现代控制理论课后习题答案.doc
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第一章控制系统的状态空间表达式
1-1试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式
解:
系统的模拟结构图如下:
系统的状态方程如下:
令,则
所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。
以电压为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解:
由图,令,输出量
有电路原理可知:
既得
写成矢量矩阵形式为:
1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.
K1
K2
B2
f1(t)
M1
M2
B1
\y2
c2
y1
c1
f2(t)
解:
以弹簧的伸长度y1,y2质量块M1,M2的速率c1,c2作为状态变量
即x1=y1,x2=y2,x3=c1,x4=c2
根据牛顿定律,对M1有:
M1=f1-k1(y1-y2)-B1(c1-c2)
对M2有:
M2=f2+k1(y1-y2)+B1(c1-c2)-k2y2-B2c2
将x1,x2,x3,x4代入上面两个式子,得M1=f1-k1(x1-x2)-B1(x3-x4)
M2=f2+k1(x1-x2)+B1(x3-x4)-k2x2-B2x4
整理得=x3
=x4
=f1-x1+x2-x3+x4
=f2+x1-x2+x3-x4
输出状态空间表达式为y1=c1=x3
y2=c2=x4
1-4两输入,,两输出,的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解:
系统的状态空间表达式如下所示:
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的的模拟结构图。
(1)解:
由微分方程得:
系统的传递函数为W(s)=
则状态空间表达式为:
相应的模拟结构图如下:
x1
X2
U
7
2
5
1
3
y
(2)解:
由微分方程得:
系统的传递函数为W(s)=
则状态空间表达式为:
相应的模拟结构图如下:
1-6已知系统传递函数
(1)
(2),试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图
解:
(1)由可得到系统表达式为
X1
X2
X3
(2)
y
X1
X2
X3
X4
u
1-7给定下列状态空间表达式
(1)画出其模拟结构图
(2)求系统的传递函数
解:
(2)
1-8求下列矩阵的特征矢量:
(1)A=
解:
A的特征方程:
===0
解之得:
=-2+j,=-2-j;
当=-2+j时,=(-2+j)
解得:
=-j,令=1,得=;
当=-2-j时,=(-2-j)
解得:
=-j,令=1,得=
(2)A=
解:
A的特征方程:
===0
解之得:
=-2,=-3;
当=-2时,=-2
解得:
=-2,令=1,得=;
当=-3时,=-3
解得:
=-3,令=1,得=
(3)
解:
A的特征方程
解之得:
当时,
解得:
令得
(或令,得)
当时,
解得:
令得
(或令,得)
当时,
解得:
令得
(4)
解:
A的特征方程
解之得:
当时,
解得:
令得
当时,
解得:
令得
当时,
解得:
令得
1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。
(1)=+uy=x
解:
A的特征方程==0
解得=-1或=-3
当=-1时,=-
解之得P11=P21,令P11=1,得P1=
当=-3时=-3
解之得P21=-P22,令P21=1,得P2=
故T=,=,
则=,=,CT=,
故约旦标准型为=Z,y=Z
(2)=+u
=
解:
A的特征方程===0
解得=3,=1
当=3时特征向量:
=3
解之得P12=P21=P31,令P11=1,得P1=
当2=3时的广义特征向量,=3+
解之得P12=P22+1,P22=P32,令P12=1,得P2=
当=1时=
解之得P13=0,P23=2P33,令P33=1,的P3=
故T=,=
AT=B=CT=
故约旦标准型为=X+u
Y=X
1—10.已知两子系统的传递函数阵和分别为:
=
=
试求两子系统串联连接时系统的传递函数,并讨论所得结果。
解:
两子系统串联联接时,系统的传递函数阵W(s)=,得
W(s)==
两子系统并联联接时,系统的传递函数阵W(s)=+,得
W(s)=+=
串联联接时,由于前一环节的输出为后一环节的输入,串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关,故改变向后次序等效特性会发生改变。
并联联接时,系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。
1-11已知如图1-22(见教材47页)所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数阵。
解:
1-12已知差分方程为:
试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
解:
由差分方程得传递函数
化为并联型:
化为能控标准型:
第二章控制系统状态空间表达式的解
2-1试证明同维方阵A和B,当AB=BA时,=,而当ABBA时,。
证明:
