1997考研数二真题及解析.docx
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1997考研数二真题及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(此题共5分,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上・)
⑴已^/(x)=|(COSX)J'"°'在*0处连续,那么心.
[a,x=0
⑵设〉'5彳吕,那么几=0=•
dx
&(4-小
严dxJ°x2+4x+8
(5)向量组他=(1,2,一1,l)s=⑵0,人0),a3=(0,-4,5,-2)的秩为2,那么/=.
二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分•每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
⑴设XT0时,严‘一夕与疋是同阶无穷小,那么“为()
(A)1(B)2(C)3(D)4
⑵设在区间⑷切上/(x)>0J'(x)<0J"(x)>0,记5=£/(劝心』2=/(b)(b—a),S3=^[f(a)+f(b)](b-a),那么()
(A)S{ (0S3 ⑶函数y=f(x)对一切x满足xf'n(x)+3x[f\x)]2=1—严,假设广g)=O(xo工0),那么() (A)/(卞)是/(x)的极大值 (B)/(列)是/(x)的极小值 (C)(x0J(心))是曲线y=f(x)的拐点 (D)/(勺)不是/(X)的极值,(儿,/(儿))也不是曲线y=f(x)的拐点 ⑷设F(x)=[l+27esin,sintdt,那么F(x)() Jx (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 2—A\ x<0 7 x<0… (5)设g(x)=< x+2, x>o")T MgUM]为 x>0 \2+x\x<0 (A) 2+x, x<0 x>0 三、 (C)2」,"VO 2-x,x>0 (此题共6小题,每题5分,总分值30分・) 2+x, x<0 x>0 2-x,x>0 求极限lim山人: +丄? 1宀一Vx2+sinx 设y=yM由< x=arctant 2y-ty2+R=5 所确左,求空. dx 计算J/'(tanx+l)2^v. 求微分方程(3/+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0的通解. ⑸X=疋“+小,儿乞心+严,儿=加+小一严是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. '11 (6)4=011,且A2-AB=EtK中E是三阶单位矩阵,求矩阵B. 00-1 四、(此题总分值8分•) 2*+Ax2-x3=14x,+5x2一5兀3=一1 >1取何值时,方程组“西-吃+a3=2 无解,有惟一解或有无穷多解? 并在有无穷 多解时写出方程组的通解. 五、(此题总分值8分) 设曲线厶的极坐标方程为r=r(0),M(M)为厶上任一点,M(>(2,0)为厶上一泄点, 假设极径OM°、OM与曲线厶所用成的曲边扇形面积值等于厶上M°,M两点间弧长值的一半,求曲线厶的方程. 同跨考教肓 KUAKAOEDUCATION 六、〔此题总分值8分〕 设函数/⑴在闭区间[0,1]上连续,在开区间〔0,1〕内大于零,并满足xfXx〕=fM+ —x2〔d为常数〕,又曲线y=/〔x〕与x=\,y=0所围成的图形S的而积值为2,求函数2 y=/〔a〕,并问a为何值时,图形s绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小・ 七、〔此题总分值8分.〕 函数f{x〕连续,且limS=2,设卩〔x〕=「,求〔p\x〕,并讨论0〔x〕的A-M〕XJo 连续性. 八、〔此题总分值8分〕 就k的不同取值情况,确左方程x--s\nx=k在开区间〔0上〕内根的个数,并证明你22 的结论. 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(此题共5分,每题3分,总分值15分•把答案在题中横线上•) (1)【答案】e2 【解析】由于/(x)在x=0处连续,故 /(0)=limf(x)=lim? 1©=lim严川=limZIncosx .ytOxtO.ttO.ttO 吸穿lim空笄洛必达】沛巫二21 =limwr“=gE2x lim-JllL-1 =2.tcos.v=£2 【相关知识点】1•函数y=f(x)在点儿连续: 设函数/(x)在点X。 的某一邻域内有泄义,如果lim/(©=/(儿),那么称函数/(X)在点2勺 儿连续. 2.如果函数在心处连续,那么有limf(x)=lim/(x)=/(x0). -V™>X(|+A->.t(|— (2)【答案】一。 