界的逻辑规律）已于2009年底结题，没有了再申请资助的机会，继续研究下去已失去了科研经费的支撑，这犹如春暖花开后突然大旱无雨。

编者的探索刚刚起步，“幼果”虽已挂满枝头，但并不是业已成熟了的“果实”，获得应用验证和数学界的公认更是遥远的事情，必须有最基本的水分和营养保证，让它们一一“成果”。

这就是说，编者的研究工作必须在新的条件下想办法继续进行到下去，不能半途而废，停止就等于前功尽弃，胎死腹中，那样我将成为历史的罪人！

因为我相信腹中的胎儿有可能是未来的“王子”，他将来有可能造福一方。

于是编者选择了把自己原来主持的《信息、智能与逻辑研究所》变成网上的“虚拟机构”，视本《论坛》的参与者为研究所的“特邀兼职研究员”，他们可以来去自由。

这是一个虚拟的科研共同体，它不需要场地，设备，经费和专职人员，“所长”就是一个自封的召集人，“研究员”没有功名利禄的诱惑和在职考核指标的约束，不要求发表论文的数量和级别，大家自愿集合在一起共同探讨信息时代的基本科学问题和核心基础理论（有成员戏称我们在一起“好玩”）。

在共同研究中所形成的各种见解既是本《研究所》共有的财富，也是参与者自己和他所在单位的理论成果。

编者认为，只要能够真正做一点实事，为建设创新型国家出一份力，不管是什么形式，都是值得欢迎和肯定的。

如果有人硬要嘲笑编者这是“自甘沦落为民科，在搞山寨版数学研究”，那是他的权利和自由，编者并不感到脸红。

因为人都有权利根据自己的能力选择自己探索真理的目标和报效社会的方式，各人有各人的活法，不必千遍一律。

编者以为，按照中国目前流行的“民科标准”，爱因斯坦应该是历史上最典型的“民科和山寨版物理学家”，但是这丝毫没有影响相对论的科学价值和爱因斯坦的历史贡献，我现在这样做丢什么人！

编者现年75岁，估计还有5年头脑清醒的时间，自会倍加珍惜。

“老牛自知夕阳晚，无需扬鞭自奋蹄”！

何华灿2012-07-15

《数域论》研究什么？

何华灿

现

代观点认为，数学是研究数、形和量化模式的科学。

而要研究好形和模式，必要条件是先要把它们量化，所以数学可以简单地概括为研究数的学问。

既然是研究数的

学问，那就需要回答数是什么，各种数域有多大，其基本性质是什么？

能够系统全面回答这些问题的是数的理想计数器模型，它是数学真理的试金石。

因为，所有的

数都是通过计数器数出来的（包括实数），数的理想计数器模型是各种数的生成器，只有通过数的理想计数器模型才能确定各种数域的大小及其基本性质，所有违背

数的理想计数器工作原理的“推理结论”或者“数学常识”都是错误的。

近

几百年来由于对理想完整的实无穷数域认识不够全面，出现了基本概念偏差，致使层次实无穷理论偏离客观现实已经很远而不能自知，积重难返，错误的实无穷概念

已经让近现代数学家们伤透了脑筋。

所以作者决心回到数的理想计数器模型上重新考察无穷概念，希望能够获得正本清源，返璞归真的效果。

作者相信，计数器是数

和数学形成的起点，是数之“人文始祖”，

从他那里可以看清楚无穷概念是如何诞生的，它的真实面貌是什么。

可是当作者根据这次考察结果指出层次无穷理论有认识偏差，建议用统一无穷理论来代替时它

时，数学家和数学爱好者普遍表示无法理解，拒绝接受。

这个严酷的现实让作者深刻地体会到，现在人们的数域概念太模糊、太混乱了，说什么的都有，说什么似乎

都有理。

非常需要在数论和集合论之间，重新建立一个新的基础理论--数域论，专门论述各种数域的大小及其基本性质（特别是理想完整的实无穷数域），用以统一大家对数集和无穷概念的认识，指导各种数学理论的构造，这是现代数学发展的当务之急。

