精品原创六年级奥数培优教程讲义第07讲假设法解题教师版.docx
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精品原创六年级奥数培优教程讲义第07讲假设法解题教师版
第07讲假设法解题
初步学会运用“假设”的策略分析数量关系,并能根据问题的特点确定合理的解题步骤;
在解决实际问题过程的不断反思中,感受假设的策略对于解决特定问题的价值,进一步发展分析、综合和简单推理能力;
养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯,积累解决问题的经验,增强解决问题的策略意识,获取解决问题的成功体验,提高学好数学的信心。
当应用题用一般方法很难解答时,可假设题中的情节发生了变化,假设题中两个或几个数量相等,假设题中某个数量增加了或减少了,然后在假设的基础上推理,调整由于假设而引起变化的数量的大小,题中隐蔽的数量关系就可能变得明显,从而找到解题方法。
这种解题方法就叫做假设法。
用假设法解应用题,要通过丰富的想象,假设出既合乎题意又新奇巧妙,既简单又便于计算的条件。
有些用一般方法能解答的应用题,用假设法解答可能更简捷。
考点一:
假设情节变化
例1、学校有篮球和足球共21个,借出篮球个数的1/3和1个足球后,两种球的个数相等。
原来有篮球和足球各多少个?
【解析】假设篮球没有借出,足球借出一个,那么,可以把现有篮球的个数看作是3份数,把现有足球的个数看作2份数,两种球的总份数是:
3+2=5(份)。
原来篮球的个数是:
;原来足球的个数是:
21-12=9(个)。
例2、甲乙两个煤场共存煤92吨,从甲场运出28吨后,乙场的存煤比甲场的4倍少6吨。
两场原来各存煤多少吨?
【解析】假设从甲场运出的不是28吨,而是比28吨少6吨的22吨,那么,乙场的存煤数就正好是甲场的4倍,甲场的存煤是1份数,乙场的存煤份数,乙场的存煤是两场存煤总数的4/5。
所以乙场原来存煤:
甲场原来存煤:
92-50=42(吨)。
考点二:
假设两个(或几个)数量相等
例1、有两块地,平均亩产粮食185千克。
其中第一块地5亩,平均亩产粮食203千克。
如果第二块地平均亩产粮食170千克,第二块地有多少亩?
【解析】假设两块地平均亩产粮食都是170千克,则第一块地的平均亩产量比两块地的平均亩产多:
203-170=33(千克);5亩地要多产:
33×5=165(千克)。
两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多:
185-170=15(千克)。
因为165千克中含有多少个15千克,两块地就一共有多少亩,所以两块地的亩数一共是:
165÷15=11(亩);第二块地的亩数是:
11-5=6(亩)。
例2、一项工作,甲、乙两队单独做各需要10天完成,丙队单独做需要7.5天完成。
在三队合做的过程中,甲队外出1天,丙队外出半天。
问三队合做完成这项工作实际用了几天?
【解析】假设甲没有外出,丙也未外出,也就是说,甲、乙、丙三个队的工作天数一样多,则三队合做的工作量可达到:
。
三队合做这项工作,实际用的天数是:
(天)。
例3、一项工程,甲、乙两队合做80天完成。
如果先由甲队单独做72天,再由乙队单独做90天,可以完成全部工程。
甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天?
【解析】假设甲队做72天后,乙队也做72天,则剩下的工程是:
;
乙队还需要做的时间是:
90-72=18(天);乙队单独完成全部工程的时间是:
(天);
甲队单独完成全部工程的时间是:
(天)。
考点三:
假设两个分率(或两个倍数)相同
例1、某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的3倍,每天平均卖出黑墨水45瓶,蓝墨水120瓶。
过了一段时间,黑墨水卖完了,蓝墨水还剩300瓶。
这个商店上月购进蓝墨水和黑墨水各多少瓶?