2 【解析】题目考察复合函数在某点处的髙阶导数,按照复合函数求导法那么具体计算如下: y=l[ln(l-x)-ln(l+x2)], 」2兀]x 21—x1+X"2(1—x)1+x" 1-x2 y一一2(1-对2一(1+b, 【相关知识点】1•复合函数求导法那么: 如果u=gM在点x可导,而y=/(x)在点“=g(x)可导,那么复合函数y=f[gW] 在点X可导,且其导数为—=f(u)・g'(Q或—•也.dxdxdudx ⑶【答案】arcsin竽+C或2arcsin当+C dx 【解析】题目考察不左积分的计算,分別采用凑微分的方法计算如下: d(x_2) 方法原式二山——=f-f'2=arcsin—+C. 月4十-2)2Jr^72 方法2: 原式二J dx 長」4_(長丫 dyfx J47Q (4)【答案】- 8 【解析】题目考察广义积分的讣算,釆用凑微分的方法,结合根本微分公式表讣算如下: x+2 dx_1厂(2 4+(x+2)2~2'0]|严2)2 2丿 4-X 17t7t7t 1 =—arctan 2 ⑸【答案】3 【解析】方法1: 利用初等变换. [3]+[2卜(_1) 2 -4 0 -1 r+2 3—f 1 -2 0 以⑷,冬为行构成3x4矩阵,对其作初等变换: j 2 -1 1' [2円卜(-2) '1 2 -1 1' 4= a2 = 2 0 t 0 0 -4 t+2 -2 0 -4 5 —2. 0 -4 5 _2. =2,所以3-/=0,/=3・ a、 因为r(A)=ra2 S 方法2: 利用秩的左义. 由于厂<z2=r(A)=2,那么矩阵A中任一三阶子行列式应等于零. j 2 -1 1' a2 = 2 0 t 0 2- 0 -4 5 _2. 应有 1 2 -1 1 2 -1 1 2 -1 2 0 t = 0 -4 t+2 = 0 -4 t+2 0 -4 5 () -4 5 0 0 3-r 同跨考教肓 罗匚二/KUAKAOEDUCATION 解得/=3. 方法3: 利用线性相关性. 因为r(al,a2,a3)=r(A)=2,故久如他线性相关,O以&组成的线性齐次方 a[x}+a[x2+a^x3=BX=0有非零解,因 1 2 2 0 0 -4 B=\c z.a,a = L 1z 」 -1 t 5 1 0 -2 2十 】«2) '1 2 0_ 【驸T '1 2 0■ 3+ 1 卩]+2]心一2) 4- 0 -4 -4 忖也x(-2) 0 1 1 T 0 t+2 5 T 0 0 t+3 0 -2 -2 0 0 0 故3X=0有非零解U>/=3・ 二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分•每题给出的四个选项中,只有一项符合題目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) ⑴【答案】(0 【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法那么计算如下: v严〞一。 丫vx严j_l lim=hme・ .ytOxnXT(>x/r tanx-x-iesec2-ltan2x21 =lim=lim=lim=lim——_ 5x"5必心2()加I3x-3 严一夕与疋同阶,故应选(C). ⑵【答案】(D) 【解析】方法1: 用几何意义•由/(x)>0,/V)<0,/7x)>0可知,曲线y=/(x)是上半平而的一段下降的凹弧,y=j\x)的图形大致如右图.' 5=心是曲边梯形ABCD的而积; S2=f(b)(h-a)是矩形ABCE的而积: S.=-[f(a)+f(b)](b-a)是梯形ABCD的面积. 2 由图可见S? VS】vS“应选(D)・ 方法2: 观察法•因为是要选择对任何满足条件的/(x)都成立的结果,故可以取满足条件的特泄的/(x)来观察结果是什么•例如取f(x)=丄,xu[1,2],那么 &=『+必=和2=扌,S3€=>S2vSiVS3. 【评注】此题也可用分析方法证明如下: 由积分中值泄理,至少存在一个点爲使£/(a-Xv=f^){b-a\a<^/(/? ),从而 S\=^f(x)dx=>f(b)(b-a)=S2. 为证S5>Slt令^(.v)=*[/(x)+/(")](x-")-J: /(『)(〃,那么0(")=0, 0(兀)=£广(x)(x-")+|(/W+/(«))一fM =IfrW(x_-£(/(a)-/(«)) =-f(x)(x-a)--m)(x-a)(a 22 =+(广(X)-广(〃))(Xi), 由于厂(x)>0,所以广(x)是单调递增的,故fix)>广(“),(p\x)>0,即(pg在[a,b]a)=0,所以(p(x)>0,xe[a.b],从而 0(")=+/(")](方一“)一£f⑴山>0, 即S、>S\.因此,S2 如果题目改为证明题,那么应该用评注所讲的方法去证,而不能用图证. 【相关知识点】1.积分中值左理: 如果函数/(x)在积分区间[“甸上连续,那么在(“")上至少存在一个点,使下式成立: =f^)(b-a)(a<^ Ja 公式. 2.