人教版初中数学九年级上册期中试题广东省江门市Word文档格式.docx
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B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
9.(3分)如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°
得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°
,则∠EFD的度数为( )
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,
)在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)把正确的答案填写在横线上
11.(4分)抛物线y=x2+2x﹣3开口方向是 .
12.(4分)方程x2=4x的解是 .
13.(4分)二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 .
14.(4分)如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠BAC=50°
,则∠ADC= 度.
15.(4分)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是 .
16.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=60°
,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,则AA′的长为 .
三、解答题(-)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(3,﹣1),与y轴的交点是(0,﹣4),求这个抛物线的关系式.
18.(6分)解方程:
x2﹣2x﹣8=0.
19.(6分)如图AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,若AC=8cm,AB=10cm,OD⊥BC于点D,求BD的长.
四、解答题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为点C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°
,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
21.(7分)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转△ABF的位置.
(1)旋转中心是点 ,旋转角度是 度.
(2)若连结EF,则△AEF是 三角形;
并证明.
22.(7分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出此二次函数的解析式;
(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围
(3)当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每题9分,共27分)
23.(9分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出5件.
(1)若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价多少元?
(2)若该商场要每天盈利最大,每件衬衫应降价多少元?
盈利最大是多少元?
24.(9分)如图,已知△ABC中,AB=AC,∠A=45°
,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,连接BE
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:
BD=CD.
25.(9分)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A,B两点,y与轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在P点,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出点P的坐标;
如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标.
2018-2019学年广东省江门市恩平市九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
【分析】根据一元二次方程的定义求解,未知数的最高次数是2;
二次项系数不为0,由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.
【解答】解:
A、a=0时是一元一次方程,故A错误;
B、是一元二次方程,故B正确;
C、是一元一次方程,故C错误;
D、是分式方程,故D错误;
故选:
B.
【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标.
∵y=
(x﹣2)2﹣1,
∴顶点坐标为(2,﹣1),
【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组,求出k的取值范围即可.
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴
,即
,
解得k>﹣1且k≠0.
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
D、是中心对称图形,也是轴对称图形,故本选项正确.
D.
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识,关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180°
后与原图重合.
【分析】因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍,即∠AOC=2∠ABC=100°
.
∵∠ABC=50°
∴∠AOC=2∠ABC=100°
【点评】本题考查了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
【分析】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数解答.
∵点P(a,﹣1)与点Q(﹣3,b)关于原点对称,
∴a=﹣(﹣3)=3,b=﹣(﹣1)=1.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律.
【分析】主要考查增长率问题,本题可用降价后的价格=降价前的价格×
(1﹣降价率),首先用x表示两次降价后的售价,然后由题意可列出方程.
依题意得两次降价后的售价为200(1﹣a%)2,
∴200(1﹣a%)2=148.
【点评】增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.
【分析】根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可.
抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=(x+2)2,
抛物线y=(x+2)2,再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2﹣3.
故平移过程为:
先向左平移2个单位,再向下平移3个单位.
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:
左加右减,上加下减.
【分析】由旋转前后的对应角相等可知,∠DFC=∠BEC=60°
;
一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形,可知∠EFC=45°
,把这两个角作差即可.
∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°
得到△DCF,
∴CE=CF,∠DFC=∠BEC=60°
,∠EFC=45°
∴∠EFD=60°
﹣45°
=15°
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质:
旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素:
①定点﹣旋转中心;
②旋转方向;
③旋转角度.
【分析】由抛物线的开口向下得到a<0,由与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c>0,进一步得到
<0,由对称轴为x=
>0可以推出b>0,最后即可确定点M(b,
)的位置.
∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上,
∴c>0,
<0,
∵对称轴为x=
>0,
∴a、b异号,即b>0,
∴点M(b,
)在第四象限.
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定.
11.(4分)抛物线y=x2+2x﹣3开口方向是 向上 .
【分析】根据a大于零抛物线的开口向上,a小于零抛物线的开口向下,可得答案.
y=x2+2x﹣3中a=1>0,
y=x2+2x﹣3开口方向是向上,
故答案为:
向上.
【点评】本题考查了二次函数的性质,二次项的系数a大于零抛物线的开口向上,二次项的系数a小于零抛物线的开口向下.
12.(4分)方程x2=4x的解是 0或4 .
【分析】此题用因式分解法比较简单,先移项,再提取公因式,可得方程因式分解的形式,即可求解.
原方程可化为:
x2﹣4x=0,
∴x(x﹣4)=0
解得x=0或4;
故方程的解为:
0,4.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法,解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法,此题方程两边公因式较明显,所以本题运用的是因式分解法.
13.(4分)二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 (1,﹣2) .
【分析】此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标,也可以利用配方法求出其顶点的坐标.
∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣(x2﹣2x+1)﹣2
=﹣(x﹣1)2﹣2,
故顶点的坐标是(1,﹣2).
故答案为(1,﹣2).
【点评】本题考查了二次函数的性质,求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法,②配方法.
,则∠ADC= 40 度.
【分析】欲求∠ADC,已知圆周角∠BAC的度数,可连接BC,根据圆周角定理,可得∠D=∠B,由此将所求和已知的角构建到一个直角三角形中,根据直角三角形的性质,可求出∠ADC的度数.
