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3.不确定的参数:
BS模型假设波动率、利率、股利等参数都是已知的常数(或是已知的确定函数)。
但事实上它们都不是一个常数,甚至也不是一个时间和标的资产价格的确定函数,波动率甚至完全无法在市场观察到,也无法预测。
这时可以采取的方法之一是为这些参数的价值确定一个变动区间,从而在最糟糕的情景下为期权定价。
我们将在第五节介绍这一方法。
4.资产价格的连续变动:
BS模型假定标的资产的价格是连续变动的,服从对数正态分布。
然而在我们的市场中,不连续是常见的:
资产价格常常跳跃,并且经常是向下跳跃。
这在对数正态分布的资产定价模型中并没有体现出来:
对于正态分布来说,这些突然变动的幅度太大,发生太过频繁;
同时,由于跳跃来得太突然,这使我们无法单纯依靠对数正态扩散模型对它们进行动态保值。
因此我们需要在模型中考虑跳跃的情形,同时我们也需要考察在极端变动的情况下,可能导致的最差结果。
我们将在第六节和第七节中对跳跃扩散模型和崩盘模型进行分析,讨论这些问题。
第二节交易成本
BS期权定价公式的一个重要假设就是没有交易成本,在此基础上,BS公式的分析过程要求对股票和期权组合进行连续的调整再平衡,以实现无风险定价策略。
在实际生活中,这个假设显然是难以成立的。
即使交易成本很低,连续的交易也将导致很高的交易费用;
即使只进行离散的保值调整,但只要进行交易,投资者就必须承担或多或少的交易成本。
一般来说,交易成本在以下两种情形下是尤其重要的:
1.在一个交易费用很高的市场中进行保值操作,比如股票市场和新兴证券市场。
2.组合头寸经常需要进行调整。
其中包括处于平价状态附近的期权和即将到期的期权,这样的期权的套期比率对标的资产价格的变动最为敏感,从而导致调整频率较高。
所以,交易成本在期权价格的确定当中是不可忽略的部分。
因此,人们对存在交易费用的情形进行了考察,并得到了基于BS公式的一些修正模型。
值得注意的是,在美国,主要的证券市场都实行专家(Specialists)或做市商(Market-maker)制度,因此,这里的交易成本主要是指在标的资产买卖过程中发生的买卖价差(Bid-offerSpread)。
一、交易成本的影响分析
交易成本的存在,会影响我们进行套期保值的次数和期权价格:
交易成本一方面会使得调整次数受到限制,使基于连续组合调整的BS模型定价成为一种近似;
另一方面,交易成本也直接影响到期权价格本身,使得合理的期权价格成为一个区间而不是单个数值,同时许多理论上值得进行的策略,一旦考虑交易成本之后,就变得不可行。
进一步来看,交易成本的影响具有以下两个性质:
1.规模效应和交易成本差异化。
不同的投资者需要承担的交易成本是不一样的,交易规模越大,成本的重要性程度越低。
这就意味着与基本的BS定价公式相悖,现实世界中并不存在唯一的期权价值,而是有赖于投资者的具体情况,相同的合约对于不同的投资者具有不同的价值。
2.即使是同一个投资者,在调整过程中,持有同一个合约的多头头寸和空头头寸,价值也不同。
为什么呢?
