二次函数讲义刘超docxWord文档格式.docx
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知识提炼:
(1)形如y=ax2+bx+c(a^b、c是常数,aHO)的函数叫做x的二次函数.例如:
y=x2-2x-3,y=2x2+x,y=-3x2+l等,都是x的二次函数.
(2)等号左边是y,右边是x的二次多项式,a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
(3)任何一个二次函数的解析式,都可以化成y=ax2+bx+c(a>
b、c是常数,aHO)的形式,因此,把y二ax'
+bx+c(a、b、c是常数,a^O)叫做二次函数的一般式.
丄
示例一:
下列函数:
①y二3x'
+2xT;
②y二2x?
+x(1-2x);
③y二x?
-兀2‘④y=x3+x2+2;
⑤y二-2x'
+6;
⑥y二mx'
+ZxT;
⑦
v=x3-x(x2+x-3):
(§
)v=(a+l)x%x+2中,是x的一次函数的是(只填写序号即可).
考点二:
二次函数y二ax?
的图像及性质
(1)图像:
(a^O)的图像是一条抛物线,其对称轴是y轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,
顶点坐标是(0,0).
(2)性质:
二次函数y=ax2(a^O)的性质如下表.
函数
a的
符号
图像
开口
方向
顶点坐标
对称
轴
函数值得变化
最值
y=ax2
(a^O)
a>
J
\
向上
(0,0)
y轴
x>
0,y随x的增大而增大;
x<
0,y随x的增大而减小
当x二0时,
y最小=0
X
a<
ky
向下
0,y随x的增大而减小;
0,y随x的增大而增大
当x=0时,
y放大二0
/
(3)抛物线y=ax2(a^0)的开口大小由丨aI决定,丨aI越大,抛物线的开口越窄;
丨aI越小,抛物线的开口越宽.
示例二:
已知(-2,刃),(-1,y2)两点都在函数y=-3x2的图像上,试比较y:
和y?
的大小.
示例三:
已知函数y=(n+2)/也4是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的n的值.
(2)n为何值时,抛物线有最低点?
求出这个最低点的坐标,并求y随x的增大而增大的x的取值范围.(3)n为何值时,函数有最大值?
最大
值是多少?
并求出y随x的增大而减小的x的取值范围.
考点三:
二次函数y=ax2+k的图像及性质
(1)二次函数y=ax2+k(a^0)的图像与尸d的图像形状相同,只是位置不同,也就是说平移后图像可以重合.当k>
0时,抛物线向上平移k个单位,得到y=ax2+k的图像;
当k<
0时,抛物线向下平移丨kI个单位,得到y=ax2+k的图像,规律为“上加下减”.
(2)性质:
二次函数y=ax2+k(aHO)的性质如下表.
3的
顶点坐
标
对称轴
y=ax2+k
(aHO)
ly
/.
(0,k)
y最小二k
丿x
Ly
当x=0时,
y眾大二k
/°
\x
示例四:
抛物线y二x'
-l的顶点坐标是()
A.(0,1)B.(0,-1)C.(1,0)D.(-1,0)
示例五:
抛物线y二2/向上平移5个单位,所得抛物线的解析式为()
A.y=2x2+5B.y=2x2-5C.y=2(x+5)2D.y=2(x-5)2
考点四:
二次函数尸a(x-h)彳的图像及性质
(1)二次函数y=a(x-h)2(aHO)的图像可以由y二ax'
向左或向右平移得到.当h>
0时,抛物线y二ax'
向右平移h个单位,得到y=a(x-h)2的图像;
当hVO吋,抛物线尸a/向左平移Ih丨个单位,得到y=a(x-h)2的图像.
二次函数y=a(x-h)2QH0)的性质如下表.
4
(h,0)
直线
x二h
h,y随x的增大而增大;
h,y随x的增大而减小
当X二h吋,
y=a(x~h)2
x=h
h,y随x的增大而减小;
h,y随x的增大而增大
当x=h时,
y城大=0
示例六:
将抛物线尸卡向右平移2.6个单位可得抛物线,所得抛物线的开口是——
对称轴是,顶点坐标是.
【综合应用题】
例1.在同一直角坐标系屮,函数y二ax'
与y=ax+a的图像大致是图屮的()
例2.试说明,通过怎样的平移,可以由抛物线y=--x2得到抛物线y=--x2-2?
如果要得到抛物线y=--xM,应将
333
抛物线尸-丄宀2作怎样的平移?
函数y二3(x+丄尸的图像可由y二3/的图像怎样平移得到?
它的开口方向、对称轴、
32
顶点分别是什么?
例3.能否适当地左右平移y*的图像,使得到的新的图像过点(4,2)?
若能,说出平移方向和距离;
若不能,
说明理由
例4.函数y=ax2(a^0)与直线y=2x-3交于点(1,b).
