概率论讲义茆诗松.docx
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概率论讲义茆诗松
例
(2)
(3)
(4)
某种型号电视机的寿命T:
[0,
)。
第二章随机变量及其分布
教学目的与教学要求:
理解随机变量的概念;掌握离散和连续随机变量的描述方法;理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质;会利用概率分布计算有关事件的概率;掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等;会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。
教学重点:
不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。
教学难点:
概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。
教学措施:
理论部分的教学多采用讲授法,注意思想方法的训练,计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。
教学时数:
20学时
教学过程:
§随机变量及其分布
⑴掷一颗骰子,出现的点数X:
1、2、…、6;n个产品中的不合格品个数丫:
0、1、2、…、n;
某商场一天内来的顾客数Z:
0、1、2、…;
2.1.1
随机变量的概念
定义2.1.1定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X、Y、
Z等表示;随机变量的取值用小写字母
x、y、
z等表示。
R(
(2)
{a
Xb}{:
aX()b}
(3)
注意以下一些表达式:
{X
k}
{Xk}
{Xk}
{a
b}{X
b}{Xa}
{X
b}
{X
b}
注意:
(1)随机变量X()是样本点的函数,其定义域为,其值域为
),若X表示掷一颗骰子出现的点数,则{X1.5}是不可能事件;
若X为随机变量,则{Xk}、{aXb}、…均为随机事件,即:
同一样本空间可以定义不同的随机变量。
(4)
两类随机变量:
若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个,则称X为离散随机变量;
若随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b),则称X为连续随机变量,其中a可以是,b可以是。
前例2.1.1中的X、丫、Z为离散随机变量;而T为连续随机变量。
§2.1.2随机变量的分布函数
定义2.1.2设X是一个随机变量,对任意实数x,称
F(x)p(Xx)
为随机变量X的分布函数,且称X服从F(x),记为X〜F(x),有时也可用Fx(x)表明是X的分布函数。
定理2.1.1任一个分布函数F(x)都有如下三条基本性质:
(1)
单调性:
F(x)是定义在整个实数轴(
)上的单调非减函数,即对任
意的x1
X2,有F(xi)
F(x2);
(2)
有界性:
x,
有0F(x)1,且
F(
)lim
x
F(x)
F(
)lim
x
F(x)
(3)
lim
xx0
F(x)F(x0)
即:
F(x00)F(x0)。
右连续性:
F(x)是x的右连续函数,即对任意的X0,有
注:
(2)有了分布函数的定义,可以计算:
p(a
b)F(b)F(a)
p(X
a)
F(a)F(a0)
p(X
b)
1F(b0)等。
(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件;
§2.1.3离散随机变量的概率分布列
定义2.1.3设X是一个离散随机变量,如果X的所有可能取值是x1、X2、…
Xn、…,则称X取Xi的概率
为X的概率分布列或简称为分布列,记为X~Pi。
分布列也可用下列形式表示:
X
X1
X2
…
Xn
…
P
P(xj
P(X2)
…
P(Xn)
…
分布列的基本性质:
(1)非负性:
p(X)0(i1,2,L)
⑵正则性:
p(Xi)1。
i1
注:
(1)上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件;⑵离散随机变量的分布函数为:
F(x)p(Xi)。
XiX
求离散随机变量的分布列应注意:
(1)确定随机变量的所有可能取值;
(2)计算每个取值点的概率。
对离散随机变量的分布函数应注意:
(1)
F(x)是递增的阶梯函数;
其间断点均为右连续的;其间断点即为X的可能取值点;
其间断点的跳跃高度是对应的概率值。
⑵
⑶
⑷
例2.1.2已知X的分布列如下:
X
0
1
2
p
1
1
1
3
6
2
求X的分布函数
解:
0
1/3
F(X).