这是因为交易成本对于保值者来说总是一种沉没成本,无论是多头还是空头,对保值成本的估计都必须从期权价值中扣除。
这样一个投资者会认为多头的价值低于BS公式理论价值,而空头价值则应高于理论价值。
因此,交易成本的存在,实际上意味着动态保值不再产生期权价格的唯一均衡,而是会针对每一个投资者的不同头寸都出现一个可行价格区间。
在这个范围内波动的期权价格都无法进行套利,因为套利获得的无风险收益将被交易费用所抵消。
当价格跌到这个区间的下限之外的时候,才存在利用期权多头进行套利的机会,当价格涨到这个区间的上限之上的时候,才存在利用期权空头进行套利的机会。
我们将在后面对交易成本模型的描述中进一步阐述这些性质。
二、Hoggard-Whalley-Wilmott交易成本模型
交易成本模型最早是由Leland在1985年提出的,他的主要结论是:
可以用一个考虑了交易成本后的波动率代入BS公式得到期权价格,这个模型采用的策略和基本结论为后来的交易成本研究奠定了重要的基础,但是具有一定的局限性。
基于此,Hoggard,Whalley和Wilmott三个人于1992年提出了一个考虑交易成本的期权组合定价模型(简称为H-W-W模型),这个模型也是衍生工具理论中最早的非线性模型之一。
Leland的结论同样可以在H-W-W模型中得到解释。
(一)基本思路
H-W-W模型仍然采用推导BS微分方程时的无套利均衡的分析思路,采用无收益资产的欧式期权组合为代表来进行分析,但是现在的整个组合价值修正为原来的价值减去交易成本,而这个交易成本的计算则根据事先确定的保值调整策略和交易成本结构进行,由此得到一个新的非线性偏微分方程,即考虑了交易成本之后的期权定价微分方程。
(二)基本假定
H-W-W模型的主要假定基本与推导BS微分方程的假设相同,主要变量符号不变,只是做了如下修正,:
第一,投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个期权;
第二,整个投资组合的调整存在交易成本,交易成本结构假设如下:
买卖资产时的交易成本正比于所交易的资产价格,这样如果买卖股(买入时>
0,卖出时<
0)价格为的股票,交易成本为,其中是取决于投资者个人具体成本情况的常数;
第三,投资者的组合调整策略事先确定:
按照规定的时间长度进行调整,即每隔时间进行一次再平衡,这里的不再是无穷小的,不再求趋于0的极限,而是一个固定的很短的时间段;
第四,股票价格的随机过程以离散的形式给出:
,其中是一个服从标准正态分布的随机变量;
第五,保值组合的预期收益率等于无风险银行存款利率。
(三)推导过程
1.构造与BS分析类似的无风险组合
无风险组合包括一单位价值为的衍生证券组合多头和单位的标的资产空头(价值为-)。
这里,为了消除组合中的不确定性,仍然要求。
令代表整个投资组合的价值,则。
2.计算一个时间长度之后的预期组合价值变化
由于需要考虑交易成本,整个组合价值的变化会相应减少:
(7.1)
其中由Ito引理求得。
我们可以看到,
实际上这就是第六章中的离散形式再减去一个交易成本项。
由无风险套利假设,有
(7.2)
3.求交易成本的预期值
要求交易成本项,关键在于获得值,即为了保值需要买卖的资产数量。
显然:
即为经过时间后持有的标的资产数量与期初持有数量之差。
应用Ito引理,的主要部分是
(7.3)
4.得到期权定价方程
将(7.1)和(7.3)代入(7.2)中计算得到(我们简称为H-W-W方程):
(7.4)
其中是的期望值。
(四)对H-W-W方程的理解
我们将H-W-W方程与BS微分方程进行比较,可以发现,在考虑交易成本问题之后,我们得到了一个类似的偏微分方程,唯一的区别在于项。
这一项具有十分重要的意义。
1.项在实际中具有深刻的金融含义
首先,让我们来考察项。
我们知道,通过选定适合的,我们消去了资产价格变动导致的不确定性,但是因为期权组合价格对资产价格的函数是一条曲线而非直线,这个仅仅对很短的时间间隔成立,随着资产价格的变化,如果继续维持原先的保值比率,就不再是无风险组合,这时如果不进行调整,就会出现“保值误差”。
而公式中的,又称为,其含义是期权价格对标的资产价格的二阶偏导,就是对保值误差程度的衡量。
由于存在保值误差,就需要调整资产头寸,因此很自然地它必然和预期的调整交易成本相联系。
其次,实际上可以分解为绝对值和资产价格的乘积,该项中的其他部分都是已知的,可以看作一个与具体交易成本相关的常数。
因此,这整项确实体现了组合调整成本的影响,是BS公式中没有的。
