数学中考 专题复习 专题复习五 函数的实际应用题Word文件下载.docx
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——创新、求异思维。
转变,让我们从一轮复习开始。
按照上面两点认真完成后面练习题。
希望每一位同学经过一轮复习后,能够扭转“一考就废”的局面,最后决胜中考。
1.求函数解析式的方法有两种:
一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型;
另一种是采用待定系数法,用待定系数法解题时,先要明确解析式中待定系数的个数,再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲,最直接的条件是点的坐标),最后代入求解.当解析式中的待定系数只有一个时,代入已知条件后会得到一个一元一次方程;
当解析式中的待定系数为两个或两个以上时,代入已知条件后会得到方程组.正因如此,能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础.
2.用函数探究实际中的最值问题,一种是对于一次函数解析式,分析自变量的取值范围,得出最值问题的答案;
另一种是对于二次函数解析式,首先整理成顶点式,然后结合自变量取值范围求解,最值不一定是顶点的纵坐标,画出函数在自变量取值范围内的图象,图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值,图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值.
3.在组合函数中,若有一个函数是分段函数,则组合后的函数也必须分段.
1.(2019·
新疆)某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果每千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示,请根据图象提供的信息完成下列问题:
(1)降价前苹果的销售单价是16元/千克;
(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元?
解:
(2)降价后销售苹果(760-640)÷
(16-4)=10(千克).
设降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y=kx+b,
∵该函数图象过点(40,640),(50,760),
∴
解得
∴降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y=12x+160(40<x≤50).
(3)该水果店这次销售苹果盈利了760-8×
50=360(元).
2.(2019·
齐齐哈尔)甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计).最后两车同时到达甲地,已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)货车的速度是50千米/小时,轿车的速度是80千米/小时,t值为3;
(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.
(2)由
(1)可知:
A(3,240),B(4,240),C(7,0),
设直线OA的解析式为y=k1x(k1≠0),
则3k1=240,解得k1=80,
∴y=80x(0≤x≤3).
当3≤x≤4时,y=240,
设直线BC的解析式为y=k2x+b(k2≠0),
把B(4,240),C(7,0)代入,得
∴y=-80x+560(4≤x≤7).
综上所述,y=
(3)货车出发3小时或5小时时两车相距90千米.
类型2 一次函数与方程、不等式的综合应用
3.(2019·
鸡西)为庆祝中华人民共和国七十周年华诞,某校举行书画大赛,准备购买甲、乙两种文具,奖励在活动中表现优秀的师生.已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元;
购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元.
(1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元?
(2)若学校计划购买这两种文具共120个,投入资金不少于955元又不多于1000元,设购买甲种文具x个,求有多少种购买方案?
(3)设学校投入资金W元,在
(2)的条件下,哪种购买方案需要的资金最少?
最少资金是多少元?
(1)设购买一个甲种文具需a元,一个乙种文具需b元,由题意,得
答:
购买一个甲种文具需15元,一个乙种文具需5元.
(2)根据题意,得955≤15x+5(120-x)≤1000,
解得35.5≤x≤40.
∵x是整数,
∴x=36,37,38,39或40.
∴有5种购买方案.
(3)W=15x+5(120-x)=10x+600,
∵10>0,
∴W随x的增大而增大.
∴当x=36时,W最小=10×
36+600=960.
∴120-36=84.
购买甲种文具36个、乙种文具84个需要的资金最少,最少资金是960元.
4.(2019·
广西)某校喜迎中华人民共和国成立70周年,将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛,需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具.已知每袋贴纸有50张,每袋小红旗有20面,贴纸和小红旗需整袋购买,每袋贴纸的价格比每袋小红旗的价格少5元,用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同.
(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元?
(2)如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张,小红旗1面.设购买国旗图案贴纸a袋(a为正整数),则购买小红旗多少袋能恰好配套?
请用含a的代数式表示;
(3)在文具店累计购物超过800元后,超出800元的部分可享受8折优惠.学校按
(2)中的配套方案购买,共支付w元,求w关于a的函数关系式.现全校有1200名学生参加演出,需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋?
所需总费用为多少元?
(1)设每袋国旗图案贴纸的价格为x元,则每袋小红旗的价格为(x+5)元.依题意,得
=
,
解得x=15.
经检验,x=15是分式方程的解,且符合题意.
∴x+5=20.