拉格朗日中值泄理: 如果函数/(x)满足在闭区间[“"]上连续,在开区间(匕方)内可导,那么在仏b)内至少有一点郭v (3)【答案】(B) 【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下: 由八%)=0知X=无为f(x)X=X。 代入恒等式Xofn(xo)=1一严,即 [_严 ru0)=—・由于分子、分母同号,故厂(心)>0,因此驻点%=x0为极小值点•应选 Tbl ⑷【答案】(A) 【解析】由于函数sin/是以2龙为周期的函数,所以, F(x)=Jg*严'sinM=sinrJr, F(x)的值与x无关•不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计]「严『sinM的值有多种方法. 方法1: 划分严sinf取值正、负的区间. F(x)=严,sintdt=j%sinfsintdt+f曲sintdt=J严,sintdt+J()不切"(—sinu)du 当0 方法2: 用分部积分法. F(x)=£es'n! sintdt=-£fcost =-eiin,cost2'+Ccostdesin, 0Jo =一/(1一1)+匚"严cost2dt=j^esia,cosrdt>0. 故应选(A)・ 【评注】此题的方法1十分有代表性. 被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,那么常将积分区间划分成假设干个,使每一个区间内,被枳函数保持确左的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可. (5)【答案】(D) 【解析】题目考察函数的复合问题,分淸内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域. 当x<0时,f(x)=x2>0,那么g[/(x)]=/(x)+2=〒+2: 当x>0时,f(x)=-x<0,那么g[f(x)]=2-/(x)=2-(-x)=2+x. X+2, 2+x, r<0 •,因此应选(D)・ x>0 3.(此题共6小题,每题5分,总分值30分•) (1)【分析】这是工型的极限,可以设法约去分子、分母中极限为00的因子,从而转化为确左O0 X趋于负无穷. =—x(xvO),那么 (2)【解析】题目考察参数方程所确左的函数的微分法. 人X'‘i+尸’ y;可由第二个方程两边对t求导得到: 2£-2心;一员+〞=0, 解得〞=境咯•由此'有)';=鸞]°;严• 2(1-(y)2(1-/y) (3)【解析】题目考察,不左积分的换元与分部积分法,难度不大,具体讣算如下: 原式=Je2x(sec2x+2tanx)dx=Je2xsec2xdx+2jelxtanxdx 分部『f7 =IQdtanx+Itanxde^x=e^xtanx+C・ (4)【解析】题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法计算如下: 方法1: 所给方程是齐次方程. 令y=xii,那么dy=xclu+udx,代入原方程得 3(1+"-"')dx+x(l-2m)du=0, 别离变量得'i,u=—\吐 1+H-zrx 积分得(空二t=—3卩必, Jl+i/-zrJx 即l+“—“2=Ch. 以w=-代入得通解x2+xy^y2=-・ XX 方法2: (3x2+2xy一y2)dx+(x2一2xy)dy =3x2dx+(yd(x2)+x2dy)-(y2dx+xd(y2)) =d(x3)+d(x2y)一d(xy2) =d(x3+x2y-x)2), 故通解为: a3+x2y-A)'2=C. ⑸【解析】>*! ->'3=e~x与y,-y2=e2x一八都是相应齐次方程的解,(才一儿)+("一儿)也是相应齐次方程的解、丁与/x是两个线性无关的相应齐次方程的解;而儿-水“=xe"是非齐次方程的解•下面求该微分方程: 方法1: 由芒是齐次解,知,-=-1,^=2是特征方程的两个根,特征方程为 (r+l)(r-2)=0,即r-r-2=0, 相应的齐次微分方程为: /-/-2y=0. 设所求非齐次方程为: y"—/-2y=f(x),把非齐次解.2代入便得 /(x)=(xex)"~(xex)'-2(xex)=(1-2x0. 所求方程为: y,,-y,-2y=(l-2x)er. 方法2: 由于通解为: ,=*7+°戶+恥",求出 y'=-c}e~x+2c2e2'+(x+\)ex,yH=c{e~x+4c2e2x+(x+2)ex, 并消去q,c2,便得微分方程/-y'-2y=(1-2x)ex. _02r ⑹【答案】000 000 【解析】由题设条件Al-AB=E,把A提岀来得A(A-B)=E,因为 11-1 |A|=011=一1工0, 00-1 由此知道A是满秩的,所以A可逆,两边左乘从而有A-B=A~\B=A-A~l. (^A1-AB=E,AB=A2-E,A可逆,两边左乘A-,,W5=A-,(A2-E)=A-A_1). 用矩阵的初等变换求A-1. 