值得注意的是,其中的是依赖于投资者个人特殊情形的常数,因此相应的期权价格显然将会随着投资者情况的不同而不同。
2.的存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非线性方程
H-W-W方程的一个重要特点在于它同时适用于单个期权和期权组合,这是它优于Leland模型的主要原因之一。
在不考虑交易成本的时候,期权组合的价值是单个期权价值的线性加总;
但是当存在交易费用时,这个线性关系就不再成立。
这是因为组合中可能存在内部互相保值的现象而无需进行保值操作,这样,计算期权组合时需要考虑的交易成本会相应减少,从而使得考虑了交易费用之后的单个期权价值之和并不等于整个组合的价值。
因此,H-W-W方程是一个非线性的偏微分方程。
在这里也可以体现交易成本的规模效应性质:
组合规模越大,相互保值的可能性越大,从而大大减少交易费用。
H-W-W方程的非线性来源于的绝对值符号。
由于是期权价格曲线的二次偏导,这意味着对于期权的多方来说(无论是看涨还是看跌期权),始终存在;
相反,期权的空方。
因此只有在整个组合中所有S的都是同一符号即同为多头(或同为空头)的情况下,这个方程才是线性的,否则就会出现内部自我保值的现象而导致非线性。
3.期权多头和空头价值的不一致性
从以上分析可见,对于期权合约的多头和空头而言,如果考虑交易费用,期权的价值会因符号不同而不同。
这和我们用直观分析得到的结论一致:
考察交易成本的情况下,即使是同一个投资者,在套期保值过程中,持有同一个合约的多头头寸和空头头寸,价值也不同。
关于这一点,我们会在后面进一步讲解。
4.考虑单个普通期权的情形
由于单个普通期权的符号确定,所以我们可以去掉绝对值符号,得到更精确的结论。
对式(7.4)进行整理,我们发现,对于单个期权多头,由于,H-W-W方程实际上是一个以
(7.5)
为波动率的BS公式;
相反,由于单个期权的空头,H-W-W方程则化为一个以
(7.6)
为波动率的BS公式。
也就是说,考虑了交易成本之后的单个期权的定价,在BS公式中使用一个修正后的波动率即可求得。
这实际上是Leland模型的基本结论。
但是Leland模型只适用于单个简单期权或是所有的符号都相同的情形,因此H-W-W模型可以说是它的推广。
式(7.5)和(7.6)显示,当处于多头情形时,考虑交易费用后的波动率要明显小于实际波动程度。
这是因为当资产价格上涨时,需要卖出部分资产实现保值,卖出资产的交易成本降低了因价格上升而带来的收益,可以理解为波动水平在一定程度上被降低了。
空头时情况正好相反。
因此,我们进一步看到,对于同一个投资者而言,同一份期权合约上的多头头寸价值要低于空头头寸的价值。
这种在BS公式中使用修正后波动率的办法也可以推广到期权组合,条件是期权组合中的值必须无论何时何地都总是保持同一个符号。
(五)交易成本和保值频率选择
对于单个期权而言,我们可以通过,即用原来波动率和修正后波动率得到的期权价值之差算出交易成本。
对于很小的展开上式得:
代入欧式期权的表达式可得预期的交易费用为
其中定义同BS公式。
进一步定义
(7.7)
当远大于1时,说明交易成本过高,太小,调整过于频繁;
如果很小,说明成本对期权价值影响很小,选择的时间间隔太长,因此要降低,增加组合保值调整次数,以降低风险。
三、交易成本的其他模型
H-W-W模型是比较完善的交易成本模型,但是其中也存在一些问题,经济学家和实际工作者对此做了进一步的修正。
主要问题包括:
1.期权组合中的值不是同一个符号的情形。
由于H-W-W模型是非线性的,一般情
况下,都使用数值方法为其定价。
关于数值方法的使用,我们将在第八章作深入的阐述。
2.交易成本不是前述的简单结构,而是资产价格和调整数量的函数的情况。
更具体的说,一个最常见的假设就是
(7.8)
即交易成本包括一个固定成本,一个与交易规模成比例的成本和一个与交易总价值成比例的成本。
这时相应的微分方程扩展为
(7.9)
注意式(7.9)是非线性的。
3.H-W-W模型的整个组合调整策略是固定的,即按照规定的时间长度进行调整,而
不考虑这样调整是否最优。
而在现实生活中,投资者采取的策略一般都是对价格变动进行持续的监测,并给定一个风险限度,当头寸变动超过风险限度时才进行保值调整。
Whalley&
Wilmott(1993)和Henrotte(1993)都对这一情形进行了研究。
他们发现,由于没有进行完美保值,在时间段中投资组合的方差为,这里的是投资者实际持有的标的资产空头数量。
投资者总是设定一个参数,投资组合的风险要保持在此限度之内,即