1/2
1
X0
0X1
1X2。
2X
例2.1.3已知X的分布函数如下,求X的分布列
0
0.4
F(X)
0.8
X0
0X1
1X2
2X
解:
X的分布列如下:
X
0
1
2
p
§2.1.4连续随机变量的概率密度函数
因为连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b),所以对连续随机变量
X,有p(Xc)0,从而无法仿离散随机变量用p(Xc)来描述连续随机变量
X的分布;
定义2.1.4设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x),使得对任意实数X,有
x
F(x)p(t)dt
则称X为连续随机变量,称p(x)为X的概率密度函数,简称为密度函数。
密度函数的基本性质:
(1)非负性:
p(x)0;
(2)正则性:
p(x)dx1。
注:
(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件;
p(aX
b
b)p(x)dx;
a
F(x)是(
)上的连续函数;
p(Xx)
F(x)F(x0)0;
p(aX
b)p(aXb)p(aXb)p(aXb)F(b)F(a);
离散随机变量
连续随机变量
分布列:
pip(Xxi)(唯一)
密度函数:
X-p(x)(不唯一)
F(x)p(Xi)
Xix
x
F(x)p(t)dt
F(a)F(a0)且p(a
Xb)F(b)F(a)
点点计较
p(Xa)0
当F(x)在x点可导时,p(X)F(x),当F(x)在x点不可导时,p(x)0。
⑹
离散随机变量与连续随机变量对比:
F(x)为阶梯函数,即:
F(a)F(a0)F(x)为连续函数,即:
F(a)F(a0)
例2.1.4设X~p(x)
ke3x
0
0,求⑴常数k;⑵F(x)
解:
(1)k3;
⑵F(x)1e
例2.1.5设X~p(x)
x
其它
0
1,求F(x)
2
x
解:
F(x)22x
2
1
2
1
2
例2.1.6设X与丫同分布,
1
X的密度为
32
-xp(x)8
0
0x2
其它
已知事件A{X
a}和B{Y
a}独立,且
3
p(AUB)-,求常数a
4
解:
因为P(A)p(B),且
B独立,
P(AUB)p(A)p(B)
P(AB)
2p(A)
[p(A)]2
再由p(AUB)
由此得0a
3
-解得:
4
2
p(A)
1
因此2p(A)
P(X
a)
a8
从中解得aV4。
随机变量的数学期望
§数学期望的概念
例2.2.1(分赌本问题)若甲乙两赌徒赌技相同,各出赌注50元,无平局,谁先赢3局,则获全部赌注,当甲赢2局、乙赢1局时,中止了赌博,问如何分赌本
赌本有两种分法:
21
(1)按已赌局数分:
则甲分总赌本的2、乙分总赌本的1;
33
(2)按已赌局数和再赌下去的“期望”分:
设再赌下去,则再赌两局必分胜
负,共四种情况:
甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。
于是,甲的所得X是一个可能取
值为0或100的随机变量,其分布列为:
X
0
100
P
1
3
4
4
甲的“期望”所得是:
011003750
44
这就是数学期望的由来,又称期望或均值,数学期望是一种加权平均。
§2.2.2数学期望的定义
定义设离散随机变量X的分布列为
p(Xx)P(x)(i1,2,Ln,L)
若Ix|P(Xi),则称E(X)
i1
XiP(Xi)为随机变量X的数学期望,简称期
i1
望或均值。
若级数|Xi|p(Xi)不收敛,则称X的数学期望不存在。
i1
定义
设连续随机变量X的密度函数为p(x),若|x|p(x)dx,则称
E(X)
xp(x)dx为随机变量X的数学期望,简称期望或均值。
若级数
|x|p(x)dx不收敛,则称X的数学期望不存在。
X
1
0
1
2
P
例设随机变量X的分布列如下:
求E(X)
解:
E(X)
10.200.110.420.30.8。
§数学期望的性质
定理设随机变量X的分布用分布列p(xi)或用密度函数p(x)表示,若X的
