相交线与平行线复习及练习题Word文档格式.docx
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内错角相等,两直线平行。
判定3:
同旁内角相等,两直线平行。
三、经典例题
题型一 互余与互补
例1一个角的余角比它的补角的少20°
.则这个角为( )
A.30°
B.40°
C.60°
D.75°
分析 若设这个角为x,则这个角的余角是90°
-x,补角是180°
-x,于是构造出方程即可求解.
解 设这个角为x,则这个角的余角是90°
-x.
则根据题意,得
(180°
-x)-(90°
-x)=20°
.解得:
x=40°
.故应选B.
说明 处理有关互为余角与互为补角的问题,除了要弄清楚它们的概念,通常情况下不要引进未知数,构造方程求解.
题型二 平行线的性质与判定
例2判断题:
1)不相交的两条直线叫做平行线。
( )
2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
( )
3)两直线平行,同旁内角相等。
( )
4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等。
答案:
(1)错,应为“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”。
(2)错,应为“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”。
(3)错,应为“两直线平行,同旁内角互补”。
(4)错,应为“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”。
例3已知:
如图1,l1∥l2,∠1=50°
,则∠2的度数是( )
A.135°
B.130°
C.50°
D.40°
分析 要求∠2的度数,由l1∥l2可知∠1+∠2=180°
,于是由∠1=50°
,即可求解.
解 因为l1∥l2,所以∠1+∠2=180°
,
又因为∠1=50°
,所以∠2=180°
-∠1=180°
-50°
=130°
说明 本题是运用两条直线平行,同旁内角互补求解.
例4如图2,已知直线l1∥l2,∠1=40°
,那么∠2=度.
分析 如图2,要求∠2的大小,只要能求出∠3,此时由直线l1∥l2,得∠3=∠1即可求解.
解 因为l1∥l2,∠1=40°
,所以∠1=∠3=40°
.
又因为∠2=∠3,所以∠2=40°
.故应填上40°
说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行,同位角相等求解.
图3
例5如图3,已知AB∥CD,∠1=30°
,∠2=90°
,则∠3等于( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
分析 要求∠3的大小,为了能充分运用已知条件,可以过∠2的顶点作EF∥AB,由有∠1=∠AEF,∠3=∠CEF,再由∠1=30°
求解.
解 如图3,过∠2的顶点作EF∥AB.所以∠1=∠AEF,
又因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以∠3=∠CEF,
而∠1=30°
,所以∠3=90°
-30°
=60°
.故应选A.
说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行,内错角相等求解.
例6如图4,AB∥CD?
,直线EF分别交AB,CD于E,F两点,∠BEF的平分线交CD于点G,若∠EFG=72°
,则∠EGF等于( )
A.36°
B.54°
C.72°
D.108°
分析 要求∠EGF的大小,由于AB∥CD?
,则有∠BEF+∠EFG=180°
,∠EGF=∠BEG,而EG平分∠BEF,∠EFG=72°
,所以可以求得∠EGF=54°
解 因为AB∥CD?
,所以∠BEF+∠EFG=180°
,∠EGF=∠BEG,
又因为EG平分∠BEF,∠EFG=72°
,所以∠BEG=∠FEG=54°
说明 求解有关平行线中的角度问题,只要能熟练掌握平行线的有关知识,灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.
课堂作业:
如图,已知
于D,
为
上一点,
于F,
交CA于G.求证
例7已知:
如图,AB∥CD,求证:
∠B+∠D=∠BED。
分析:
可以考虑把∠BED变成两个角的和。
如图5,过E点引一条直线EF∥AB,则有∠B=∠1,再设法证明∠D=∠2,需证
EF∥CD,这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。
证明:
过点E作EF∥AB,则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)。
∵AB∥CD(已知),
又∵EF∥AB(已作),
∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠D=∠2(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠BED=∠1+∠2,
∴∠BED=∠B+∠D(等量代换)。
变式1已知:
如图6,AB∥CD,求证:
∠BED=360°
-(∠B+∠D)。
此题与例1的区别在于E点的位置及结论。
我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角,如果把∠BED看成是大于平角的角,可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。
因此,我们模仿例1作辅助线,不难解决此题。
过点E作EF∥AB,则∠B+∠1=180°
(两直线平行,同旁内角互补)。
∴∠D+∠2=180°
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°
+180°
(等式的性质)。
∴∠B+∠D+∠BED=360°
(等量代换)。
∴∠BED==360°
-(∠B+∠D)(等式的性质)。
变式2已知:
如图7,AB∥CD,求证:
∠BED=∠D-∠B。
此题与例1的区别在于E点的位置不同,从而结论也不同。
模仿例1与变式1作辅助线的方法,可以解决此题。
过点E作EF∥AB,则∠FEB=∠B(两直线平行,内错角相等)。
∴∠FED=∠D(两直线平行,内错角相等)。