每袋国旗图案贴纸的价格为15元,每袋小红旗的价格为20元.
(2)设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套,则
50a∶20b=2∶1,
∴b=
a.
∴购买小红旗
a袋恰好配套.
(3)当40a≤800,即a≤20时,w=15a+20×
a=40a.
当a>20时,w=800+0.8(40a-800)=32a+160.
综上所述,w=
∵全校有1200名学生参加演出,
∴国旗贴纸需要1200×
2=2400(张),
小红旗需要1200×
1=1200(面),
∴a=
=48,b=
a=60.
∴总费用w=32×
48+160=1696(元).
类型3 二次函数的实际应用
5.(2019·
潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比,今年这种水果的产量增加了1000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额比去年增加了20%.
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?
(2)某水果店从果农处直接批发,专营这种水果.调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售出300千克;
若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克.设水果店一天的利润为w元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?
(利润计算时,其他费用忽略不计)
(1)设这种水果今年每千克的平均批发价是x元,根据题意,得
-
=1000,
解得x=24或x=-5(不合题意,舍去).
这种水果今年每千克的平均批发价是24元.
(2)设每千克的平均售价为m元,依题意,得
w=(m-24)(
×
180+300)
=-60m2+4200m-66240
=-60(m-35)2+7260.
∵a=-60<0,
∴当m=35元时,w取最大值,w最大=7260.
每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元.
6.(2018·
衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:
在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=a(x-3)2+5(a≠0),
将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得
25a+5=0,解得a=-
.
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=-
(x-3)2+5(0<x<8).
(2)当y=1.8时,有-
(x-3)2+5=1.8,
解得x1=-1(舍去),x2=7.
为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
(3)当x=0时,y=-
(0-3)2+5=
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=-
x2+bx+
∵该函数图象过点(16,0),
∴0=-
162+16b+
,解得b=3.
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=-
x2+3x+
=-
(x-
)2+
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为
米.
类型4 一次函数与二次函数的综合应用
7.(2019·
鄂州)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:
销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数关系式;
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?
(1)y=100+5(80-x)=-5x+500.
(2)由题意,得
w=(x-40)(-5x+500)
=-5x2+700x-20000
=-5(x-70)2+4500.
∵a=-5<
0,
∴当x=70时,w最大=4500.
∴80-70=10(元).
当销售单价降低10元时,每月获得的利润最大,最大利润为4500元.
(3)由题意,得-5(x-70)2+4500=4220+200,
解得x1=66,x2=74.
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,
∴当66≤x≤74时,符合该网店要求.
∵为了让顾客得到最大实惠,∴x=66.
∴当销售单价定为66元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠.
8.(2019·
咸宁)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=-2x+120.
(1)第40天,该厂生产该产品的利润是1__600元;
(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.
①求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少?
②在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有多少天?
①设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把(0,70),(30,40)代入,得
∴直线AB的解析式为y=-x+70.
当0<x≤30时,
w=[80-(-x+70)](-2x+120)
=-2x2+100x+1200
=-2(x-25)2+2450,
∴当x=25时,w最大=2450;
当30<x≤50时,
w=(80-40)×
(-2x+120)=-80x+4800.
∵w随x的增大而减小,
∴当x=31时,w最大=2320.
∴w=
第25天的利润最大,最大利润为2450元.
②当0<x≤30时,
令-2(x-25)2+2450=2400,
解得x1=20,x2=30.
∵抛物线w=-2(x-25)2+2450开口向下,
由其图象可知,当20≤x≤30时,w≥2400.
此时,当天利润不低于2400元的天数为30-20+1=11(天);
由①可知当天利润均低于2400元.
综上所述,当天利润不低于2400元的共有11天.
9.(2019·
荆门)为落实“精准扶贫”精神,市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查,在草莓上市销售的30天中,其销售价格m(元/公斤)与第x天之间满足m=
(x为正整数),销售量n(公斤)与第x天之间的函数关系如图所示.如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.
(1)求销售量n与第x天之间的函数关系式;
(2)求在草莓上市销售的30天中,每天的销售利润y(元)与第x天之间的函数关系式;
(日销售利润=日销售额-日维护费)
(3)求日销售利润y的最大值及相应的x.
(1)当1≤x≤10时,设n=kx+b,由图可知A(1,12),B(10,30),代入,得
∴n=2x+10.