某一函数g(X)的数学期望E(g(X))存在,则
g(K)p(Xi)
E(g(X))i1
g(x)p(x)dx
求E(X2
2)
解:
2
E(X2
2
2)(02)
2)4(222)1
44
例设随机变量X的概率分布为:
X
0
1
2
p
1
1
1
—
—
—
2
4
4
13
。
4
数学期望的性质:
(1)
若c是常数,则E(c)
对任意的常数a,有E(aX)
aE(X);
对任意的两个函数gi(x)、
g2(x),有
E(gi(X)g2(X))E(gi(X))
E(g2(X))
例设X~p(x)2x0其宀
0其它
x1
,求下列X的函数的数学期望
(1)
2X1;⑵(X
2)2
解:
(1)E(2X
1)
2
E(X2)
11
6
§随机变量的方差与标准差
用什么
数学期望只能反映平均值即X取值的中心,有很大的局限性,在一些情况下,仅知道平均值是不够的,还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度,量去表示随机变量X与其数学期望的偏离程度呢显然,可用随机变量
|XE(X)|的平均值E(|XE(X)|)来表示X与E(X)的偏离程度,但为了数字
上处理的方便,通常用E(XE(X))2来表示X与E(X)的偏离程度。
§方差与标准差的定义
定义若随机变量X2的数学期望
E(X2)存在,则称偏差平方(XE(X))2的
数学期望E(XE(X))2为随机变量X
(或相应分布)
的方差,记为
Var(X)E(XE^i1
E(X))2p(x)
在离散场合
(X
E(X))2p(x)dx
在连续场合
(X)或X。
称方差的正平方根vVar(X)为X(或相应分布)的标准差,记为
注意:
(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。
方差越大,则随机变量的取值越分散。
(2)标准差的量纲与随机变量的量纲相同。
§方差的性质
性质
Var(X)E(X2)(E(X))2。
性质
若c为常数,则Var(c)0。
性质
若a、b为常数,则
Var(aX
b)a2Var(X)。
例设X~p(x)
0x
1x
其它
1
2,求E(X)和Var(X)
解:
E(X)
xp(x)dx
dx
2
[x(2x)dx
3门0
E(X2)
(x2
1
3
2
xp(x)dx
x3)i21;
3dx
x2(2x)dx-;
6
Var(X)
22
E(X)(E(X))
随机变量的标准化:
设Var(X)0,令
Y严
War(X)
则有E(Y)0、Var(Y)1,称丫为X的标准化。
§切比雪夫不等式定理
意的常数
(切比雪夫不等式)设随机变量0,有
X的数学期望和方差都存在,则对任
P(|X
E(X)|)
咋或P(|X
E(X)|)1yorw
定理
若随机变量
的方差存在,则
Var(X)0的充要条件是X几乎处处为
某个常数,即p(xa)
§常用离散分布
§二项分布
定义如果随机变量
X的分布列为
kk
P(Xk)CnP(1
、nk
p)
(k0,1,...,n)
则称这个分布为二项分布,记为X-b(n,p)。
当n1时,称b(1,P)为二点分布或01分布。
例设X~b(2,P)、Y~b(4,p),已知p(X1)8,求p(Y1)
9
解:
由p(X
c;p0(1p)2
从而解得P
p(Y1)1
81
1)8知p(X0)1,于是99
1
9
2
3,所以
P(Y0)1C0(2/3)0(1/3)4
80/81。
二项分布的数学期望与方差:
设X~b(n,p),
E(X)
n
kp(X
k0
n
kI
k)kCnp
k1
n!
knk
k!
(nk)!
Pq
n
np
k1
(n1)!
(k1)!
[(n1)(k1)]!
(n1)(k1)
n
^k1k
npCn1P
k1
『1)(k1)
np(Pq)n1
np
又因E(X2)
.2_kknk
kCnpq
k1
[k(k
k1
1)
n
k(k
k1
1)
n!
kk!
(nk)!
卩q
n!
k!
(n
k)!
n(n
n
1)P2k2(k2)!