连接BC,则∠ACB=90°
∵∠BAC=50°
∴∠B=40°
∵∠B、∠D是同弧所对的圆周角,
∴∠ADC=∠B=40°
【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论.
15.(4分)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是 6 .
【分析】连接AO,得到直角三角形,再求出OD的长,就可以利用勾股定理求解.
连接AO,
∵半径是5,CD=1,
∴OD=5﹣1=4,
根据勾股定理,
AD=
=
=3,
∴AB=3×
2=6,
因此弦AB的长是6.
【点评】解答此题不仅要用到垂径定理,还要作出辅助线AO,这是解题的关键.
,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,则AA′的长为 6 .
【分析】利用直角三角形的性质得出AB=4,再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2,进而得出答案.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=2,
∴∠CAB=30°
,故AB=4,
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,
∴AB=A′B′=4,AC=A′C,
∴∠CAA′=∠A′=30°
∴∠ACB′=∠B′AC=30°
∴AB′=B′C=2,
∴AA′=2+4=6,
故答案为6.
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识,得出AB′=B′C=1是解题关键,此题难度不大.
【分析】根据抛物线的顶点坐标是(3,﹣1),设抛物线解析式为:
y=a(x﹣3)2﹣1,把y轴的交点是(0,﹣4)代入即可求出a的值;
根据抛物线的顶点坐标是(3,﹣1),设抛物线解析式为:
y=a(x﹣3)2﹣1,
把y轴的交点是(0,﹣4)代入得:
a=﹣
∴抛物线的关系式为y=﹣
(x﹣3)2﹣1.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象,难度适中,关键是正确设出二次函数顶点式坐标的形式.
【分析】利用因式分解法解方程.
(x﹣4)(x+2)=0,
x﹣4=0或x+2=0,
所以x1=4,x2=﹣2.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
【分析】由于AB是⊙O的直径,根据圆周角定理可得∠ACB=90°
,可得出OD∥AC;
由于AO=OB,则OD是△ABC的中位线,即BD=DC=
BC,而BC的值可由勾股定理求得,由此得解.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∵OD⊥BC,
∴OD∥AC,又∵AO=OB,
∴OD是△ABC的中位线,即BD=
BC;
Rt△ABC中,AB=10cm,AC=8cm;
由勾股定理,得:
BC=
=6cm;
故BD=
BC=3cm.
【点评】此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识,能够正确的判断出BD与BC的关系是解答此题的关键.
【分析】
(1)根据垂径定理可得
,再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可;
(2)利用勾股定理列式求出AC,再根据垂径定理可得AB=2AC.
(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,
∴∠DEB=
∠AOD=
×
52°
=26°
(2)根据勾股定理得,AC=
=4,
∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,
∴AB=2AC=2×
4=8.
【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
(1)旋转中心是点 A ,旋转角度是 90 度.
(2)若连结EF,则△AEF是 等腰直角 三角形;
(1)根据旋转变换的定义,即可解决问题;
(2))根据旋转变换的定义,即可解决问题.
(1)如图,由题意得:
旋转中心是点A,旋转角度是90度.
故答案为A、90.
(2)等腰直角三角形
由旋转得:
AF=AE,∠FAB=∠EAD
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE
即∠FAE=∠BAD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠FAE=∠BAD=90°
∴△AEF是等腰直角三角形
故答案为等腰直角.
【点评】本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质及其应用问题;
解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质,这是灵活运用、解题的基础和关键.
(1)将(﹣1,0)和(0,3)两点代入二次函数y=x2+bx+c,求得b和c;
从而得出抛物线的解析式;
(2)令y=0,解得x1,x2,得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标,结合函数图象直接回答问题;
(3)根据抛物线顶点坐标回答问题.
(1)由二次函数y=x2+bx+c的图象经过(﹣1,0)和(0,3)两点,
得
解这个方程组,得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)令y=0,得﹣x2+2x+3=0.
解这个方程,得x1=﹣1,x2=3.
因为抛物线的开口方向向下,
所以当﹣1<x<3时,y>0;
(3)由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4知,该抛物线的顶点坐标是(1,4).
故当x=1时,y最大值=4.
【点评】此题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式.解题时,利用了二次函数解析式的三种形式间的转化.
(1)设每件衬衫应降价x元,则每件盈利44﹣x元,每天可以售出20+x,所以此时商场平均每天要盈利(44﹣x)(20+5x)元,根据商场平均每天要盈利=1600元,为等量关系列出方程求解即可.
(2)设商场平均每天盈利y元,由
(1)可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为:
y=(44﹣x)(20+5x),用“配方法”求出该函数的最大值,并求出降价多少.
(1)设每件衬衫应降价x元,则每件盈利(44﹣x)元,每天可以售出(20+5x),
由题意,得(44﹣x)(20+5x)=1600,
即:
(x﹣4)(x﹣36)=0,
解,得x1=4,x2=36,
为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,所以x的值应为36,
所以,若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价36元;
(2)设商场平均每天盈利y元,每件衬衫应降价x元,
由题意,得y=(44﹣x)(20+5x)
=﹣5(x﹣20)2+2880,
当x=20元时,该函数取得最大值2880元,
【点评】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用,关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解,另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值.
BD=C
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