八年级几何证明题.docx

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八年级几何证明题

几何证明题

1、已知：

如图1所示,

求证：

DE=DF

ABC中，C90,ACBC,ADDB,AECF

圏1

2、已知：

如图2所示,

AB=CD,AD=BC,AE=CF。

求证：

/E=ZF

图2

AH、AK分别为A到BP、CQ的垂

3、如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角平分线,

线。

求证：

KH//BC

4、已知：

如图4所示，AB=AC,三A90,AEBF,BD两。

求证：

FD丄ED

图4

B

5、已知：

如图6所示在丨ABCI中，丨B60，/BAC、/BCA的角平分线AD、CE相交

于O。

求证：

AC=AE+CD

Es

6、已知：

如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。

求证：

EF=BE+DF

图T

7、如图8所示，已知

ABC为等边三角形，延长BC到

BD，连结CE、DE。

求证：

EC=ED

AE=

8、例题：

已知：

如图

9所示,

12,ABAC。

求证：

BDDC

作业

1.已知：

如图11

ABCI中，丨C90!

D是AB上一点，DE丄CD于D，交

1

ACADCE。

求证：

DE-CD

2

所示,

BC于E,且有

C

/\、E

ADB

图11

2.已知：

如图12所示，在丨ABC中，丨A2Bl,CD是/C的平分线。

求证：

BC=AC+AD

图12

3.

已知：

如图13所示，过ABC的顶点A，在/A内任引一射线，过B、C作此射线的

图13

4.|ABC中，—于D，求证：

AD-ABACBC

4

【试题答案】

1、分析：

由ABC是等腰直角三角形可知,

AB45，由D是AB中点，可考

DCFDAE

虑连结CD，易得CDAD，DCF45。

从而不难发现

证明：

连结CD

ACBC

AB

ACB90，ADDB

CDBDAD，DCBBA

AECF，ADCB，ADCD

ADECDF

DEDF

说明：

在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的

平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证丨EFG|是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

2、证明：

连结AC

在ABC和ICDAI中,

ABCD,BCAD,ACCA

ABCCDA（SSS

BD

ABCD,AECF

BEDF

在BcE禾和DAF中，

BE

DF

B

D

BC

DA

BCE

DAF（SAS）

E

F

说明：

利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意:

1制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

3、分析：

由已知，BH平分/ABC，又BH丄AH，延长AH交BC于N，贝UBA=BN,AH

=HN。

同理，延长AK交BC于M，贝UCA=CM,AK=KM。

从而由三角形的中位线定理，

知KH//BC。

证明：

延长AH交BC于N，延长AK交BC于MTBH平分/ABC

BH

ABHNBH（ASA）

BABN,AHHN

KH//BC

说明：

当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

4、证明一：

连结AD

ABAC,BDDC

Z1Z290,ZDAEZDAB

ZBAC90,BDDC

BDAD

ZBZDABZDAE

AEBF,ZBZDAE,ADBD

ADEBDF

在ADE和BDF中，

31

3290

FDED

说明：

有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：

如图5所示，延长ED到M，使DM=ED,连结FE,FM,BM

A

/\

FE

/、/\

BDC

VI：

M

图5

BDDC

BDMCDE,DMDE

BDMCDE

CEBM,CCBM

BM//AC

A90

ABM90A

ABAC,BFAE

AFCEBM

AEFBFM

FE

FM

DM

DE

FD

ED

说明：

证明两直线垂直的方法如下：

（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理

得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中

两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

5、分析：

在AC上截取AF=AE。

易知丨AEOAFOI,I121。

由丨B60~知I5660,160,23120|。

丨123460I，得:

FOCDOC,FCDC

证明：

在AC上截取AF=AE

即ACAECD

6、分析：

此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。

不妨延长CB至G,

使BG=DF。

正方形ABCD中，ABGD90,ABAD

BD

AE

FD

BF

BA

AF

EF

即EF=AC

AC//FD

EACEFD

EACDFE（SAS

ECED

8、证明一：

延长AC至UE,使AE=AB，连结DE

在ADEI和IADB中,

AE

AB,

2

1,ADAD

ADE

ADB

BD

DE,

E

B

DCE

B

DCE

E

DE

DC,

BD

DC

证明二：

如图10所示，在AB上截取AF=AC,连结DF

A

12/

/\

F3/

34

BDC

图10

34,DFDC

BFD3,4B

则易证ADFADC

BFDB

BDDF

BDDC

说明：

在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。

作业1.证明：

取CD的中点F，

连结AF

C

1

F

jTV

3

卜E

A

D

B

ACAD

AFCD

AFCCDE90

2.分析：

本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一

“截长”即将长的线段截

条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。

成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短

线段之长，证明其和等于长的线段。

证明：

延长CA至E,使CE=CB,连结ED

在CBDI和ICEDI中,

又IBACADEE

ADEE,ADAE

CB

CE

BCD

ECD

CD

CD

CBD

CED

B

E

BAC

2

B

BAC

2

E

BCCEACAEACAD

3.证明：

延长PM交CQ于R

A

XQ

/\

R

B

C

LJ

M

P

CQAP,BPAP

BP//CQ

PBMRCM

又BMCM,BMPCMR

BPMCRM

PMRM

4.取BC中点E,连结AE

ADBC,ADAE

BC2AE2AD

AB

AC

BC

2BC

AB

AC

BC

4AD

AB

AC

BC

AD

1-AB

AC

BC

4

BAC90

2AEBC