由B(10,30),C(30,2)可得,当10<x≤30时,n=-1.4x+44.
∴销售量n与第x天之间的函数关系式为
n=
(2)∵y=mn-80,
∴y=
整理,得y=
(3)①当1≤x≤10时,
∵y=6x2+60x+70的对称轴为直线x=-
=-5,
∴当1≤x≤10时,y随x的增大而增大.
∴x=10时,y取最大值,y最大=1270;
②当10<x<15时,
∵y=-4.2x2+111x+580的对称轴是直线x=-
<
13.5,
∴当x=13时,y取最大值,y最大=1313.2;
③当15≤x≤30时,
∵y=1.4x2-149x+3220的对称轴为x=-
>30,
∴当15≤x≤30时,y随x的增大而减小.
∴x=15时,y取最大值,y最大=1300.
综上所述,当x=13时,日销售利润y最大,最大值是1313.2.
10.(2019·
嘉兴)某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系:
如图1,当10≤t≤25时可近似用函数p=
t-
刻画;
当25≤t≤37时可近似用函数p=-
(t-h)2+0.4刻画.
(1)求h的值;
(2)按照经验,该农作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系:
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m(天)
5
10
15
①请运用已学的知识,求m关于p的函数解析式;
②请用含t的代数式表示m;
(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物的生长速度.在
(2)的条件下,原计划大棚恒温20℃时,每天的成本为200元,该农作物30天后上市时,根据市场调查:
每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图2.问提前上市多少天时增加的利润最大?
并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).
(1)把(25,0.3)代入p=-
(t-h)2+0.4,得0.3=-
(25-h)2+0.4,
解得h=29或h=21.
∵h>25,∴h=29.
(2)①由表格可知,m是p的一次函数,
易得m=100p-20.
②当10≤t≤25时,p=
∴m=100(
)-20=2t-40;
当25≤t≤37时,p=-
(t-29)2+0.4,
∴m=100[-
(t-29)2+0.4]-20=-
(t-29)2+20.
综上所述,m=
(3)(Ⅰ)当20≤t≤25时,
由(20,200),(25,300),得w=20t-200,
增加利润为600m+[200×
30-w(30-m)]=600(2t-40)+[6000-(20t-200)(30-2t+40)]=40t2-600t-4000,
∵抛物线对称轴为直线t=-
=7.5,
∴当20≤t≤25时,增加的利润随t的增大而增大.
∴当t=25时,增加的利润最大值为6000;
(Ⅱ)当25≤t≤37时,w=300,
增加的利润为600m+[200×
30-300(30-m)]=900m-3000=900×
(-
)×
(t-29)2+15000=-
(t-29)2+15000,
∴当t=29时,增加的利润最大,最大值为15000,m=20.
综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加的利润最大为15000元.
类型5 三种函数的综合应用
11.某科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:
每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设该公司销售这种产品的年利润为Z(万元).(注:
若上一年盈利,则盈利计入下一年的年利润;
若上一年亏损,则亏损作下一年的成本)
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;
(2)求出第一年这种电子产品的年利润Z(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值;
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润Z(万元)取得最大值进行销售,先根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x>
8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润Z(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.
(1)当4≤x≤8时,设y=
,将A(4,40)代入,得
k=4×
40=160.
∴y与x之间的函数关系式为y=
当8≤x≤28时,设y=mx+b,
将B(8,20),C(28,0)代入,得
∴y与x之间的函数关系式为y=-x+28.
(2)当4≤x≤8时,
Z=(x-4)y-160=(x-4)·
-160=-
∵当4≤x≤8时,Z随x的增大而增大,
∴当x=8时,Z最大=-
=-80;
当8<
x≤28时,
Z=(x-4)y-160=(x-4)(-x+28)-160=-x2+32x-272=-(x-16)2-16,
∴当x=16时,Z最大=-16.
综上所述,Z=
∵-16>
-80,
∴当销售价格定为16元/件时,第一年的年利润最大值为-16.
(3)∵第一年的年利润为-16万元,
∴16万元应作为第二年的成本,
∵x>
8,
∴第二年的利润Z=(x-4)(-x+28)-16=-x2+32x-128.
当Z=103时,则-x2+32x-128=103.
解得x1=11,x2=21.
结合函数图象可得,当11≤x≤21时,第二年的利润Z不低于103万元.
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