由矩阵指数函数=
可得:
=
=
=
=
将以上两个式子相减,得:
-=
显然,只有当时,才有-=0,即=;
否则。
2-2试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式(2.17),
式(2.18),式(2.19)和式(2.20)成立。
证明:
(1)式(2.17)
由矩阵指数函数=
可得:
=
==
即得证。
(2)式(2.18)
由矩阵指数函数=
可知,若存在非奇异变换阵,使得,则,且是特征根
可知
==
即得证。
(3)式(2.19)
若为约旦矩阵,==
由矩阵指数函数=
=,
则=,=,
,
将以上所求得的、、、代入式,令=,则
第块的状态转移矩阵:
=
==,
即得证。
(4)式(2.20)
拉式反变换法证明:
由,得:
,
=
则状态转移矩阵为:
=
由欧拉公式得:
=
即得证。
2-3已知矩阵A=
试用拉氏反变换法求。
(与例2-3、例2-7的结果验证)
解:
由=
转化成部分分式为:
=
又由拉氏反变换得:
=
2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
(1)A=
(2)A=
解:
(1)方法一:
约旦标准型
由A=,令=0,
即,得,解得=,
由可得
①当时,设=
由,得,解得即
②当时,设=
由,得,解得即
变换矩阵,
则,矩阵指数函数==
=
方法二定义法
由已知
得
方法三:
凯莱-哈密顿定理
由A=,令=0,
即,得,解得:
特征根=,
则===
则,矩阵指数函数
=+
=
(2)方法一:
约旦标准型
由A=,令=0,
即,得,解得=,
由可得
①当时,设=
由,得,解得即
②当时,设=
由,得,解得即
变换矩阵,
则,矩阵指数函数==
=
方法二:
拉式反变换法
由=,得:
==
则,矩阵指数函数=
方法三:
凯莱-哈密顿定理
由A=,令=0,
即,得,解得=,
则===
则,矩阵指数函数
=+
=
2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A阵。
(1)=
(2)=
(3)=
(4)
解:
(1)因为
,
所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件
(2)因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
则
(3)因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
则
(4)因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
则
2-6求下列状态空间表达式的解:
=
初始状态,输出是单位阶跃函数。
解:
系统矩阵:
特征多项式为:
因为,
所以
2-7试证明本章2.3节,在特定控制作用下,状态方程式(2.25)的解、式(2.30)、式(2.31)和式(2.32)成立。
证明:
(1)采用类似标量微分方程求解的方法,则有:
等式两边同乘,得:
即
对上式在[,t]上积分,有:
整理后可得式:
(2)脉冲响应:
=K,时,
由状态方程解为:
把带入,有
带入,有
(考虑到函数的特点)
(3)阶跃响应:
由状态方程解为:
把带入,有
,积分,由上式得:
=
=
=
(4)斜坡响应:
由状态方程解为:
把,代入,有
=
=
=
=
2-8计算下列线性时变系统的状态转移矩阵和。
=
=
解:
由题意知:
==
=
==
即:
和是可以交换的
由:
得:
==+++
=
由状态转移矩阵的基本性质:
=,得:
==
而==
=
==
即:
和是可以交换的
由:
得:
==
=+++
=
由题意知:
==
=
==
即:
和是可以交换的
由:
得:
==+++
=
由状态转移矩阵的基本性质:
=,得:
==
而==
=
==
即:
和是可以交换的
由:
得:
==
=+++
=
2-9有系统如图2.2所示,试求离散化的状态空间表达式。
设采样周期分别为=0.1s和1s,而和为分段常数。
解:
图2.2系统结构图
解:
将此图化成模拟结构图
列写状态方程为:
可表示为:
则离散化的时间状态空间表达式为:
由和得:
系统的个矩阵为:
当T=0.1s时,有
当T=1s时,有
2-10有离散时间系统如下,求
=
,
输入是斜坡函数采样而来,是从同步采样而来。
解:
由题易得
将G变换为对角型
令:
可得:
即:
特征方程
解得
分别令
可得特征矢量
即转移矩阵为
则
则
设
则
可得
则
运用递推法
2-11某离散时间系统的结构图如图2.3所示。
零阶保持器
1
(s+1)(s+2)
r(t)
+
-
图2.3离散系统结构图
写出系统的离散状态方程。
当采样周期=0.1s时的状态转移矩阵。
输入为单位阶跃函数,初始条件为零的离散输出。
=0.25s时刻的输出值。
解:
(1)系统中连续时间被控对象的时间函数为:
==
连续时间被控对象的状态空间表达式为:
即:
=+
输出方程为:
=
==
==
===
则,被控对象的离散化状态方程为:
=+
(2)由
(1)得当T=0.1s时
===
(3)由题意知=1,T=0.1s
=+
初始条件为零,即:
,
当k=0时,=
当k=1时,=+=
当k=2时,=+=
系统的离散化输出为:
==
=
=
=
=
(4)当t=0.25s时,==
第三章线性控制系统的能控性与能观性
3-1判别下列系统的能控性与能观性。
系统中a,b,c,d的取值与能控性能观性是否有关,若有关其取值条件如何?
