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如何制作高性能弹弓问题
摘要
本文研究钢球在不同型号以及不同形式弹弓下的弹射的初速度问题。
解释了在忽略钢球质量的情况下,钢球初速维持在同一水平和在当前的市场测试中钢球初速始终在55-75m/s之间的原因。
接着,本文分析了鸡尾酒弹弓弹射的钢球初速高于普通弹弓的原因并且确定了鸡尾酒弹弓的最佳组合。
问题一,我们根据当前有的7组市场测试数据,从能量守恒的角度建立力学模型并在其中引入能量利用率的概念,采用非线性拟合的方法求出能量利用率中的参数。
利用力学模型求出在9mm和6mm钢球下,不同型号弹弓弹射钢球的初速度即9mm钢球的初速度在51-63m/s之间,6mm钢球初速度在65-75m/s之间,所以市场测试中钢球初速始终在55-75m/s左右。
在忽略钢球质量的情况下,根据能量守恒公式,弹弓型号和股数对总能量的贡献非常小,所以钢球的初速度可以认为维持在同一水平上。
问题二,针对皮筋型号多且股数变化较多,使鸡尾酒皮筋的组合太多。
为了解释鸡尾酒皮筋比普通皮筋初速度快和更方便的选出最优组合,我们采用了物理运动中整体法和微元法的概念。
建立皮筋在每一个微元的运动方程,并引入了回阻系数的概念,从而可以精确求解每种皮筋的回缩速度和时间。
通过求解我们发现:
环形面积越大,皮筋的收缩速度也就越快,相应的阻力系数也就越大。
所以粗细皮筋搭配的时候,收缩的开始阶段,粗皮筋收缩的快,细皮筋收缩的慢,可以认为粗皮筋先收缩而细皮筋后收缩,这里有个收缩的时间差,因为粗皮筋拉力大,所以拉力有个均衡的过程,细皮筋对钢珠做功的距离长于普通的皮筋。
鸡尾酒皮筋增速的关键是具有弹簧压缩力量逐级递增的性质,具有明显的初速度加速表现。
根据每种皮筋的收缩速度我们确立了组和条件,再通过优化求解,最终确定了最优组和方式,并给出了合理的长度搭配。
关键词:
能量守恒非线性拟合能量利用率微元法回阻系数力量逐级递增
1.问题重述
弹弓的历史很久远,可以追溯到中国古代,原本是民间的一种玩具,随着社会发展,弹弓经过改良之后已经成为一种体育竞技工具。
弹丸的初速主要由皮筋拉满之后收缩得到的,弹丸的初速不可能大于皮筋的收缩速度,也就是弹丸质量忽略不计时其初速与皮筋拉力无关而与皮筋的收缩速度相关,况且实际上还要扣除弹丸自身的重量引起的回弹初速上限减低的问题,所以弹丸的初速只能无限接近皮筋的回弹速度。
目前市场上的皮筋拉满之后击发,弹丸的初速在55-75m/s之间。
有网友用测速仪测得各种皮筋击发的弹丸的初速。
目前流行一种鸡尾酒式皮筋组,即把不同规格的皮筋(即不同粗细)组合起来使用的皮筋组。
这种皮筋击发弹丸时可以使弹丸得到更高的初速。
问题1:
请建立模型解释以下现象:
(1)忽略弹丸质量的时候,用不同型号的皮筋击发弹丸时初速相差不大,维持在一个比较接近的水平;
(2)目前弹弓弹丸初速在55-75m/s之间这一事实。
问题2:
请建立模型解决以下问题:
(1)解释鸡尾酒式皮筋组显著提高弹丸初速的原理;
(2)给出鸡尾酒皮筋组效果更佳的组合(包括两段皮筋的规格、粗细差别),并尝试寻找两种型号上的最优组合和两段皮筋所占长度的最优解。
2.模型假设
1.皮筋拉伸过程中各段截面积相等;
2.制造各种型号的皮筋所用材料相同;
3.皮筋运动过程中较小的距离内钢球的加速度保持不变;
4.鸡尾酒皮筋组运动时,运动大致看成粗皮筋先收缩完全,而后细皮筋开始收缩。
3.符号说明
符号
说明
皮筋的质量
鸡尾酒皮筋组中粗皮筋的质量
鸡尾酒皮筋组中细皮筋的质量
