全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案Word下载.docx
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0,则()
(A)f
(1)>
f(-1)
(B)f
(1)<
(C)f
(1)>
f(-1)
(D)f
(1)<
(C)
【解析】令F(x)=f2(x),则有F'
(x)=2f(x)f'
(x),故F(x)单调递增,则F
(1)=F(-1),即
[f
(1)]2>
[f(-1)]2,即
f
(1)>
f(-1),故选C。
∞⎡1⎛1⎫⎤
(4)设级数∑⎢sinn-klnç
1-n⎪⎥收敛,则k=()
n=2⎣⎝⎭⎦
(A)1(B)2(C)-1
(D)
-2
1111111k1
【解析】由sin
-kln(1-)=-+o()+k++o()
nnn6n3n3n2n2n2
=(1+k)1+
n
k
2n2
-16n3
+o(n2),
∞11
nn
又∑[sin-kln(1-)]收敛,故有k+1=0,即k=-1,故选C。
n=2
(5)设α是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则
(A)E-ααT不可逆(B)E+ααT不可逆
(C)E+2ααT不可逆(D)E-2ααT不可逆
【解析】选项A:
由(E-ααT)α=α-α=0可知,(E-ααT)X=0有非零解,故E-ααT
=0,
即E-ααT不可逆。
选项B:
由r(ααT)=1知,ααT的特征值为0,0,0,1,
(n-1)个
故E+ααT的特征值为1,1,1,2,因此E+ααT
=2≠0,可逆。
选项C:
同理可得E+2ααT的特
征值为1,1,1,3,故
E+2ααT
3=0≠,可逆。
选项D:
同理可得E-2ααT的特征值为1,1,1,-1,
故E-2ααT=-1≠0,可逆。
⎡200⎤
⎡210⎤
⎡100⎤
(6)设矩阵A=⎢021⎥,B=⎢020⎥,C=⎢020⎥,则
⎢⎥
⎢⎣001⎥⎦
⎢⎣002⎥⎦
(A)A与C相似,B与C相似(B)A与C相似,B与C不相似
(C)A与C不相似,B与C相似(D)A与C不相似,B与C不相似
(B)
【解析】由(λE-A)=0
可知A的特征值为2,2,1。
⎛1
ç
0
⎝
0⎫
3-r(2E
-
A)=1。
∴A可相似对角化,且A⎪
⎪
⎭
由λE-B=0可知B的特征值为2,2,1。
-B)=
2。
∴B不可相似对角化,显然C可相似对角化,
C
∴A。
且B不相似于C。
(7)设A,B,C为三个随机事件,且A与C相互独立,B与C相互独立,则A⋃B与C相互独立
的充要条件是
(A)A与B相互独立(B)A与B互不相容
(C)AB与C相互独立(D)AB与C互不相容
【解析】由A⋃B与C,独立得
P((A+B)C)=P(A+B)P(C)
P(AC+BC)=(P(A)+P(B)-P(AB))P(C)
P(AC)+P(BC)-P(ABC)=(P(A)+P(B)-P(AB))P(C)
又由A与C,B与C独立得P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
由此验证(A)(B)(C)(D)四项,
又(C)选项可得P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
(8)设X1,X2Xn
不正确的是
(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记X=1n
∑
ni=1
Xi,则下列结论中
(A)∑(Xi
i=1
-μ)2服从χ2分布(B)2(X
X)2服从χ2分布
(C)∑(Xi
-X)2服从χ2分布(D)n(X-μ)2服从χ2分布
【解析】
(A)Xi-μ
N(0,1)故∑(Xi
-μ)2
χ2(n);
(B)
N(0,2)⇒Xn-X1N(0,1)
Xn-X1
χ2
(1)
⎛x-x⎫2
(x-x)2
⇒ç
n1⎪
⎝⎭
即n1
χ2
(1)。
22222
(C)由S
=∑(Xi-X),(n-1)S
n-1
=∑(Xi-X)
χ(n-1)。
(D)(X-μ)
N⎛0,1⎫,则
n(X-μ)
N(0,1),所以n(X-μ)2
n⎪
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
π
(9)⎰-π
(sin3x+
π3
。
π2-x2)dx=。
【解析】由对称区间上积分的性质可知,
π2-x2
3
⎰-π(sinx+
)dx=⎰-π
dx=。
(10)差分方程yt+1
2yt
=2t的通解为y=。
t
【答案】yt
=C2t+1t⋅2t,C∈R。
【解析】由yt+1
=2t可得齐次特征方程为r-2=0,得r=2,故其齐次方程的通解为
y=C⋅2t,设y*=at2t,代入得a=1,故通解为y=C2t+1t⋅2t,C∈R。
2t2