(1)
由解:
由图可得:
状态空间表达式为:
由于、、与无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统。
由于只与有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统。
此可知系统中的a,b,c,d的取值对系统的能控性和能观性没有影响
(2)
由系统的结构图可以知道其状态空间表达式为
则由此可知
若系统可控则
同理可知
若系统能观则
(3)系统如下式:
解:
如状态方程与输出方程所示,A为约旦标准型,要使系统能控,控制系统b
中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有,。
要使系统能观,则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有,。
3-2时不变系统:
=x+
y=
试用两种方法判别其能控性与能观性。
解:
一、
(1)变换为约旦型
==-1=+8=0
当时由得令则得
当时由得令则得
则其逆矩阵
则因为有一行元素为零所以系统不能控。
(2)由已知转换矩阵则
因为CT没有全为0的列所以系统是能观的。
二、
(1)能控性判别由能控判别阵M=(b,Ab)因为
,所以
所以M所有二阶式全为0且rankM<2则系统不能控
(2)能观性判别由能观判别阵
因为
所以因为N的所有二阶式全不为0且rankN=2则满秩
所以系统是能观的。
3-3确定是下列系统为状态完全能控和状态完全能观的系统。
解:
构造能控阵:
要使系统完全能控,则,即
构造能观阵:
要使观,则,即
,,
解:
由题知得:
构建能控判别阵:
构建能观判别阵:
由于该系统状态完全能控和状态完全能观。
所以:
所以满足题意的取值为:
,,
解:
由题知得:
构建能控判别阵:
构建能观判别阵:
由于该系统状态完全能控和状态完全能观。
所以:
所以满足题意的取值为:
3-4线性系统传递函为:
(1)试确定的值,是系统为不能控不能观的。
(2)在上述的取值下,求使系统为能控能状态空间表达式。
(3)在上述的取值下,求使系统为能观的状态空间表达式。
解.
(1)
系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。
因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观。
(2)当a=1或a=3或a=6时,将系统化为能控标准I型:
(3)根据对偶原理,当a=1或a=3或a=6时,系统的能观标准II型为:
3-5试证明对于单输入的离散时间定常系统r=(G,h),只要它是完全能控的,那么对于任意给定的非零初始状态x0,都可以在不超过n个采样周期的时间内转移到状态空间原点。
证明:
离散时间定常系统的状态方程:
初始状态为x0,则方程的解:
当k=0时
当k=2时
…
当k=n时
因为系统能控
所以能控判别阵M满秩
则有解
即
因为
所以x(n)=0
则该系统在不超过n个采样周期内,由任意给定的非零初始状态x0转移到了状态空间原点。
3-6已知系统的微分方程为:
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解:
有微分方程可写出系统的状态空间方程,
可求得其对偶系统,
,
所以其对偶系统的状态方程为,
及其传递函数,
3-7已知能控系统的状态方程A,b阵为:
,
试将该状态方程变换为能控标准型。
解:
易得,即系统是能控的
再由,
求得,,
所以,变换矩阵为:
,
可求得,
所以能控标准型为:
3-8已知能观系统的A,b,c阵为:
,,
试将该状态空间表达式变换为能观标准型。
解:
易得,即系统能观。
再由
可求得,,
所以,变换阵为
可求得,
所以,能观标准型为:
3-9已知系统的传递函数为
试求其能控标准型和能观标准型。
解:
可得
系统的能控标准I型为
又因为系统能控标准I型与能观标准II型对偶得
能观标准II型为
3-10给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型。
解:
3—11试将下列系统按能控性进行结构分解
(1)A=,b=,c=
(2)A=,b=,c=
解:
(1)构造能控判别矩阵
M=[b,Ab,A2b]=,易知rank(M)=2<3,故系统不完全能控。
构造奇异变换阵Rc,R1=b= R2 =Ab= R3=