皮兜的质量
钢珠的质量
皮筋的原长度
皮筋的原面积
钢珠的初速度
拉力
动能
皮筋的应变能
弹性模量
正应力
应变
4.问题分析
问题一的分析:
弹丸的初速主要由皮筋拉满之后收缩得到的,弹丸的初速不可能大于皮筋的收缩速度,也就是弹丸质量忽略不计时其初速与皮筋拉力无关而与皮筋的收缩速度相关,本文要求解释忽略钢球质量时,用不同型号的皮筋击发钢球时初速相差不大,其次为什么目前钢球初速在55-75m/s之间。
首先,钢球的弹射是满足能量守恒定律的,钢球弹射的动能最终来源于皮筋拉伸时所积蓄的应变能。
单股皮筋拉伸的应变能只与其体积和材料有关,应变能在皮筋的收缩过程中转化为,钢球的动能,皮筋收缩的动能,皮兜的动能,其余的能量被皮筋自身的阻力所消耗。
其次,皮筋自身的阻力主要来源于皮筋极限收缩速度的限制,所以应变能只有一部分转化为动能,这里存在一个应变能利用率的问题。
皮筋阻力消耗的能量应与皮筋自然长度和皮筋纵向的截面积有关。
问题二的分析:
我们选取不同粗细、不同长短的两段皮筋,分别用表达式求解两段皮筋的运动。
我们知道弹弓皮筋的延伸性是有限的,所以出去的力道,也和弹弓皮筋的型号有着非常大的关系,在制作鸡尾酒弹弓皮筋的时候,因为弓门的地方,采用了比较粗的弹弓皮筋,所以不容易被拉开,然后靠近皮筋的地方使用了轻型号的皮筋,就使得弹弓皮筋有了非常好的延伸性和初速。
其原理在于鸡尾酒皮筋组具有弹簧压缩力量逐级递增的性质,具有明显的初速度加速表现。
从而解释鸡尾酒皮筋增速的原因,然后尝试把两段皮筋粗细、长短都设为变量来求取最优解。
前后段不同粗细的皮筋组因为收缩时间的先后差异造成了动力的有效叠加。
后手释放瞬间,粗皮筋先行收缩做功,做功对象是整段细皮筋组和皮兜以及钢*,带动它们加速前行。
粗细皮筋的搭配,理论上来说它们的拉力相差越大,那么收缩时间的先后差异就越明显,动力就叠加的更好,但同时要考虑细皮筋的承受能力。
5.模型建立与求解
5.1.问题一
能量守恒定律是自然界的一个普遍规律——在自然界的各种变化中,能量既不会无中生有,也不会自行消灭,只会从一种形式转化为另一种形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而转化时总能量是恒定的。
为此,我们利用能量守恒原理来建立数学模型求解弹弓弹丸的初速度问题,即皮筋、皮兜、钢珠所增加的动能加上皮筋收缩过程中消耗的能量等于皮筋拉伸后所蕴含的应变能。
5.1.2.模型的建立
在模型建立中多次用到微元法,这里我们对微元法进行简单的介绍。
所谓微元法就是指将连续的(线,面,体)看成无数个无限小(线元,面元,体元)的集合,整个物体的物理量就变为无限个小微元相应物理量的“无限积累”,从而将物理问题“翻译”成为数学问题的一种方法。
一.皮筋动能的计算
由动能的计算公式:
(1-1)
可知,单股皮筋动能微元为:
(1-2)
对上式积分可得单股皮筋的动能为:
(1-3)
所以,n股皮筋的动能为:
(1-4)
二.皮兜和钢珠的动能
直接用动能计算公式可知,皮兜和钢珠的动能之和为:
(1-5)
三.皮筋拉伸后所蕴含的应变能
物体在载荷作用下发生变形,载荷作用点相应发生位移,载荷在其位移上做功,在弹性范围内,不计变形过程中能量的耗损,全部外力功转换为能量而积蓄于物体内,此能量称为弹性应变能(应变能)。
由应力计算公式:
以及应力与应变关系:
又应变计算公式:
所以拉力可以表示为:
综上可知单股皮筋的拉力微元为:
(1-6)
对上式对位移积分可得单股皮筋拉伸后的应变能为:
(1-7)
因此,n股皮筋拉伸后的应变能为:
(1-8)
四.皮筋收缩过程中消耗的能量
这部分能量包含很多复杂的能量,如:
热能、声能等。
要计算它是很困难的,因此,我们在此引入能量利用率的概念。
设能量利用率:
一方面,相同材料下,具有相同拉伸长度的皮筋,截面积越大,面与面之间的拉力也越大,同时在拉伸过程中消耗的能量也越多。
另一方面,具有相同截面积的皮筋,自然长度越长,力作用的时间越长,作用的距离越远,受此影响,损耗的能量也越大。
五.能量守恒定律
由能量守恒定律可知,皮筋、皮兜、钢珠所增加的动能加上皮筋收缩过程中消耗的能量等于皮筋拉伸后所蕴含的应变能,其数学表达式如下所示:
(1-9)
5.1.3.模型的求解
根据以上建立的模型,首先,利用matlab作非线性拟合,得到能量利用率
中的常数
和
的值分别为0.11和1.5。
下面是用matlab拟合的9mm弹丸初速和实际弹丸初速的比较图,其中‘o’表示预测值‘*’表示实际值
图1初速度拟合
其次,在题目所给的测试条件下,根据模型用matlab预测出9组弹丸的初速度值:
图2速度
由图示可知,在其他条件不变的情况下,当皮筋的尺寸或股数较小时,弹丸的初速有明显的增加,但是继续增加尺寸和股数时,弹丸的初速趋于缓和。
9组数据中速度最小的值为51m/s,最大为63m/s,当采用更小的弹丸时,用matlab算得弹丸初速如下:
图3弹丸初速
如图所示,采用6mm弹丸时,弹丸初速最大为75.5m/s,最小为65.5m/s,弹丸初速在达到峰值后,随着皮筋尺寸的增加,速度有所回落。
由此可见,市场上测得的弹丸初速之所以在55-75m/s之间是因为,在皮筋尺寸和股数较小时,皮筋内部的阻力作用并不明显,所以弹丸速度在初期会有一个明显的上升,但是到了后期皮筋因极限回缩速度所产生的阻力会抑制弹丸的加速,对于自然长12.5cm的皮筋来说,当弹丸速度到达75m/s时,对弹丸的加速作用几乎可以忽略。
当忽略弹丸质量时,由能量守恒定律公式可知,尺寸和股数对弹丸初速度的影响微乎其微,此时弹丸的初速最接近皮筋的极限回缩速度,而皮筋的回缩速度只与皮筋的材料有关,故此时无论皮筋的股数和尺寸如何变化,弹丸的初速度均维持在同一水平。
5.2.问题二
微元法也叫元素法、微元素法、无穷小元素的求和法,是数学和物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。
在求解力学量和物理量的实际应用中,很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程,为了使这一过程简化,微元法也就应运而生,微元法本身就是定积分的原始思想,它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程,所以微元法也是一种思想方法。
历史上,在微积分的理论基础还不清楚,微分还没有严格定义时,微分被理解为一个比零大,但又比任何正数小的神秘的“数”,是无法理解的,这与现代明确的微分定义是不同的,它所对应的被度量的物理量就是微元。
微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量,把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”,这个“过程”可以是角度、线段、面、体,还可以是时间、位移、功等等,积分便是这些“无限小过程”之和,在求解力学量和物理量时,用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式,因为这种想法方便实用,简便快捷,所以应用相当广泛。