从而得 [应卜 册〕 '1 1 -1: 1 0 0_ [*MH) 1 1 0: 1 0 -1" 0 1 1: 0 1 0 0 1 0: 0 1 1 0 0 -1: 0 0 1 0 0 -1: 0 0 1■ -2 0 0: 1 0: 0 1: 0 E-A-1 '1 1 '1 一1 -2 '0 2 r 0 1 1 — 0 1 1 — 0 0 0 0 0 -1_ 0 0 _1. .0 0 0 -1 B=A-ATX 四、〔此题总分值8分・〕 【解析】方法1: 对原方程组的增广矩阵作初等行变换: 2 -1: 「 [枫(-5) -2 2 -上1' 2 -1 「2 2+2 2-1 0: 3 4 5 -6 -5A+5 0-6. [A%]= 【屮【2卜5 2 2+2 5A+4 2-1: 1 2-10: 3 00: 9 当2^-1且几H1时,r〔A〕=r[A: /7]=3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解. 当2=--时,心〕=2胡创=3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解. 当几=1时,原方程组的同解方程组为 2x{+x2-x3=1 =1, 原方程组有无穷多解,其通解为{兀=-1+k,〔k为任意常数〕.X严k. 〔或卜1宀,订=[1,-1,0]7+it[0,1,if{k为任意常数〕〕 方法2: 原方程组系数矩阵的行列式 2-1 0=(2-1)(52+4), 0 故知: 当且兄H1时,r〔A〕=r[A: h]=3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解. 4 当2=--时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得 -1 4 _5 4 2 _10 -4 -5 : 5' [3卜[2] )0 -4 -5 : 5' [2>5 -4 -5 5 : 10 T -4 -5 5 : 10 4 5 -5 1-1 0 0 0 : 9 r〔A〕^r[A\b]^方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解. 当几=1时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得 ~2 1 -1: 1■ 2W(-2) 3冲卜(_4) j -1 \: 2~ PH2卜3[% "1 -1 1;2_ 1 -1 1: 2 0 3 -3: -3 0 1 -1: -1 4 5 -5: -1 0 9 -9: -9 0 0 0: 0_ r〔A〕=r[A: b]=2V3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,故 州=1, 原方程组有无穷多解,其通解为彳厂=一1+匕〔乂为任意常数〕・ 〔或[W沁丫=[1,-1,0丫+耳0丄1]'伙为任意常数〕〕 5.〔此题总分值8分〕 【解析】由条件得-^r2d&=-^yr2+r,2d0. 22 两边对&求导,得 八=廿+产〔隐式微分方程〕, 解出门得 别离变量,得 —土朋.心_1 由于 两边积分,得arccos-=±&+c・ r 代入初始条件r(0)=2,得c=arccos—=—,=>arccos-=—±0. 即厶的极坐标方程为 —sin<9, 2 23r3 —=cos(—±0)=—cos0q: r32 从而,厶的直角坐标方程为xT>/3y=2. A.(此题总分值8分) 【解析】由xf(x)=f(x)+—x2,^2 7 JC #'(x)—/(x)3a/(x)v3a=_,RP(__)=_. 从而得 =—x+c,即/(a-)=—%2+Cx. x22 又由题设知,面积 S=]: /(x)〃x=J(: (¥+Cx)〃x=#+: =2, 得C=4-a,从而f(x)=^-x2+(4-a)x. 旋转体体积V(6/)=兀f)"x=^-£[—x2+(4-=^-(―+—+—). "。 23033 由Vf(a)=龙(二+-)=0,解得惟一驻点。 =一5: 又由V\a)=二>0,。 =一5是极小值点 11 也是最小值点.(易验证,此时f(x)=-—x2+9x在(0,1]恒正.) 2 七、(此题总分值8分•) 【分析】通过变换将(p(x)化为积分上限函数的形式,此时xH0,但根据lim竺=A,知5X /(0)=0,从而祕0)=£'f(O)dr=0,由此利用积分上限函数的求导法那么、导数在一点处的定义以及函数连续性的定义来判泄0(x)在x=0处的连续性. 【解析】由题设lim丄巴=A知,f(0)=09f(0)=A9且有似0)=0•又 WwwH也巴(“0), 从而 心空伞巴(5. 由导数左义,有 0(0)=liink";竺=lim-^=- 严)一防讪 20.10 由于 ytOxxt()f wo疋z2x2 X AA =A--=-= 从而知0(x)在x=0处连续. 八、(此题总分值8分) 【解析】设/(x)=A-^sinA-,研究/(x)在(0,弓)内的极值情况,从而判泄它与水平线22 y=kf\x)=1一彳cosx=0解得f(x)在(0,—)内的唯一驻点22 x0
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