【解析】根据购进的蓝墨水是黑墨水的3倍,假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的3倍,则每天卖出蓝墨水:
45×3=135(瓶)。
这样,过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。
实际上,蓝墨水剩下300瓶,这是因为实际比假设每天卖出的瓶数少:
135-120=15(瓶)。
卖的天数:
300÷15=20(天);购进黑墨水:
45×20=900(瓶);购进蓝墨水:
900×3=2700(瓶)。
例2、甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划,甲厂完成计划的112%,乙厂完成计划的110%。
两厂共生产机床400台,比原计划超产40台。
两厂原计划各生产多少台机床?
【解析】假设两个厂一月份都完成计划的110%,则两个厂一月份共生产机床:
(400-40)×110%=396(台)
甲厂计划生产:
(400-396)÷(112%-110%)=4÷2%=200(台)。
乙厂计划生产:
400-40-200=160(台)。
考点四:
假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少
例1、某校三、四年级学生去植树。
三年级去150人,四年级去的人数比三年级人数的2倍少20人。
两个年级一共去了多少人?
【解析】假设四年级去的人数正好是三年级的2倍,而不是比三年级的2倍少20人,则两个年级去的人数正好是三年级人数的3倍。
两个年级去的人数是:
150×3=450(人)。
因为实际上,四年级去的人数比三年级2倍少20人,所以两个年级去的实际人数是:
450-20=430(人)。
例2、甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。
买好后,甲、丙两个乡都比乙乡多18吨,因此甲乡和丙乡各给乙乡1800元。
问每吨化肥的价格是多少元?
【解析】假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多18吨,而是与乙乡买的同样多,则应把多出来的2个18吨平均分。
平均分时每个乡多得:
18×2÷3=12(吨)。
因为甲、丙两个乡都比乙乡多得18吨,而平均分时每个乡得12吨,所以乙乡实际比甲、丙两个乡都少:
18-12=6(吨);每吨化肥的价格:
1800÷6=300(元)。
考点五:
假设某个数量增加了或减少了
例1、某班男生比全班人数的5/9少4人,女生比全班人数的2/5多6人。
这个班的男女生各是多少人?
【解析】假设男生增加4人,女生减少4人,则全班总人数不变,男生正好是全班人数的5/9,女生比全班人数的2/5度:
6-4=2(人)。
全班人数是;(6-4)÷(1-5/9-2/5)=45(人),男生人数是:
45×5/9-4=21(人);女生人数是:
45×2/5+6=24(人)。
例2、学校运来红砖和青砖共9750块。
红砖用去20%,青砖用去1650块后,剩下的红砖和青砖的块数正好相等。
学校运来红砖、青砖各多少块?
【解析】假设少运来1650块青砖,则一共运来砖:
9750-1650=8100(块)。
以运来的红砖的块数为标准量1,则剩下的红砖的分率是:
1-20%=80%。
因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等,所以青砖的分率也是80%。
因为8100块中包括全部红砖和红砖的(1-20%)(青砖),所以8100块的对应分率是(1+1-20%)。
运来的红砖是:
(9750-1650)÷(1+1-20%)=8100÷1.8=4500(块)。
运来的青砖是:
9750-4500=5250(块)。
所以运来红砖4500块,运来青砖5250块。
考点六:
假设某个数量扩大了或缩小了
例1、把鸡和兔放在一起共有48个头、114只爪和脚。
鸡和兔各有多少只?
【解析】假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小2倍,则鸡爪数和鸡的头数一样多,兔的脚数是兔头数的2倍。
这样就可以认为,114÷2所得商中含有全部鸡的头数,也含有兔子头数2倍的数,而48中包含全部鸡的头数和兔子头数1倍的数。
所以兔的只数是:
114÷2-48=9(只);鸡的只数是:
48-9=39(只)。
例2、两堆煤共2268千克,取出甲堆的2/5和乙堆的1/4共708千克,求甲、乙两堆煤原来各是多少千克?
【解析】假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大4倍,则从两堆煤取出的总数量比原来的两堆煤多:
708×4-2268=2832-2268=564(千克)。
假设后,从甲堆取出的煤的分率是
,这比甲堆煤的实际重量多
;从乙堆取出的煤的分率是
(全部取出)。
因此564千克的对应分率是
。
甲堆煤的重量是:
(千克)。
甲堆煤的重量是:
2268-940=1328(千克)。
Ø课堂狙击
1、有5元和10元的人民币共14张,共100元。
问5元币和10元币各多少张?