∵∠BED=∠FED-∠FEB,
∴∠BED=∠D-∠B(等量代换)。
变式3已知:
如图8,AB∥CD,求证:
∠BED=∠B-∠D。
此题与变式2类似,只是∠B、∠D的大小发生了变化。
过点E作EF∥AB,则∠1+∠B=180°
∴∠FED+∠D=180°
∴∠1+∠2+∠D=180°
。
∴∠1+∠2+∠D-(∠1+∠B)=180°
-180°
∴∠2=∠B-∠D(等式的性质)。
即∠BED=∠B-∠D。
例8已知:
如图9,AB∥CD,∠ABF=∠DCE。
求证:
∠BFE=∠FEC。
证法一:
过F点作FG∥AB,则∠ABF=∠1(两直线平行,内错角相等)。
过E点作EH∥CD,则∠DCE=∠4(两直线平行,内错角相等)。
∵FG∥AB(已作),AB∥CD(已知),
∴FG∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
又∵EH∥CD(已知),
∴FG∥EH(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。
∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式的性质)
即∠BFE=∠FEC。
证法二:
如图10,延长BF、DC相交于G点。
∴∠1=∠ABF(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠ABF=∠DCE(已知),
∴∠1=∠DCE(等量代换)。
∴BG∥EC(同位角相等,两直线平行)。
∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等)。
如果延长CE、AB相交于H点(如图11),也可用同样的方法证明(过程略)。
证法三:
(如图12)连结BC。
∴∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等)。
∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE(等式的性质)。
即∠FBC=∠BCE。
∴BF∥EC(内错角相等,两直线平行)。
题型三 尺规作图
例9已知角α和线段c如图5所示,求作等腰三角形ABC,使其底角∠B=α,腰长AB=c,要求仅用直尺和圆规作图,写出作法,并保留作图痕迹.
分析 要作等腰三角形ABC,使其底角∠B=α,腰长AB=c,可以先作出底角∠B=α,再在底角的一边截取BA=c,然后以点A为圆心,线段c为半径作弧交BP于点C,即得.
作法
(1)作射线BP,再作∠PBQ=∠α;
(2)在射线BQ上截取BA=c;
(3)以点A为圆心,线段c为半径作弧交BP于点C;
(4)连接AC.则△ABC为所求.如图6.
例10如图7,已知∠AOB和射线O′B′,用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB(要求保留作图痕迹).
分析 只要再过点O′作一条射线O′A′,使得∠A′O′B′=∠AOB即可.
作法
(1)以O为圆心,任意长为半径,画弧,交OA、OB于点C、D;
(2)以O′为圆心,同样长为半径画弧,交O′B′于点D′;
(3)以D′为圆心,CD长为半径画弧与前弧交于点C′;
(4)过点O′C′作一条射线O′A′.如图7中的∠A′O′B′即为所求作.
说明 在实际答题时,根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.
课后作业:
1、选择题
1.下列说法中,正确的是()
A.一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫做这个角的平分线;
B.P是直线L外一点,A、B、C分别是L上的三点,已知PA=1,PB=2,PC=3,则点P到L的距离一定是1;
C.相等的角是对顶角;
D.钝角的补角一定是锐角.
2.如图1,直线AB、CD相交于点O,过点O作射线OE,则图中的邻补角一共有()
A.3对B.4对C.5对D.6对
(1)
(2)(3)
3.若∠1与∠2的关系为内错角,∠1=40°
,则∠2等于()
A.40°
B.140°
C.40°
或140°
D.不确定
4.如图,哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到()
5.a,b,c为平面内不同的三条直线,若要a∥b,条件不符合的是()
A.a∥b,b∥c;
B.a⊥b,b⊥c;
C.a⊥c,b∥c;
D.c截a,b所得的内错角的邻补角相等
6.如图2,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:
(1)∠1=∠5;
(2)∠1=∠7;
(3)∠2+∠3=180°
;
(4)∠4=∠7,其中能判定a∥b的条件的序号是()
A.
(1)、
(2)B.
(1)、(3)C.
(1)、(4)D.(3)、(4)
7.如图3,若AB∥CD,则图中相等的内错角是()
A.∠1与∠5,∠2与∠6;
B.∠3与∠7,∠4与∠8;
C.∠2与∠6,∠3与∠7;
D.∠1与∠5,∠4与∠8
8.如图4,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,ED平分∠BEF.若∠1=72°
,则∠2的度数为()
A.36°
B.54°
C.45°
D.68°
(4)(5)(6)
9.已知线段AB的长为10cm,点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm,则符合条件的直线L的条数为()
A.1B.2C.3D.4
10.如图5,四边形ABCD中,∠B=65°
,∠C=115°
,∠D=100°
,则∠A的度数为()
A.65°
B.80°
C.100°
D.115°
11.如图6,AB⊥EF,CD⊥EF,∠1=∠F=45°
,那么与∠FCD相等的角有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.若∠A和∠B的两边分别平行,且∠A比∠B的2倍少30°
,则∠B的度数为()
A.30°
B.70°
C.30°
或70°
D.100°
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案填在题中横线上)
13.如图,一个合格的弯形管道,经过两次拐弯后保持平行(即AB∥DC).如果∠C=60°
,那么∠B的度数是________.