(1)求a和b的值.
(2)求抛物线y二ax'
的关系式,并求顶点坐标和对称轴.
(3)x収何值时,二次函数y=axz+y随x的增大而增大?
(4)求抛物线与直线尸-2的两交点及顶点构成的三角形的血积.
例5.—个函数图像是一条以y轴为的对称轴,以原点为顶点的抛物线,且经过点A(-2,2)・
(1)求这个函数的关系式
(2)画出函数图像
(3)写出抛物线上与A点关于y轴对称的点B的坐标,并计算AAOB的面积
(4)在抛物线上是否存在着点C,使AABC的面积等于AOAB的面积的一半?
如果存在,求出C点坐标;
如果不存在,请说明理由.
【考场练兵】
1.
(1)下列函数中是二次函数的是()
A.y=3-x2
B.
21
y=x_—
C.
y=(x-3)2~x2
D.
y=x3-2x2+l
(2)若函数y=(m2+m)
m2-2/w-1
✓V
是二次函数,
那么m
的值是()
A.2
-1或3
3
~1±
V2
(3)给出下列函数:
①y二2x;
②y二-2x+l;
③y二兰
(x>
0);
④y二x'
(x<
0)
.其中,y随x的增大而减小的函数
是()
A.①②B.③④C.②④D.②③④
2.
(1)关于函数y二2x^8,下列叙述错误的是()
A.函数图像的最低点为(0,-8)
B.函数图像与x轴的交点为(2,0)、(-2,0
C.将函数y二2x2-8的图像向上平移g个单位得到函数y二2/的图像
D.抛物线y=2x-8关于x轴对称的是抛物线y=-2x2-8
(2)函数y=ax2+a(a^0)与y二纟@H0)在同一坐标系中的图像可能是()
x
A.a+cB.a~cC.aD.c
(1)
3.
抛物线y=4(x-6)'
的顶点坐标是()
A.(6,0)B.(-6,0)C.(0,6)D.(0,-6)
(2)将抛物线尸6/向左平移4个单位得到抛物线()
A.y=6x2+4B.y二6x‘-4C.y=6(x+4)2D.y=6(x~4)J
(3)己知函数y=—x2-4的图像上有三个点A(-V?
y】)、B(-2,y?
)、C(^5,y3),则yi、y?
、y3的大小关
系是()
4.下列抛物线中,开口最大的是()
(1)将抛物线y=3x2-4在平面直角坐标系内绕顶点旋转180。
所得抛物线的解析式为
(2)如图所示,已知等腰直角AABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,AC与彌在同一条直线上,开始时点A与点N重合,让AABC以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重壳部分而积y(厘米分与时间t(秒)之间的函数关系式为.
(3)(2009•上海)将抛物线y=x2-2向上平移1个单位后,得一条新的抛物线,则
新的抛物线的表达式是
(4)
如图所示,抛物线刃的顶点在原点,并过八(-1,-1),抛物线y2是旳向上平移2个单位而成的,则y?
二.
6.
(1)将抛物线尸-(x+丄)$向左平移3个单位后,所的抛物线解析式为.
2
(2)抛物线与抛物线y二-丄(x-2)$关于x轴对称;
抛物线关于y=-(x+2)2
24
关于y轴对称.
(3)某抛物线和抛物线y=-3x2的图像形状相同,对称轴平行于y轴,且顶点为(-1,0),则此抛物线的关系式
为•
7.二次函数y^x"
2-1在其图像对称轴的左侧,y随x的增大而增大,求m的值.
&
说出下列函数图像的对称轴、顶点坐标与开口方向.
(1)y=3(x+2)'
(2)y=-3(x-2)2
(3)y=-3x2-2.
9.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a<
0)的图像过正方形AB0C的三个顶点A、B、C,则ac的值是
10.已知点A(1,a)在抛物线y=x2±
.
(1)求A点坐标
(2)在x轴上是否存在点P,使得AOAP是等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,说明理由。
11.已知抛物线y二(in-1)x2+m2-2m-2的开口向下,且过点(0,1).
(1)求m的值
(2)求抛物线的顶点坐标及对称轴
(3)当x为何值时,y随x的增大而增大
12.—位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=--x2+3.5运行,然后准确落入篮圈内,己知篮圈的中心离地面的距离
为3.05米.
y
1.球在空中运行的最大高度是多少米?
2.如果该运动员跳投时,球离地面的高度为2.25米,请问:
他距离篮圈中心的水平距离是多少米?
13.己知抛物线y=a(x+2)'
过点(1,-3),求:
(1)抛物线解析式
(2)画出函数的图像
(3)
O
抛物线的对称轴、顶点坐标
(4)从图像观察,当x取何值时,y随x的增大而增大
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