1统一无穷的新主张和科学意义

2011年12月科学出版社出版了何华灿，何智涛著的《统一无穷理论》，该书根据数的理想模型明确反对目前对实无穷大无限分层的错误做法，提出了统一实无穷的新主张。

1.1统一无穷观新主张的内容

潜无穷过程和实无穷过程有本质的区别，它们应该同时并存，各司其职，不能相互代替或者转换。

只有一个实无穷大￥和一个实无穷小d，d=1/￥。

潜无穷大符号w和潜无穷小符号D也只需要一个，两个符号的关系是D=1/w。

1.2统一无穷观的科学意义

一个时代有一个时代的基本科学问题和核心基础理论。

根据图灵机原理，逻辑和无穷是信息科学中的两个最基本概念，信息时代的智能信息处理需要两个理论支撑：

①不确定信息处理需要柔性逻辑来规范，仅仅依靠二值逻辑是不够的。

为此作者创立了泛逻辑学原理和连续值逻辑代数。

②实无穷大只有一个，不需要分层，信息科学的涵盖范围不是潜无穷的，而是实无穷。

为此作者创立了统一无穷理论。

统一无穷理论可实现“至大无外，至小无内”的科学无穷观，把潜无穷和实无穷严格区分开来，大大简化无穷理论和变量数学的论证过程，有利于复杂（演化）数学的建立，有益于信息科学的更快发展。

2对《统一无穷理论》的评价

一石激起千层浪。

在《统一无穷理论》出版前后的近两年中（在写作过程中作者已将书稿陆续寄20多位学界朋友提意见），引起读者广泛地热议，有数学、逻辑、哲学、计算机和人工智能方面的专家学者参与讨论，形成决然相反的两类评价。

2.1正面评价

《统一无穷理论》是“对集合论的重大突破，······是纯化和精简，······将成为一本经典著作”。

“它既继承了康托尔的实无穷理论，又超越了他的理论。

”

“它标志着对无穷的认识已进入一个新的阶段，具有里程碑意义。

”

“这是一部真正求真的不可多得的心力之作，值得学界予以高度重视与深入研究。

它可能为说了多年而未真正成气候的非康托尔型集合论，奠定最坚实的思想基础！

”

“统一无穷理论的确立对数学是一大幸事，因为大小实无穷值都可以计算了！

这对逻辑学也是一大幸事，因为连续统假设是一个曾经伤透了逻辑学家们和数学家们的脑筋而不得解的伪问题！

”

“实无穷概念统一后定将给数学、逻辑和信息科学带来重大和深远的影响”。

该书“以智能为目标，以信息技术为手段、以数理辩证逻辑为方法，研究信息、智能与逻辑的数学基础问题——无穷集合问题，提出了统一实无穷观。

它将开创信息、智能与逻辑研究的新局面。

”

作者的“探索性研究是我国科学家在现代科学这一前沿领域独树一帜的研究，它必将为科学技术现代化、为中华民族的伟大复兴作出贡献。

”

“此书思想很新奇，说理令人信服并耐人寻味。

······是一本不可多得的学术专著。

”

读《统一无穷理论》“真是经历了一次令人激动的创造之旅，一路风光绮丽，令人目不暇接！

确实惊心动魄，受益无限啊。

”

2.2负面评价

《统一无穷理论》“违反ZFC系统的概念、规定和公理，无视实无穷研究的许多现代成果，采用了容易出错的研究方法（数的理想计数器模型），其主要结论（实数可数，实无穷大唯一）都是错的。

”

书中通过“完整的自然数集合”来证明“实数可数，实无穷大唯一”，实际上是把“实数集合”直接改名为“自然数集合”，它们当然能够等势，但这样做没有什么数学价值。

作者的“所谓超穷自然数只会存在于他自己的心中、书中。

人家仍然会使用那些有穷自然数。

”

书中“除了错误的（例如数学归纳法用错了）就是已有的，实质上没有发现新的正确的内容。

有的只是改换一下名称就当成新的发现，这没有什么意义。

”

书中“把2￥=￥作为实无穷大的基本性质，叫ICI原理，实际是用公理来规定实数可数。

在现行系统中2￥>￥是康托尔用对角线法证明出来的定理，作者直接将其反定理当公理使用的做法值得质疑。

”

“实无穷一旦进入数学，它就会逻辑地产生更大的无穷，以至分层，这是不以人的主观意志为转移的。

无穷的分层不但不可怕，而且给我们提供了更丰富更广阔的想象空间。

硬性统一它们既无必要，也不可能。

无穷的分层给我们带来的是更多的数学思维快乐。

”

“无穷在现实中并不存在，它是人类智慧的创造。

但是一旦创造出来，它的性质就由创造它的定义和逻辑所确定。

无穷世界的丰富多彩是逻辑推理的结果。

康托尔自己当初可能也想只要一个无穷，但他最后不得不接受层次无穷存在的现实。

逻辑的现实！

”