5.2.1.模型的建立
我们想象中弹弓击发时候的皮筋收缩是大致均匀的,比如皮筋拉满状态70厘米,收缩到60厘米,那么前面一半的皮筋和后面一半的皮筋,大致收缩相同的距离,如此前半段皮筋收缩5厘米,后半段皮筋也收缩5厘米。
而实际上并不是这样的。
皮筋收缩的真实状态是后段皮筋收缩速度快而前段的皮筋收缩速度慢。
这是因为皮筋本身有重量,而且这个重量是不可忽视的。
前半段皮筋带动的总量比后半段带动的总量大,而皮筋的物理性质应该是基本均匀的,为了获得最高速度,前半段皮筋收缩应与后面皮筋收缩的速度相同,才能取得皮筋收缩的速度峰值叠加效果,使钢珠获得最大的速度。
那么前面皮筋的截面积应该增加才对。
而鸡尾酒式皮筋就很好地符合了这个条件。
我们采用微元法的思想把皮筋收缩过程分为N个小段,理论上N越大拟合的结果就越接近实际。
而每一个微元段的运动由牛顿运动定律就可以建立模型求解。
我们把每一个微元段看成是一个加速度恒定的直线运动,通过计算每一小段的钢珠的速度、加速度和加速时间可得出运动每一小段后的速度,利用速度的叠加原理得
,从而建立模型:
第一段:
(2-1)
(2-2)
得出:
(
为粗皮筋拉伸时拉长的长度,N为总段数)
(n为股数)
第
段
(2-3)
(2-4)
(2-5)
(2-6)
每一段依次由上一段叠加而得到。
在运动过程中,由于阻滞力与皮筋的速度正相关,所以皮筋的加速度会越来越小,使皮筋的速度开始收敛,最后趋近皮筋的极限速度。
5.2.2模型求解
因为模型是由最基本的牛顿运动公式所建立,而且每一段都与前后端之间有着不可分割关系,所以模型求解时通过逐步迭代就可解决问题。
这里是通过在EXCEL中输入关键的数据逐步迭代,分别求得皮筋在每一段的速度和加速时间:
表1收敛速度
极限速度
收敛时间
实际速度
53.43495
0.000373
40.01599
0.000498
63.9138
0.00017
50.12656
0.000221
70.3358
0.000149
56.77707
0.000187
74.62149
0.000138
61.59154
0.000168
77.56333
0.000131
65.22545
0.000157
79.578
0.000127
68.02201
0.00015
80.9151
0.000124
70.18759
0.000144
81.73698
0.000123
71.8576
0.00014
82.15551
0.000122
73.12648
82.25101
0.000121
74.06307
0.000135
0.001577
74.71929
0.000134
75.13538
0.000133
75.34317
0.000132
75.36835
0.002471
在通过逐项求解后,我们对数据进行了分析,发现了以下规律:
1.环形面积越大的皮筋其阻力系数
越大,即越粗的皮筋在收缩时所遇到的阻滞力越大;
2.环形面积越大的皮筋收缩速度越快;
3.所有型号的皮筋普遍收缩时间较短,在收缩了10厘米的时候,速度均能达到40米以上。
所以得到鸡尾酒皮筋可以提高皮筋击发时初速度的原理是:
鸡尾酒皮筋组具有弹簧压缩力量逐级递增的性质,具有明显的初速度加速表现弹弓皮筋的延伸性。
粗皮筋先收缩而细皮筋后收缩,细皮筋对钢珠做功的距离长于普通的皮筋,所以鸡尾酒增加了钢珠的速度。
我们习惯性认为弹弓击发时皮筋的收缩是大致均匀的,比如皮筋拉满状态70厘米,收缩到60厘米,那么前面一半的皮筋和后面一半的皮筋,大致收缩相同的距离,如此前半段皮筋收缩5厘米,后半段皮筋也收缩5厘米。