(11)设生产某产品的平均成本C(Q)=1+e-Q,其中Q为产量,则边际成本为。
【答案】C'
(Q)=1+e-Q(1-Q)。
【解析】C(Q)=1+e-Q得C(Q)=Q(1+e-Q),
Q
则边际成本为:
C'
(12)设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,则
,
f(x,y)=。
【答案】xyey。
【解析】由题可知,
f'
=yey,
=x(1+y)ey
f(x,y)=yeydx=xyey+c(y)
⎰
y
=xey+xyey+c'
(y)=xey+xyey
y,即
⎛101⎫
c'
()y0=,即
c(y)=c,
f(0,0)=0,故
c=0,即
fx(y,
eyx)=y
(13)设矩阵A=ç
112⎪,α,α
α为线性无关的3维列向量组,则向量组Aα,Aα
Aα的
秩为。
【答案】2
⎪
011⎪
123
由于α1,α
α2
线性无关,可知矩阵
(α1,α2,α3)
可逆,故
r(Aα1,Aα2,Aα3)=r(A(α1,α2,α3))=r(A),不难计算的r(A)=2,故r(Aα1,Aα2,Aα3)=2。
(14)设随机变量X的概率分布为P{x=-2}=1,P{x=1}=a,P{x=3}=b,若EX=0,则
DX=。
9
由分布律的归一性可知1+a+b=1,又由于EX=0,可知-2⨯1+1+a+3b=0,解得
22
a=1,b=1,从而EX2=(-2)2+1+12⨯1+32⨯1=9,DX=EX2-(EX)2=9。
4424422
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x3
(15)(本题满分10分)求lim⎰
x→0+
x-tetdt
【解析】先对变上限积分⎰0
x-tetdt作变量代换u=x-t,得
x-tetdt=0
0x
uex-u(-du)=exx
ue-udu
则由洛必达法则可知:
原式=lim
exx
ue-udu+
x→0+3x
xe-x
=2lim⎰0
ue-udu2
+
3x→0+3
=lim
3x→0+-
xe-x+
2x
1e-x3
=2lim
xe-x+2
3x→0+-xe-x+1e-x3
⎰⎰(1+x+y)
y3
(16)(本题满分10分)计算积分24
D
为边界的无界区域。
dxdy,其中D是第一象限中以曲线y=与x轴
积分区域如图所示,选用直接坐标计算该积分,先对y积分,后对x积分得
+∞
原式=⎰0
dx⎰0
xy3dy
y=x
(1+x2+y4)2
1+∞x
=
dy4
4⎰0
=-1
1|xdx
(1+x2+y4)20
-
1+∞1
(
1)dx
1+x2
1+2x2
=1(arctanx-1arctan2x)|+∞
420
=π(1-)8
(17)
(本题满分10分)求lim∑kln(1+k)。
n→∞k=1nn
【解析】由定积分的定义式可知
原式=
lim1∑nkln⎛1+k⎫=
xln(1+x)dx
,再由分部积分法可知:
n→∞nnç
n⎪⎰0
k=1⎝⎭
1112
x2-1
11x2-1
⎰0xln(1+x)dx=2⎰0ln(1+x)d(x
-1)=
2ln(1+x)|0-⎰0
dln(1+x)
=-11(x-1)dx=-1(x-1)2|1=1
2⎰0
404
(18)(本题满分10分)已知方程
ln(1+x)
1=k在区间(0,1)内有实根,试确定常数k的取值范围。
11
令f(x)=-,
ln(1+x)x
(x)=-1
⋅1+1
ln2(1+x)1+xx2
=(1+x)ln2(1+x)-x2
x2(1+x)ln2(1+x)
令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,可得
g'
(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x
(x)=2ln(1+x)-x<
0,x∈(0,1)
1+x
故g'
(x)在[0,1]上单调递减,从而x∈(0,1)时g'
(x)<
g'
(0)=0
故g(x)在[0,1]上单调递减,从而x∈(0,1)时g(x)<
g(0)=0
因此有
(x
)<
,可知
f(x)
在(0,1]上单调递减,从而
f
(1)=
1-1,
ln2
⎛11⎫111
lim
f(x)=limç
-
x→0+⎝ln(1+x)
⎪=,则要使得f(x)=k在(0,1)内有实根,必有
-1<
k<
。
ln22
(19)(本题满分10分)设a0=1,a1=0,an+1=n+1(nan+an-1)(n=1,2,),S(x)为幂级数
∑ax的和函数,
∞
n=0
(I)证明幂级数∑ax的收敛半径不小于1;
(II)证明(1-x)S'
(x)-xS(x)=0(x∈(-1,1)),并求S(x)的表达式。
(I)由a
=1(na+a)a
n+1
n+1
nn-1
,两边同时减去n可知
a-a=
-1(a-a)
进而有
a-a=-1⋅
n+1nn+1
n+1n
=(-1)n(n+1)!