其中 R3任意的,只需满足Rc满秩即
Rc=,则有RC-1=,可得
=RC-1ARc==
=RC-1b= ,
故系统分解为两部分
二维能控子系统
一维不能控子系统
(2)构造能控判别矩阵
M=[b,Ab,A2b]=,易知rank(M)=2<3,故系统不完全能控。
构造奇异变换阵Rc,R1= ,R2=,R3=,则
Rc=,RC-1=,可得
==
=RC-1b==
=cRc=
故系统分解为两部分
二维能控子系统
一维不能控子系统
3-12试将下列系统按能观性进行结构分解。
(1)
解:
(1)由已知得
则有能能观性判别阵
rankN=2<3,该系统不能观
构造非奇异变换矩阵,有
则
(2),,
解:
系统的能观性判别矩阵,
rankN=2<3,系统不完全能观
存在非奇异变换阵:
,
所以,
存在二维能观子系统:
一维不能观子系统:
3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。
(1)
解:
由已知得
rankM=3,则系统能控
rankN=3,则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
取,则
则,,
(2),,
解:
系统的能控性判别阵M:
rankM=2<4,系统不完全能控
存在非奇异变换阵:
,
所以,
按能控性可分解为,能控子系统:
不能控子系统:
1)对能控子系统进行能观分解,
,,
能观判别阵:
rank=1<2,系统不完全能观,
存在非奇异变换阵:
,
所以,
①能控能观子系统:
②能控不能观子系统:
2)对不能控子系统进行能观分解:
,
能观判别阵:
rank=1<2,系统不完全能观,
存在非奇异变换阵:
,
所以,
③不能控能观子系统:
④不能控不能观子系统:
3--14、求下列传递函数阵的最小实现:
解:
(1).W(s)的各元Wik(s)为严格真有理分式,其实现Σ具有(A,B,C)的形式,则有:
C(sI-A)-1B=W(s)
将C(sI-A)-1B写成按s降幂排列的格式:
可得:
a0=1,
可得到能控标准型的各系数阵:
,,
该能控标准型的能观性判别矩阵N为:
,rankN=1
则该能控标准型不完全能观,即该能控标准型不是最小系统。
构造变换阵R0-1,将系统按能观性分解:
取,则
有,
则,W(s)的最小实现为:
,
,
(2).W(s)的各元Wik(s)为严格真有理分式,其实现Σ具有(A,B,C)的形式,则有:
C(sI-A)-1B=W(s)
将C(sI-A)-1B写成按s降幂排列的格式:
可得:
a0=a1=a2=0,,,
可得到能控标准型的各系数阵:
,,
该能控标准型的能观性判别矩阵N为:
,rankN=3<6,
则该能控标准型不完全能观,即该能控标准型不是最小系统。
构造变换阵R0-1,将系统按能观性分解:
取,则
有,
则,W(s)的最小实现为:
,
,
3-15设和是两个能控且能观的系统
(1)试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数;
(2)试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数。
解:
(1)和串联
当的输出是的输入时,
,
则rankM=2<3,所以系统不完全能控。
当得输出是的输入时
,
因为
rankM=3则系统能控
因为
rankN=2<3则系统不能观
(2)和并联
,
因为rankM=3,所以系统完全能控
3-16从传递函数是否出现零极点对消现象出发,说明图3.18中闭环系统的能控性与能观性和开环系统的能控性和能观性是一致的。
图3.18系统结构图
解:
设W0(s)=(mn)
若系统不能控或(和)不能观,则W0(s)有零极点相消,即与有公因子。
若系统能控且能观,而无零极点对消,闭环系统的传递函数为
Wf(s)=
显然Wf(s)和W0(s)能相消的零极点是相同的。
所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致。
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
4-1判断下列二次型函数的符号性质:
(1)Q(x)=-x12-3x22-11x32+2x1x
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