(7.10)
当和的变动超过式(7.10)给定的宽度时,就需要进行组合的调整和再平衡。
Whalley&
Wilmott发现,一个考虑了和形如(7.8)的交易成本结构的微分方程为
这同样是一个依赖于值的微分方程,是对BS微分方程的非线性修正。
第三节
波动率微笑和波动率期限结构
BS公式的另一个重要假设是:
标的资产的波动率是常数。
在现实世界中,这个假设显然是无法成立的。
尽管我们无法直接在市场中观测到资产波动率的大小,然而任何处于市场中的投资者都可以明显感觉到这一点,对资产价格时间序列数据的统计检验更进一步证实了资产价格波动率并非常数。
换一个角度来看,假如波动率是常数,那么对于标的资产相同的一类期权,无论其执行价格或到期时间有多大的差异,从它们的期权价格中推导出来的隐含波动率都应该是大致相同的,否则就意味着期权市场存在着套利机会。
更具体地说,隐含波动率高的期权价值相对被高估,可以做空;
隐含波动率低的期权相对被低估,可以做多,从而获得无风险收益。
从理论上说,这种套利行为的大量存在会使得不同期权品种所对应的隐含波动率差异消失。
但是,人们却发现这种差异始终存在,显然,不同的执行价格和不同的到期时间对应不同的隐含波动率,这一现象似乎是客观存在的,而非市场偶然性错误定价的结果。
也就是说,波动率并非常数,因而BS公式得到的期权价格并不完全符合现实。
更具体地说,人们通过研究发现,应用期权的市场价格和BS公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向的变动规律:
1.隐含波动率会随着期权执行价格不同而不同,这个规律被称为“波动率微笑”
(VolatilitySmiles);
2.隐含波动率会随期权到期时间不同而变化,这叫做波动率期限结构(Volatility
TermStructure)。
通过把波动率微笑和波动率期限结构放在一起,实际从业人员构造出一个波动率矩阵(VolatilityMatrices),它是我们考察和应用波动率变动规律的基本工具之一。
一、波动率微笑
对具有相同标的资产和到期日,但执行价格不同的期权价格隐含波动率进行比较,我们就可以绘出一个隐含波动率对执行价格的变化曲线。
一般来说,这条曲线常常呈现形如图7.1的形状,象是一个微笑的表情,波动率微笑因此而得名。
显然,波动率微笑很直观地告诉我们,执行价格不同,也就是说,当期权分别处于平价、实值和虚值状态时,即使其他条件全都相同,标的资产的隐含波动率也并不相同。
为了解释这一广泛存在的现象,人们提出了一些理论,由于波动率微笑的具体形状会随着标的资产的不同而不同,而这些形状往往可以在标的资产价格的概率分布中得到解释,因此最具说服力的是“分布理论”。
该理论认为,BS定价模型假设标的资产价格服从对数正态分布,但市场并不这样认为,市场分布和BS分布之间的差异导致了波动率微笑的出现。
一般说来,波动率微笑有以下两种常见模式:
1.货币期权的波动率微笑
对于货币期权而言,隐含波动率常常呈现如7.1所示的近似U形。
也就是说,平价期权的波动率最低,而实值和虚值期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而增大,两边比较对称。
这一波动率微笑对应着如图7.2中实线所描绘的概率分布,为了与虚线表示的BS对数正态分布相区别,我们把它叫做隐含分布。
注意,这两个分布具有同样的均值和标准差,但是隐含分布比BS分布尖峰胖尾。
我们可以从如下分析中看到这两个图是相互一致的。
先考虑一个深度虚值的货币看涨期权,执行价格很高,为,当且仅当汇率上升到高于时,这个期权才会被执行,图7.2显示隐含分布中价格大于的概率显然大于BS分布的概率。
因此,隐含概率分布意味着更高的期权价格,从而得到更高的隐含波动率。
这显然符合图7.1中较高的执行价格对应较高的波动率的现象。
然后再考虑一个深度虚值的货币看跌期权,价格是较低的,只有当标的资产价格下降到低于时,这个期权才会被执行。
图7.2同样显示,低于的概率大于正态分布的情形。
因此,我们可以预期隐含分布会得到一个更高的价格从而得到更高的隐含波动率。
图7.1货币期权的波动率微笑图7.2货币期权的对数正态分布和隐含分布
研究发现,货币期权的波动率微笑符合我们对汇率数据的实证结果。
实证数据同样表明,汇率的极端变化要比对数正态分布所描绘的更经常出现。
这是因为一种资产的价格为对数正态分布需要两个条件:
第一,资产波动率为常数;
第二,资产价格变动连续平滑,没有跳跃。