“作者的书，以及有关的正面评论，尽管其中的错误观点很多，却让数学家得到这样的信息：

研究逻辑和数学哲学的学者们是多么地不了解近代数学！

”

“作者对建立在ZFC基础上的现代数学缺乏基本的了解，我知道不少企图在数学基础领域做创新工作的学者，对目前的数学基础的看法常常有常识性的误解。

我还是那个建议，先花几个月的时间把常识性的东西踏踏实实地了解一下，这样会少走许多弯路。

”

“作者一方面认为在ZFC系统内康托尔的对角线法证明在逻辑上没有错误，一方面又在自己的书中称康托尔的实数不可数定理为伪定理，这是在脚踩两只船，两头都想占，结果是自相矛盾。

”

统一实无穷实质是“退回到潜无穷观去搞直觉主义的构造数学，这是历史的倒退行为。

”

2.3核心疑问

《统一无穷理论》主要是跨学科为数学界写的建议书，可是目前数学界的朋友还无法理解和接受。

他们之所以无法理解和接受，主要是在思想上存在三个方面的疑问：

【核心疑问1-1现代数学的实无穷成果不容忽视】康托尔提出集合论已有130多

年，早已成为现代数学的理论基础，层次实无穷理论是集合论的核心内容。

最初的朴素集合论虽然出现过逻辑漏洞，但已在公理集合论的基础上得到了完善，是一个

能够自圆其说的数学理论。

近百年来，现代数学在公理集合论基础上得到了长足进步，取得丰硕的成果，能够解决数学中的许多困难问题。

他们无法理解作者为什么

要无视这些成就，推翻层次实无穷理论？

【核心疑问1-2现代数学会出现大破坏的局面】统一实无穷理论与层次实无穷理论的基本主张完全相反，代替后会在现代数学中出现“推倒重来”的大破坏局面，近现代数学的许多研究成果将面临崩溃的危险，这不符合数学发展需要“前后兼容、不断累进”的一般原则。

数学家有理由怀疑这样“变更”的必要性和可行性。

甚至怀疑作者是包藏祸心，图谋不轨。

【核心疑问1-3另搞一套会无法自圆其说】数学家无法相信现代数学已偏离客观规律很远，到了需要退回起点、重新思考、正本清源、返璞归真的时候。

他们坚信作者背离公理集合论（如ZFC系统）另搞一套是行不通的，不可能自圆其说。

从具体的技术细节上看，主要的问题有：

【技术问题1-1穷竭（极限）实无穷观的合理性】通过对潜无穷过程取极限为什么就不能获得实无穷的结果，作者说是这个实无穷概念让数学家们伤透了脑筋，让人无法理解。

【技术问题1-2潜无穷开集和实无穷闭集的差别】自然数本来就是有穷位的编码，为什么要扩大到无穷位的编码，这违反几千年来的数学常识。

讨论自然数集合和完整的自然数集合之间的差别、单位区间实数集合和完整的单位区间实数集合之间的差别没有数学意义，好像没有这个必要。

【技术问题1-3连续性概念和实数概念】连续统概念是变量数学中必然存在的，它不可能够避免。

实数理论只能在连续统基础上建立，大家相信在这样的连续统中运动过程能够完成。

3主要任务

3.1研究内容

《数域论》将围绕上述三个核心疑问和三个技术问题展开讨论，利用数的理想计数器模型来说明层次无穷理论存在的主要问题和统一无穷理论的立论依据。

主要研究的数域包括：

工程实用的有穷数域，现实可能的潜无穷数域和理想完整的实无穷数域。

最后要讨论什么是正确的连续概念，运动是如何连续进行的。

3.2从物理模型到数学模型

现实中的计数器是物理的机器（模型），它能够计数，生成各种数的编码，但是由于时间、空间和能耗的限制，它只能生成有穷位的编码，只能用于研究工程实用的有穷数域。

如果忽略计数器中时间、空间和能耗方面的限制，位数就可以从有穷位扩大到潜无穷位甚至实无穷位，由物理模型演变为数学模型，用于研究现实可能的潜无穷数域和理想完整的实无穷数域。

佐证：

图灵机模型就是在计算机的物理模型基础上，忽略计数的时间、空间和能耗方面的限制，成了计算机的数学模型。

这一点学术界早已公认，没有争议。

3.3逻辑公理和领域公理都应正确

任何科学真理都必须从客观实践中抽象出来，且能回到实践中去经受检验，数学理论也不例外。

所以，数学理论仅能在内部“自圆其说”是不够的，逻辑上的“自恰性”只是保证数学理论具有真理性的必要条件，它代表数