14.已知,如图,∠1=∠ABC=∠ADC,∠3=∠5,∠2=∠4,∠ABC+∠BCD=180°
.将下列推理过程补充完整:
(1)∵∠1=∠ABC(已知),
∴AD∥______
(2)∵∠3=∠5(已知),
∴AB∥______,
(_______________________________)
(3)∵∠ABC+∠BCD=180°
(已知),
∴_______∥________,
(________________________________)
16.已知直线AB、CD相交于点O,∠AOC-∠BOC=50°
,则∠AOC=_____度,∠BOC=___度.
17.如图7,已知B、C、E在同一直线上,且CD∥AB,若∠A=105°
,∠B=40°
,则∠ACE为_________.
(7)(8)(9)
18.如图8,已知∠1=∠2,∠D=78°
,则∠BCD=______度.
19.如图9,直线L1∥L2,AB⊥L1,垂足为O,BC与L2相交于点E,若∠1=43°
,则∠2=_______度.
20.如图,∠ABD=∠CBD,DF∥AB,DE∥BC,则∠1与∠2的大小关系是________.
三、解答题(本大题共6小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
22.(7分)如图,AB∥A′B′,BC∥B′C′,BC交A′B′于点D,∠B与∠B′有什么关系?
为什么?
23.(6分)如图,已知AB∥CD,试再添上一个条件,使∠1=∠2成立(要求给出两个答案).
24.(6分)如图,AB∥CD,∠1:
∠2:
∠3=1:
2:
3,说明BA平分∠EBF的道理.
25.(7分)如图,CD⊥AB于D,点F是BC上任意一点,FE⊥AB于E,且∠1=∠2,∠3=80°
.求∠BCA的度数.
26.(8分)如图,EF⊥GF于F.∠AEF=150°
,∠DGF=60°
,试判断AB和CD的位置关系,并说明理由.
课堂作业答案:
22.∠A=∠F.∵∠1=∠DGF(对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF=∠2 ∴DB∥EC(同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA=∠C(两直线平行,同位角相等) 又∵∠C=∠D ∴∠DBA=∠D ∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).
课后作业答案:
1.D
2.D点拨:
图中的邻补角分别是:
∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠AOD,∠COE与∠DOE,∠BOE与∠AOE,∠BOD与∠BOC,∠AOD与∠BOD,共6对,故选D.
3.D4.C5.C6.A
7.C点拨:
本题的题设是AB∥CD,解答过程中不能误用AD∥BC这个条件.
8.B点拨:
∵AB∥CD,∠1=72°
∴∠BEF=180°
-∠1=108°
.
∵ED平分∠BEF,
∴∠BED=
∠BEF=54°
∵AB∥CD,∴∠2=∠BED=54°
.故选B.
9.C点拨:
如答图,L1,L2两种情况容易考虑到,但受习惯性思维的影响,L3这种情况容易被忽略.
10.B
11.D点拨:
∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°
故选D.
12.C点拨:
由题意,知
或
解之得∠B=30°
.故选C.
13.120°
14.
(1)BC;
同位角相等,两直线平行
(2)CD;
内错角相等,两直线平行
(3)AB;
CD;
同旁内角互补,两直线平行
15.
(2),(3),(5)
16.115;
65
点拨:
设∠BOC=x°
,则∠AOC=x°
+50°
∵∠AOC+∠BOC=180°
∴x+50+x=180,解得x=65.
∴∠AOC=115°
,∠BOC=65°
17.145°
18.102
19.133
如答图,延长AB交L2于点F.
∵L1∥L2,AB⊥L1,∴∠BFE=90°
∴∠FBE=90°
-∠1=90°
-43°
=47°
∴∠2=180°
-∠FBE=133°
20.∠1=∠2
21.解:
如答图,由邻补角的定义知∠BOC=100°
∵OD,OE分别是∠AOB,∠BOC的平分线,
∴∠DOB=
∠AOB=40°
,∠BOE=
∠BOC=50°
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°
=90°
22.解:
相等
理由∵AB∥A′B′,BC∥B′C′,
∴∠B=∠A′DC,∠A′DC=∠B′,
∴∠B=∠B′.
23.CF∥BE或CF、BE分别为∠BCD、∠CBA的平分线等.
24.解:
设∠1、∠2、∠3分别为x°
、2x°
、3x°
∵AB∥CD.
∴由同旁内角互补,得2x+3x=180,解得x=36.
∴∠1=36°
,∠2=72°
∵∠EBG=180°
∴∠EBA=180°
-(∠1+∠2)=72°
∴∠2=∠EBA.
∴BA平分∠EBF.
25.解:
CD⊥AB,FE⊥AB,∴CD∥EF,∴∠2=∠FCD.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠FCD.
∴DG∥BC.∴∠BCA=∠3=80°
26.解:
AB∥CD.
理由:
如答图,过点F作FH∥AB,则∠AEF+∠EFH=180°
∵∠AEF=150°
,∴∠EFH=30°
又∵EF⊥GF,∴∠HFG=90°
-30°
=60°
又∵∠DGF=60°
∴∠HFG=∠DGF.
∴HF∥CD,从而可得AB∥CD.
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