华师网络学院数学建模在线作业题答案Word下载.docx
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用最大刹车距离除以车速,得到最大刹车距离所需要的尾随时间,并以尾随时间为根据,提出更安全的准则,如“3秒准则”、“4秒准则”或“t秒准则”(如下图)。
t秒准则,刹车距离的模型和数据
三、教材100页第2章习题2第3题(满分10分)
继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例,做灵敏度分析,分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
解:
(1)考虑每天投入的资金c发生的相对为△c/c,则生猪饲养的天数t发生的相对变化△t/t是△c/c的多少倍,即定义t对c的灵敏度为
由课本上可知t=rp(0)-2ggωr(0)-c②
2gr
rp(0)-gω(0)c
所以t=2gr-2gr,所以t是c的减函数
为了使t﹥0,c应满足rp(0)-gω(0)-c>
0结合①②
示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%,出售时间就应该提前2%
2)同
(1)理总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为
结合③④得
思是如果每天投入的资金c增加1%,那么最大利润就会减少4%
四、教材143页第3章习题3第2题(满分10分)
某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下,年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%.假设开始时有100只山猫,按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势:
(1)三种自然环境下25年的变化过程,结果要列表并图示;
(2)如果每年捕获3只,山猫数量将如何变化?
会灭绝吗?
如果每年只捕获1只呢?
(3)在较差的自然环境下,如果要使山猫数量稳定在60只左右,每年要人工繁殖多少只?
①解记第k年山猫xk,设自然坏境下的年平均增长率为r,则列式得
xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2⋯
其解为等比数列
xk=x0(1+r)k,k=0,1,2⋯
当分别取r=0.0168,0.0055和-0.0450时,山猫的数量在25年
内不同的环境下的数量演变为
年
较好
中等
较差
100
1
102
101
96
2
103
91
3
105
87
4
107
83
5
109
79
6
111
76
7
112
104
72
8
114
69
9
116
66
10
118
106
63
11
120
60
12
122
58
13
124
55
14
126
108
52
15
128
50
16
131
48
17
133
110
46
18
135
44
19
137
42
20
140
40
21
142
38
22
144
113
36
23
147
35
24
149
33
25
152
115
32
从上可以得出结论:
1)
在较好的自然环境下即
无限增长;
2)
在中等的自然环境下即
r=0.0168时,xk单调增趋于无穷大,山猫的数量将
r=0.0055时,xk单调增并且趋于稳定值;
3)在较差的环境中即r=-0.0450时,xk单调衰减趋于0,山猫将濒临灭绝。
②若每年捕获3只,b=-3,则列式为
Xk+1=(1+r)xk-b
则山猫在25年内的演变为
99
98
93
97
95
85
78
90
88
92
54
89
80
49
77
43
86
75
39
84
34
70
29
81
67
64
62
59
74
56
73
71
51
-3
65
-6
-9
61
37
-11
-14
由图上可知,无论在什么环境下,如果每年捕获山猫3只,单调减趋于0,那么最终山猫的数量都会灭绝,在较差的环境中第20年就会灭绝。
同理,如果每年人工捕获山猫1只,那么山猫在不同环境中的演变为
94
45
31
26
117
119
121
如果每年人工捕获山猫一只,在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加,在中等的环境下,山猫的数量趋于稳定,但会慢慢减少,在较差的环境下,山猫的数量一直在减少,很快就会灭绝。
③若要使山猫的数量稳定在60只左右,设每年需要人工繁殖b只,到第k年山猫的数量为xk=(1+r)xk-1+b,k=0,1,2⋯
这时xk=xk-1=60,r=-4.5%,代入上式得b≈3
五、教材143页第3章习题3第4题(满分10分)某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金,学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行,第二年一到期就支取,取出一部分作为当年的奖学金,剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行⋯⋯请你研究这个问题,并向学院领导写一份报告.