[(n
(n
2)!
2)(k2)]!
(n2)
(k2)
np
n(n
n
八2ck2k
1)PCn2P
k2
2(n
q(
2)(k2)
np
n(n
1)p2(pq)n2
np
n(n
1)P2
np
于是Var(X)E(X2)
(E(X))2
n(n1)p2
np
(np)2npqo
§泊松分布
定义
如果随机变量X的分布列为
P(X
其中参数
0,则称这个分布为泊松分布,记为
~P()。
k
k)——e(k0,1,...)k!
泊松分布的数学期望与方差:
设X~P(),则
E(X)kp(X
k0
k)
k
一ek!
k1(k1)!
又因E(X2)
k2
0
k
—ek!
[k(k
k0
1)
k(k
k1
k
—ek!
2e
2(k2)!
于是Var(X)E(X2)
2
(E(X))
二项分布的泊松近似:
在二项分布中,当n较大时,直接计算是很麻烦的,下面我们给出一个当n很大而P很小时的近似计算公式。
定理(泊松定理)在n重贝努里试验中,事件A在一次试验中出现的概率为
Pn(与试验总数n有关),limnpn
n
0为常数),则对任意确定的非负整
数k,有
limb(k;n,pj
n
lim
n
/•■vkkz#\n
CnPn(1Pn)
k
—e。
k!
证明:
设
nnpn,
则Pn
-,于是
n
b(k;n,pn)
_kk
Cnpn(1
Pn)n
n(n1)
(nkUr
n
k!
k!
1(1
1
-)(1
n
2
-)L
n
(1
1
—)(1
n
-)n(1
n
对任意确定的
k,
1(i1,2,,k
1)、1
所以
limb(k;n,pj
n
k
一ek!
在实际计算中,当n20,
0.05时,
上式的近似值效果颇佳,
n100
且np10时,效果更好。
§超几何分布
定义如果随机变量
X的分布列为
Ckcnk八zI、CMCNM
P(Xk)n
Cn
(k0,1,...,r)
其中rmin{M,n}、M
N、M均为整数,则称这个分布为
超几何分布,记为X~h(n,N,M)。
超几何分布对应于无放回抽样模型:
N个产品中有M个不合格品,从中无放回地抽取n个,不合格品的个数为
§几何分布与负二项分布
定义如果随机变量X的分布列为
k1
P(Xk)(1p)p(k1,2,...)
则称这个分布为几何分布,记为X-Ge(P)。
几何分布对应于抽样模型:
时的试验次数。
X为独立重复的伯努里试验中,“首次成功”几何分布的数学期望与方差:
设X〜Ge(P),
1P,则
E(X)
k
kp(X
1
k)
kpq
k1
Ik1
kq
1
dk
k1dqq
pdd-(
dqk0
P^(1q
P
(1q)2
又因E(X2)
k2p(X
k1
k)
I2kpq
k1
p[k(k1)qk1
k1
Ik1,
kq]
k1
pqk(k
k1
1)q
Pq
£
k1dq2q
pqd^(
qk)-
P
唸(1q
pq
2
(1q)3
2q
2
P
于是Var(X)E(X2)
(E(X))2
2q
2
P
中2
定理242(几何分布具有无记忆性)
设X~Ge(P),则对任意的正整数m与
n,有
P(X
mnIXm)
n)o
定义
P(X
如果随机变量
k)C:
1pr(1
X的分布列为
\kr
p)
(kr,r
则称这个分布为负二项分布(巴斯卡分布)
,记为X~Nb(r,P)o
负二项分布对应于抽样模型:
X为独立重复的伯努里试验中,“第r次成功”时的试验次数。
注:
(1)二项随机变量是独立01随机变量之和;
(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和。
§常用连续分布
§正态分布
定义
p(x)
若随机变量X的概率密度函数为彳(X)2
1eh
厅e
其中和
为常数,且0,则称随机变量X服从参数为和的正态分布,
或高斯(Gauss分布,称X为正态变量,记为X~N(,2),正态分布N(,2)的
1(x)2
密度函数p(x)所表示的曲线称为正态曲线。