【解析】假设这14张全是5元的,则总钱数只有5×14=70元,比实际少了100-70=30元。
为什么会少了30元呢?
因为这14张人币民币中有的是10元的。
拿一张5元的换一张10元的,就会多出5元,30元里包含有6个5元,所以,要换6次,即有6张是10元的,有14-6=8张是5元的。
2、五
(1)班有51个同学,他们要搬51张课桌椅。
规定男生每人搬2张,女生两人搬1张。
这个班有男、女生各多少人?
【解析】假设51个全是男生,能搬2×51=102张课桌椅,比实际搬的多出了102-51=51张。
用2个男生换成2个女生就少搬3张,51÷3=17,因此这个班有2×17=34个女同学,有51-34=17个男同学。
3、用大、小两种汽车运货。
每辆大汽车装18箱,每辆小汽车装12箱。
现有18车货,价值3024元。
若每箱便宜2元,则这批货价值2520元。
大、小汽车各有多少辆?
【解析】根据“若每箱便宜2元,则这批货价值2520元”可以知道,3024-2520=504元,504元中包含有252个2元,即这批货有252箱。
假设18辆都是大汽车,则装货18×18=324(箱),比实际箱数多324-252=72箱。
一辆大汽车换一辆小汽车可少运18-12=6箱,72里面有12个6,所以,有12辆小汽车,有18-12=6辆大汽车。
4、甲、乙二人投飞镖比赛,规定每中一次记10分,脱靶一次倒扣6分。
两人各投10次,共得152分。
其中甲比乙多得16分,两人各中多少次?
【解析】我们可以先算出每人各得多少分。
甲得(152+16)÷2=84分,则乙得152-84=68分。
甲投10次,假设10次都投中就该得10×10=100分,而事实只得了84分,少得100-84=16分,因为脱靶一次不仅得不到10分还要倒扣6分。
因此甲共脱靶16÷(10+6)=1次,甲中了10-1=9次。
再用同样的思路可以分析出乙中靶几次。
5、买来5角、2角、1角5分三种邮票,共20张,总值5元5角。
其中5角和1角5分的邮票张数相等,问三种邮票各购几张?
【解析】因为5角和1角5分的邮票张数相等,所以一般假设20张邮票都是2角的,那么20×20=400(角),比实际少了550-400=150(角);为什么会少?
因为拿一张5角和一张1角5分换两张2角,会少50+15-20×2=25分,所以150÷25=6(组)——5角和1角5分的各6张,2角的邮票有20-6×2=8(张)。
6、蜘蛛有8只脚,蜻蜓有6只脚和两对翅膀,蝉有6只脚和一对翅膀,现在有这三种小虫18只,共有脚118只,翅膀20对,问每种小虫各有几只?
【解析】先从脚的数量考虑,因为蜻蜓和蝉的脚数相等,所以假设18只都是6条腿,那么有18×6=108条腿,比实际少118-108=10条,每把一只8条腿的蜘蛛换成6条腿的昆虫就少8-6=2条腿,10÷2=5只-----是蜘蛛的数量。
剩下的13只是蜻蜓和蝉,再从翅膀数量考虑,假设13只都是一对翅膀的蝉,那么翅膀就比实际少了20-13=7对,每把一只蜻蜓换成蝉,就少一对翅膀,所以蜻蜓有7只,蝉有6只。
7、笼中共有30只鸡和兔,数一数足数正好是100只。
问鸡兔各多少只?
【解析】假设30只都是鸡,那么足数就少了100-2×30=40条,每把一只兔换成鸡,就少2条腿,所以40÷(4-2)=20只兔,鸡30-20=10只;同理也可把30只都假设成兔。
8、有鸡蛋18箩,每只大箩容180个,每只小箩容120个,共值302.4元,若将每个鸡蛋便宜2分出售,则可得款252元,问大箩、小箩各几只?