皮筋收缩的真实状态是后段的皮筋收缩速度快而前段的皮筋收缩速度慢。
这是因为皮筋本身有重量,而且这个重量是不可忽视的,其影响超过我们的想象。
相当于前半段皮筋带动的总量增加了后半段皮筋的质量。
而皮筋的物理性质应该是基本均匀获得最高速度,前半段皮筋收缩应与后半段皮筋收缩的相同,才能取得皮筋收缩的速度峰值叠加效果,钢球获得最大的速度。
那前面皮筋的截面积也应该增加才对。
所以采用鸡尾酒式皮筋就很好的解决了这个问题。
为了更快的选取出最优组合,我们提出了下面几个筛选规则:
1.粗细皮筋的拉力相差在一倍左右,即粗皮筋的拉力时细皮筋拉力的两倍;
2.组合的粗皮筋拉力不会超过细皮筋的承受极限;
3.在所采用的组和中,粗皮筋的收缩时间比细皮筋的收缩时间短;
4.皮筋的拉力不超过正常人的拉力范围。
通过该规则,我们初步确定了24个较好的组合。
由于前后段不同粗细的皮筋组因为收缩时间的先后差异造成了动力的有效叠加。
当我们慢慢拉开一付鸡尾酒式皮筋组时,会发现细皮筋段先于粗皮筋段被拉开,直到细皮筋段完全拉满至极限后,粗皮筋段才会被大幅拉开拉满。
反之,当我们慢慢放开时,会发现粗皮筋段先于细皮筋开始收缩,差不多等到粗皮筋收缩到位后。
细皮筋才开始收缩做功。
粗皮筋先行收缩做功,做功对象是整段细皮筋组和皮兜以及钢珠,带动它们加速前行。
按普通皮筋收缩率来计算,假设粗皮筋行程做功完毕后,已将整段细皮筋组和皮兜以及钢珠加速到正常的70M/S,此时细皮筋接着收缩做功,对皮兜以及钢珠再次进行加速,再加上50M/s,那么钢珠就能获得120M/S的高速了。
当然,要达到完全的叠加是不可能的。
中间总会有能量的丧失。
那么,如何配置皮筋组才能使它达到最佳效果呢?
为此,我们将组合后的皮筋组再次带入模型计算,得到了以下几组较好的组合,并计算出了它们的速度、拉力:
表2组合表
鸡尾酒组合
粗皮筋
细皮筋
股数
3060
1745
2
119.2
2752
59.6
2050
2040
153.3
4
238.4
185.4
1630
1842
92.7
2550
310
1845
211.9
皮筋组要有效拉满,细皮筋段是工作在极限状态的。
要想达到最大的功率输出,那就是满弓时,粗皮筋也正好被拉满,这样一来。
皮筋组的长度就要合理,长了效果就会受到很大的影响,而长度比与皮筋截面积有很大的关系。
1745的皮筋比2040皮筋截面积增加59%,基本上比较接近,所以对于1745搭配2040皮筋,1745的皮筋应该比一半稍微短一点就可以了,合适的比例大概为4.5比5.5,对于有效长度11.5厘米的皮筋,1745的皮筋有效长度应该是5.2厘米,2040皮筋长度为6.3厘米。
粗细皮筋的搭配,理论上来说它们的拉力相差越大,那么收缩时间的先后差异就越明显,动力就叠加的更好。
当然事实上不是如此,如果粗皮筋太重了,那么细皮筋几下就拉断了。
6.模型评价
优点:
1.引入能量利用率的概念,较好地解释了钢球初速现象;
2.第一问结果与实际相符;
3.较好地解释了鸡尾酒弹弓原理。
缺点:
1.鸡尾酒弹弓的优化采用穷举法,不够精确;
2.解释实际现象时,模型不够精细。
7.参考文献
[1]刘鸿文.材料力学[M].北京:
高等教育出版社,2011.
[2]52弹弓网,
[3]渔猎论坛,
[4]陈启贤.微元法与叠加原理[J].江汉大学学报,1988,02.
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