正态分布的性质:
(1)
正态曲线以x为对称轴;
1
当x时取最大值f—;
V2
以x轴为水平渐近线,即x离
越远,p(x)的值越小,且x
时,
p(x)00
相应的分布函数为:
彳(t)2
1x2-
F(x^——一e2dt
72
J
1
0>
厂
1
0
X
*
当固定,改变的值,yp(x)的图形沿x轴平移而不改变形状,因而又
称为位置参数;其图如下:
当固定,改变
故称为形状参数。
其图如下:
称参数
的值,则yp(x)的图形的形状随着的增大而变得平坦,
1的正态分布称为标准正态分布,记为X〜N(0,1),其密
度函数记为
2x
"2
1
育e
相应的分布函数为
e亍dt
(x)
7
其图如下:
标准正态分布的计算:
当x0时,(X)的函数值可查表得到;
当x0时,由y(X)的对称性即(x)
(x)知,先查(x),再由
(x)1(
x)来得到(X)的函数值。
例2.5.1
若X~N(0,1),求下列事件的概率:
(1)p(X1.52);⑵
P(X1.52);
⑶p(X1.52);⑷p(0.75X1.52);⑸p(|X|1.52)
解:
略。
非标准正态分布的计算:
X
利用定理,
若X~N(
定理若X~N(,2),则丫~N(0,1)o将非标准正态分布化为标准正态分布计算,即
V
2),则令丫仝一,于是
P(XiX
丫X2
X2
X1
o
例若X~N(108,32),求
(1)p(102X
117);
(2)若p(X
a)
0.95,求
X108
3
117108)
常数a
102108解:
(1)p(102X117)p(
(117108)(102108)
(3)(3)
0.99870.977210.9759
⑵由p(Xa)
2)(3)
反查表得:
(1.645)0.95,
108)
0.95
于是
a1081.645a112.935o
3
正态分布的数学期望与方差:
设X~N(,2),则
t)e^dt
1
E(X)
TT
Var(X)
te%”
72
E(XE(X))2
te')|TT
L
正态分布的3原则:
e'dt
(X)2
(X)2
22dx
t2e
t2
^dt
e2dt2o
设X~N(,2),则
0.6826k1
k)0.9545k2
0.9973k3
X
p(|X|)k)p(|1k)(k)
可见在一次试验中,X几乎必然落在区间
3,3)内,或者说,在一
般情形下,X在一次试验中落在区间(3,
3)以外的概率可以忽略不计,
这就是通常所说的3原则。
§2.5.2均匀分布
定义若随机变量X具有概率密度函数
1.axbp(x)ba
0其它
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U佝b)0
相应的分布函数为:
xa
F(x)axb
ba
1
p(x)和F(x)的图形分别如下图所示:
1(
口0
b
X'
例2.5.3若X〜U(0,10),现对X进行4次独立观测,试求至少有3次观测
值大于5的概率
解:
设随机变量丫是4次独立观测中观测值大于5的次数,则Y〜b(4,p),
其中Pp(X5)
由X~U(0,10)得
10
Pp(X5)1/I0dx0.5
5
5
16
于是,所求概率为
p(Y3)C4p3(1P)C:
p440.540.54
均匀分布的数学期望与方差:
设X〜U(a,b),则
E(X)
E(X2)
bx2丄dx
aba
22
aabb
于是Var(X)E(X2)
(E(X))2
.2
aabb
3
(ba)2
12
§2.5.3指数分布
定义
若随机变量X具有概率密度函数
P(x)
其中参数
0,则称X服从参数为
的指数分布,记为X
〜Exp()。
1e
x
x
0
F(x)
0
x
0
指数分布的数学期望与方差:
设X~Exp(
),则
E(X)0x
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- 概率论 讲义 茆诗松