【解析】先求一共有几个鸡蛋:
(30240-25200)÷2=2520个,括号里的差是因为每次便宜2分产生的,所以可以求得一共有几个鸡蛋。
假设18箩鸡蛋都是大箩,共有18×180=3240个,比实际多3240-2520=720个,每把一箩小的换大的,多出180-120=60个,所以小箩有720÷60=12箩;大箩18-12=6箩。
Ø课后反击
1、笼子里有鸡和兔共30只,共有70条腿,问鸡和兔各有几只?
【解析】我们可以假设30只全是鸡,则脚的只数应为60只,比题目中的70只少了10只,因为每只鸡比兔少2只脚,所以10只脚就有10÷2=5(只)兔。
30×2=60(只)、70-60=10(只)、4-2=2(只)、10÷2=5(只)30-5=25(只)。
所以兔有5只,鸡有25只。
2、实验二小举行的数学竞赛共15道题,每做对一题得8分,每做错一题倒扣4分,小明共得72分,他做对了几道题?
【解析】假设小明15道题全部都做对了,应得15×8=120分,若做错一题,不仅8分得不到,反而还要扣4分,相当于错一题就丢了12分,这样就可以求出做错与做对的题。
15×8=120(分);8+4=12(分);120-72=48(分);
48÷12=4(分);15-4=11(道)。
所有他做对了11道题。
3、幼儿园老师把饼干和糖果分给班上的小朋友,糖果的颗数是饼干的4倍,如果每个小朋友分3块饼干和7题糖果,饼干刚好分完,糖果还剩45颗,问原来有饼干多少块?
糖果多少颗?
【解析】要求原来饼干的块数和糖果的颗数,关键是要求出小朋友的人数,根据题意:
“每个小朋友分3块饼干和7颗糖果,饼干刚好分完而糖果还剩45颗”,如果假设糖果也刚好分完,则糖果每次分的颗数就是饼干的4倍,即3×4=12颗,比每次实际多12-7=5颗,由此小朋友的人数为45÷5=9人,再求出原来饼干的块数和糖果的颗数。
3×4-7=5(颗);45÷5=9(人);3×9=27(块);
27×4=108(颗);所以原来饼干有27块,糖果有108颗。
4、育才小学买回每册价钱分别是70元、30元和20元的三种图书,一共47册,付了2120元,买每册30元的图书本数和每册20元的图书本数一样多,每种图书各买了多少册?
【解析】有三种图书,我们不便于假设,但是题目中说“买每册30元的图书本数和每册20元的图书本数一样多”,在不改变总本数和总钱数的前提下,我们可以把这些图书看成每册(30+20)÷2=25元,这样可以把47册书分成两类:
每册70元和每册25元,只有两种图书,我们就好解决了。
(30+20)÷2=25元
(1)假设全是70元。
70×47=3290元;3290-2120=1170(元);1170÷(70-25)=26(本);
47-26=21(本);26÷2=13(本)。
(2)假设全是25元。
47×25=1175(元);(2120-1175)÷(70-25)=945÷45=21(本);
(47-21)÷2=13(本)
所以每册70元的有21本,每册30元和20元的分别有13本。
5、有40分、20分、16分、10分的邮票共40枚,共计7.58元,已知40分和20分的邮票枚数相等,16分和10分的邮票枚数相等,求四种邮票各多少枚?
【解析】因为四种邮票的数量两两相等,所以把相等的两种面值相加产生一种新的面值,40+20=60分,16+10=26分;这样邮票总数量相当于只有20枚了。
假设20枚都是60分面值的,总值比实际多60×20-758=442分,每次把26分面值代换成60分面值,多60-26=34分,所以可换442÷34=13次,说明各有13枚16分和10分的邮票,40分和20分的邮票各有(40-13×2)÷2=7枚。
6、一辆卡车运矿石,晴天每天可运20次,雨天每天可运12次,它一共运了112次,平均每天运14次,这几天中有几天是雨天?
【解析】先求天数:
112÷14=8天。
假设8天都是晴天,那么共运20*8=160次,比实际多160-112=48次;
每雨天代换成晴天多20-12=8次,所以48÷8=6天是雨天。
7、已知兔的只数是鸡的6倍,鸡、兔足数共390只,问鸡、兔各几只?