记存款的年利息为r,由于一开始存入银行的本金为x0,第k年存入
银行的钱为Xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有:
每年利息=本年存入款项年利息每年取出款项=上一年存入款项+每年利息
每年存入款项=每年取出款项奖金
列式得:
由上式解得
由实际情况,已知x0=20(万元),r在近10多年的变化幅度在2%~4%
之间,我们取3个值,分别为2%,3%,4%,
1)当年利率为2%时,每年存入款项随奖金数变化如下
年数奖金数额2千元4千元6千元
020.000020.000020.0000
1.0000
20.2000
20.0000
19.8000
2.0000
20.4040
19.5960
3.0000
20.6121
19.3879
4.0000
20.8243
19.1757
5.0000
21.0408
18.9592
6.0000
21.2616
18.7384
7.0000
21.4869
18.5131
8.0000
21.7166
18.2834
9.0000
21.9509
18.0491
10.0000
22.1899
17.8101
11.0000
22.4337
17.5663
12.0000
22.6824
17.3176
13.0000
22.9361
17.0639
14.0000
23.1948
16.8052
15.0000
23.4587
16.5413
16.0000
23.7279
16.2721
17.0000
24.0024
15.9976
18.0000
24.2825
15.7175
19.0000
24.5681
15.4319
24.8595
15.1405
21.0000
25.1567
14.8433
22.0000
25.4598
14.5402
23.0000
25.7690
14.2310
24.0000
26.0844
13.9156
25.0000
26.4061
13.5939
26.0000
26.7342
13.2658
27.0000
27.0689
12.9311
28.0000
27.4102
12.5898
29.0000
27.7584
12.2416
30.0000
28.1136
11.8864
①当年利率为2%,学金定为4千元时,因为0
r
1,x0
0,经验算得知xk
x0
b,
因此存款的数额将趋于稳定
②当年利率为2%,奖学金的数额大于4千元时,
xk单调递减并且将在某一年变为零
.同理,
当奖学金的数额小于4千元时,存款的数额将会无限增长
2)当年利率为3%时,每年存入款项随奖金数变化如下
年数奖金数额4千元6千元
8千元
20.4060
20.6182
20.8367
21.0618
21.2937
21.5325
21.7785
22.0318
22.2928
22.5616
22.8384
19.5940
19.3818
19.1633
18.9382
18.7063
18.4675
18.2215
17.9682
17.7072
17.4384
17.1616
13.000014.000015.000016.000017.000018.000019.000020.000021.000022.000023.000024.000025.000026.000027.000028.000029.000030.0000
23.1236
23.4173
23.7198
24.0314
24.3523
24.6829
25.0234
25.3741
25.7353
26.1074
26.4906
26.8853
27.2919
27.7106
28.1419
28.5862
29.0438
29.515120.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.0000
16.8764
16.5827
16.2802
15.9686
15.6477
15.3171
14.9766
14.6259
14.2647
13.8926
13.5094
13.1147
12.7081
12.2894
11.8581
11.4138
10.9562
10.4849
此存款的数额将趋于稳定②当年利率为3%,奖学金的数额大于6千元时,xk单调递减并且将在某一年变为零.同理,
当奖学金的数额小于6千元时,存款的数额将会无限增长
3)当年利率为4%时,每年存入款项随奖金数变化如下
年数奖金数额
6千元
1万元
20.4080
19.5920
20.6243
19.3757
20.8493
19.1507
21.0833
18.9167
21.3266
18.6734
21.5797
18.4203
21.8428
18.1572
22.1166
17.8834
22.4012
17.5988
22.6973
17.3027
23.0052
16.9948
23.3254
16.6746
23.6584
16.3416
24.0047
15.9953
24.3649
15.6351
24.7395
15.2605
25.1291
14.8709
25.5342
14.4658
25.9556
14.0444
26.3938
13.6062
26.8496
13.1504
27.3236
12.6764
27.8165
12.1835
28.3292
11.6708
28.8623
11.1377
29.4168
10.5832
29.9935
10.0065
30.5933
9.4067
31.2170
8.7830
①年利率为4%,学金定为8千元时,因为0r1,x00,经验算得知xkx0b,因r此存款的数额将趋于稳定.
②当年利率为4%,奖学金的数额大于8千元时,xk单调递减并且将在某一年变为零.同理,
当奖学金的数额小于8千元时,存款的数额将会无限增长
六、教材143页第3章习题3第5题(满分10分)
有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式(指本金一次存入,分次支取本金的一种储蓄)存入,从第一个月开始每月支取1000元,银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金.请你计算老人多少岁时将把养老金用完?
如果想用到80岁,问60岁时应存入多少钱?
记养老金第k月末的银行账户余额为xk元,则列式为xk+1=(1+r)xk-b
根据一阶线性常系数非齐次差分方程得
bkb
xk=(x0+r)(1+r)k-rk=0,1,2,3⋯⋯
由题目可知x0=100000,b=1000元,r=0.003,所以账户余额的变化如下
月份
1.00002.00003.00004.00005.00006.00007.00008.00009.000010.0000
11.
余额10.00009.93009.85989.78949.71879.64799.57689.50569.43419.36249.29059.21839.14609.07349.00078.92778.85448.78108.70748.63358.55948.48518.41058.33578.26078.18558.11018.03447.95857.88247.80607.72957.65267.57567.49837.42087.34317.26517.18697.10857.02986.95096.8717
000012.000013.000014.000015.000016.000017.000018.000019.000020.000021.000022.000023.000024.000025.000026.000027.000028.000029.000030.000031.000032.000033.000034.000035.000036.000037.000038.000039.000040.000041.000042.0000
43.0000
44.0000
45.0000
46.0000
47.0000
48.0000
49.0000
50.0000
51.0000
52.0000
53.0000
54.0000
55.0000
56.0000
57.0000
58.0000
59.0000
60.0000
61.0000
62.0000
63.0000
64.0000
65.0000
66.0000
67.0000
68.0000
69.0000
70.0000
71.0000
72.0000
73.0000
74.0000
75.0000
76.0000
77.0000
78.0000
79.0000
80.0000
81.0000
82.0000
83.0000
84.0000
85.0000
86.0000
6.7924
6.7127
6.6329
6.5528
6.4724
6.3918
6.3110
6.2300
6.1486
6.0671
5.9853
5.9032
5.8210
5.7384
5.6556
5.5726
5.4893
5.4058
5.3220
5.2380
5.1537
5.0691
4.9844
4.8993
4.8140
4.7284
4.6426
4.55
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