但是在现实中,汇率价格的变化并不满足这两个条件。
汇率的波动率不是常数,而且汇率常常出现跳跃。
这两个原因导致了极端情况变得更有可能出现。
实际上许多金融资产价格都具有以上两个特征,从而使得它们对应的隐含波动率也常常呈现“波动率微笑”,只是它们往往同时也受到其他因素的影响,使波动率的形状发生了相应的变化,如我们将在下面介绍的波动率偏斜。
需要注意的是,价格的跳跃和波动率的随机性对波动率微笑的影响还会因时间而改变。
离到期时间越远,跳跃和随机波动率对波动率微笑的影响都会降低,因为时间越长,跳跃和随机波动所造成的效果越可能被“平均化”,从而在价格的分布中几乎看不到,因此到期日越远,波动率微笑越不明显,隐含波动率越接近常数。
2.股票期权的波动率偏斜
股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形状,如图7.3所示。
有时被叫做“波动率偏斜”(VolatilitySkew),看起来象一个偏斜了的微笑。
当执行价格上升的时候,波动率下降,而一个较低的执行价格所隐含的波动率则大大高于执行价格较高的期权。
也就是说,这时,波动率曲线的形状不再象货币期权那么对称,而是向右下方偏斜的。
股票期权的波动率微笑对应着图7.4给出的隐含分布。
与虚线的对数正态分布相比,隐含分布左尾更大,这意味着一个执行价格为的深度虚值看跌期权(或深度实值看涨期权)价格会偏高,从而有较高的波动率;
同时隐含分布的右尾更小,这意味着一个执行价格为的深度虚值看涨期权(或深度实值看跌期权)价格会偏低,从而波动率较低。
这显然符合7.3的波动率微笑曲线。
图7.3股票期权的波动率微笑(偏斜)图7.4股票期权的对数正态分布和隐含分布
股票期权之所以会有偏斜的波动率微笑,一个可能的解释与股市的“崩盘”有关。
偶尔发生的崩盘事件深刻影响了投资者的心理,投资者很担心一个类似于1987年10月的暴跌再次发生,因此市场对价格变化的概率估计是不对称的,即价格显著下跌的可能性远远大于显著上升的可能性,这导致了隐含波动率的偏斜。
二、波动率期限结构
除了波动率微笑,期权交易者还常常使用波动率期限结构。
这是指其他条件不变时,平价期权所对应的隐含波动率随到期日不同所表现出来的变化规律。
一般来说,不同的标的资产所表现出来的期限结构具体形状会有所不同,但它们大都具有以下两个特点:
1.从长期来看,波动率大多表现出均值回归(Mean-reverting)。
即到期日接近时,隐含波动率的变化较剧烈,随着到期时间的延长,隐含波动率将逐渐向历史波动率的平均值靠近,呈现均值回归现象。
2波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响。
大多时候,期权到期日越近,波动率“微笑”就越显著,到期日越长,不同价格的隐含波动率差异越小,接近于常数。
三、波动率矩阵
把波动率微笑和波动率期限结构结合在一张表里,可以得到任何执行价格和任何到期时间的期权所对应的隐含波动率,就形成了波动率矩阵。
如表7.1所示波动率矩阵的一个方向是执行价格,另一个方向是距离到期的时间,矩阵中的内容是从BS公式中计算得到的隐含波动率。
在任意给定的时刻,该矩阵中的某些期权在市场中有交易,从而这些期权的波动率可以直接从它们的市场价格中计算出来,其余的点则可以用线性插值法确定。
当必须为某个新的期权定价时,交易人员就从矩阵中寻找适当的波动率。
例如,当为一个执行价格为1.05的9个月期权定价时,交易人员将在13.4和14.0之间进行线性插值,得到适合的波动率为13.7%,这个波动率将在BS公式或二叉树定价方法(我们将在第九章讨论这一方法)中使用。
剩余有效期
执行价格
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
一个月
14.2
13.0
12.0
13.1
14.5
三个月
14.0
六个月
14.1
13.3
12.5
13.4
14.3
一年
14.7
13.5
14.8
两年
15.0
14.4
15.1
五年
14.6
表7.1波动率矩阵
四、波动率微笑和波动率期限结构的意义和应用
波动率微笑和波动率期限结构的存在,证明了BS公式关于波动率为常数的基本假设是不成立的,至少期权市场不是这样预期的。
因此放松波动率为常数的假设,成为期权理论发展的一个重要方向。
目前主要有两种不同的策略:
1.从期权市场出发的改良策略,即仍然以BS模型为
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