【解析】从兔和鸡的只数中找足的关系,因为兔的只数是鸡的6倍,那么兔的足数就是鸡的6*2=12倍。
用和倍问题的解法可以得出:
390÷(12+1)=30----鸡的足数,鸡的只数是30÷2=15只,兔的只数是15*6=90只。
8、有一元、二元、五元的人民币50张面值共计116元,已知1元的人民币比2元的多2张,问三种人民币各有几张?
【解析】假设:
增加两张2元的人民币,那么人民币的张数变成了52张,面值总计是116+2*2=120元。
再假设52张都是5元人民币,那么面值有52*5=260元,比实际多260-120=140元,每把两张5元换成1张1元和一张2元,就多5*2-1-2=7元,140÷7=20次,说明1元的有20张,2元的之前增加了两张,现在应该减去,所以是20-2=18张,5元的有50-20-18=12张。
直击赛场
1、(走美杯)两根同样长的绳子,甲绳剪去1/3,乙绳剪去1/3米,剩下的绳子哪一根长?
【解析】此题可以有三种答案。
(1)假设两根绳子都长1米,则甲绳剪去1/3后,剩下1×(1-1/3)=2/3(米);乙绳剪去1/3米后,剩下1-1/3=2/3(米)。
所以剩下的两根绳子一样长。
(2)假设两根绳子都比1米短,任意假设为0.6米,则甲绳剪去1/3后,剩下0.6×(1-1/3)=0.4=6/15(米);乙绳剪去1/3米后,剩下0.6-1/3=4/15(米)。
所以甲绳剩下的部分比乙绳剩下的部分长。
(3)假设两根绳子都比1米长,任意假设为1.5米,则甲绳剪去1/3后,剩下1.5×(1-1/3)=1(米);乙绳剪去1/3米后,剩下1.5-1/3=7/6(米)。
所以乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部分长。
2、(希望杯)一辆卡车运矿石,晴天每天可运20次,雨天每天只运12次,它一共运了112次,平均每天运14次,这几天有几是雨天?
【解析】此题和上题对比,卡车运了多少天不知道,也就是雨天和晴天的和不知道,可根据“它一共运了112次,平均每天运14次”求出一共运了(112÷14)=8天,那么,运矿石的天数相当于鸡和兔的总头数,雨天、晴天一共运的次数相当于鸡和兔的总脚数。
(1)这辆卡车一共运的天数112÷14=8(天)
(2)假设这8天全是晴天,一共可运20×8=160(次)
(3)比实际112次多160-112=48(次)
(4)晴天和雨天每天运的相差数20-12=8(次)
(5)雨天的天数48÷8=6(天)
3、(祖冲之杯)有一元、二元、五元的人民币50张,总面值116元。
已知一元的比二元的多2张,问三种面值的人民币各有几张?
【解析】
(1)如果减少2张一元的,那么总张数就是48张,总面值就是114元,这样一元的和二元的张数就同样多了;
(2)假设这48张全是5元的,则总值为5×48=240元,比实际多出了240-114=126元,然后进行调整。
用2张5元的换一张1元和一张2元的就会减少7元,126÷7=18次,即换18次。
所以,原来二元的有18张,一元的有18+2=20张,五元的有50-18-20=12张。
考点一:
假设情节变化
考点二:
假设两个(或几个)数量相等
考点三:
假设两个分率(或两个倍数)相同
考点四:
假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少
考点五:
假设某个数量增加了或减少了
考点六:
假设某个数量扩大了或缩小了
假设法是一种思考问题的方法,也是解答应用题的好方法。
有些应用题看似无法解答,但如果采用假设的方法,可以比较轻松地得到正确答案。
用假设法解答应用题,有一定的解答步骤:
(1)先假设某一个条件成立,根据题中告诉的条件,经过推理计算,可能出现与题中已知条件相矛盾的结果。
(2)找出错误产生的原因,想办法消除错误,得到应用题的解。
Ø本节课我学到
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