-1
n(an-1-an-2)=
(a1-a0)=
(-1)n(n+1)!
从而有an=an-1+
(-1)n-1
n!
-n-2
=
(1)
an-2+(n-1)!
+
(-1)n-1=
nk-1
=∑(-1)
k=1
k!
则limna≤limn1+++
≤limnn=1,故收敛半径R≥1;
n→∞nn→∞2!
n→∞
(II)由逐项求导定理可知S'
(x)=∑nax
n-1
∞∞∞
n=1
故(1-x)S'
(x)=(1-x)∑naxn-1=∑naxn-1-∑naxn
nnn
=∑(n+1)a+xn-∑naxn=∑[(n+1)a+
na
]xn+ax
n1
nn1n1
xS(x)=∑ax=ax∑-
∞∞
nn1
n=0n=1
则(1-x)S'
(x)-xS(x)=∑[(n+1)a
na-a
nn-11
由a=
1(na+a)
(n+1)a
=0,
nn-1可知
又由于a1=0,故(1-x)S'
(x)-xS(x)=0
解此微分方程可得S(x)=
ce-x
1-x
e-x
又由于S(0)=a0=1,可知c=1,从而S(x)=1-x。
(20)(本题满分10分)设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2,
(I)证明r(A)=2;
(II)若β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解。
(I)由α3=α1+2α2可知α1,α2,α3线性相关,从而r(A)≤2,可知0为A的一个特征值,设A的另外两个特征值为λ1,λ2,由于A有三个互不相同特征值,可知A可以相似对角化,从而A
⎛λ1
相似于对角矩阵Λ=ç
λ
⎫
⎪,由于λ,λ≠0,可知r(Λ)=2,从而r(A)=r(Λ)=2。
2⎪12
0⎪
(II)先求Ax=0的通解:
由于r(A)=2,可知Ax=0的基础解系中仅含有一个向量,从而Ax=0
的任何一个非零解均为Ax=0的基础解系。
由于α
=α+2α
⎛1⎫
,可知Aç
2⎪=α
+2α-α
312
⎪123
因此ç
2⎪即为Ax=0的基础解系,Ax=0的通解为kç
2⎪,k∈R。
再求Ax=β的特解:
显然
⎪ç
⎝⎭⎝⎭
⎛1⎫
⎛1⎫⎛1⎫
Aç
1⎪=β,因此ç
1⎪即为Ax=β的特解,综上所述,Ax=β的通解为kç
2⎪+ç
1⎪,k∈R
⎪ç
⎪
⎝⎭⎝⎭
-11
⎝⎭⎝⎭
(21)(本题满分10分)设二次型f(x,x,x)=2x2-x2+ax2+2xx-8xx+2xx在正交变换
123123121323
1122
x=Qy下标准形为λy2+λy2,求a的值及一个正交矩阵Q。
⎛21-4⎫
【解析】二次型的矩阵为A=ç
1-11⎪,由于二次型在正交变换下的标准形为λy2+λy2,
⎪1122
-41a⎪
可知0为A的一个特征值,从而A=-3a+6=0,可得a=2。
要计算正交矩阵Q,先求A的特
λ-2-14
征值,则由λE-A=-1
4
λ+1
λ-2
=λ(λ-6)(λ+3)=0,得A的特征值为0,6,-3。
先求0的特征向量:
Ax=0的基础解系为α
=ç
2⎪,单位化得β=
1⎪
1ç
2⎪,
⎝⎭
⎛-1⎫
6ç
再求6的特征向量:
(A-6E)x=0的基础解系为α
0⎪,单位化得β=
0⎪,
2ç
22ç
再求-3的特征向量:
(A+3E)x=0的基础解系为α
-1⎪,单位化得β=
-1⎪,故
⎛-236⎫
3ç
33ç
236⎪
36⎪
Q=(β2,β3,β1)=ç
0-33⎪
236⎪
(22)(本题满分11分)设随机变量X,Y相互独立,且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=1,
⎧2y,0<
y<
1,
⎩
Y的概率密度为f(y)=⎨0,
其他,
(I)求P{Y≤EY};
(II)求Z=X+Y的概率密度。
(Ⅰ)由数字特征的计算公式可知:
EY=⎰+∞yf(y)dy=⎰12y2dy=2。
-∞03
⎧2⎫224
则P{Y≤EY}=P⎨Y≤
⎬=⎰3
f(y)dy=⎰32ydy=。
⎩3⎭-∞09
(Ⅱ)先求Z的分布函数,由分布函数的定义可知:
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}。
由于X为离散型随机变量,则由全概率公式可知
=P{X=0}P{X+Y≤z|X=0}+P{X=1}P
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