弹性力学轴对称问题的有限元法.docx
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弹性力学轴对称问题的有限元法
4.弹性力学轴对称问题的有限元法
本章包括以下内容:
4.1用虚功方程建立有限元方程
4.2三结点单元位移函数
4.3三结点单元刚度矩阵
4.4载荷移置
4.5轴对称分析举例4.1用虚功方程建立有限元方程
物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴,因此在物体中通过
该轴的任何平面都是对称面,所有应力、应变和位移也对称于该轴,这类问题称为轴对称问题。
研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,0,z),以z轴为对称轴。
图4.1受均布内压作用的长圆筒
如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒,通过对称性,轴对问题共有4个应力分量:
Z轴的一个纵截面就是对称面。
由于
r
{}
z
zr
(4-1)
其中r表示沿半径方向的正应力,称为径向应力;
表示沿0方向的正应力,称为
环向应力或切向应力;z表示沿z方向的正应力,称为轴向应力;
zr表示在圆柱面上沿
z方向作用的剪应力。
同样,轴对称问题共有4个应变分量:
{}
4-2)
z
zr
其中r表示沿半径方向的正应变,称为径向正应变;表示沿B方向的正应变,称为
环向正应变或切向正应变;z表示沿z方向的正应变,称为轴向正应变;zr表示沿r和z
方向的剪应变。
{f}
在轴对称问题中,弹性体内任意一点上,不存在切向位移,只存在径向位移u和轴向位移w,两个位移分量表示为,
4-3)
在讨论弹性力学平面问题的有限元法时,我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体,由虚功方程得到单元刚度矩阵,集成后得到整体刚度矩阵。
在这里,我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。
由虚功方程可得,外力虚功等于内力虚功或虚应变能,
*T*T*T
{*}T{}dxdydz{f*}T{F}dxdydz{f*}T{p}ds(4-4)
s
其中{F}为体力,{p}为面力。
将弹性体离散后,作用在弹性体上的外载荷移置到节点上,在每个节点上外力只有径向
分量U1,U2,...,Un,轴向分量W1,W2,...,Wn,
{F}
U1
W1
U2
W2
4-5)
每个节点的虚位移也只有径向分量
u;,u2,...,u;,轴向位移分量W;,w2,...,W;。
u1
*
*
u2
*
[K]e
[B]T[D][B]rdrdzd
[B]T[D][B]rdrdz(4-11)
4-6)
un
*
w*n
在单元中由虚位移引起的虚应变为,
*Q*Q
{*}e[B]{*}e(4-7)
单元中的实际应力为,
{}e[D][B]{}e(4-8)
离散后的单元组合体的虚功方程为,
n
{*}T{F}({*}e)T[B]T[D][B]{}edxdydz(4-9)
e
i1
n
{*}T{F}({*}e)T[B]T[D][B]dxdydz{}e(4-10)
e
i1
eT
[K]e[B]T[D][B]dxdydz就是单元刚度矩阵。
e
对于轴对称问题,
将(4-11)代入(4-10)可得
{*}T{F}{*}T([G]T[K]e[G]){}(4-12)
e
[K]([G]T[K]e([G])为整体刚度矩阵,得到方程组,
4-13)
e
[K]{}{F}
4.2三结点单元位移函数
在整个弹性体中是三棱
轴对称问题的三结
轴对称问题分析中所使用的三结点单元,在对称面上是三角形,
圆环,各单元中圆环形铰相联接。
参照平面问题的三角形单元位移函数,点三角形单元位移函数取为,
(4-14)
uaia2「a3z
wa4a5「a6z
图4-2三结点单元
4-14)得到,
31
1
2A
3i
aj
3m
Ui
32
bi
bj
bm
Uj
33
Ci
Cj
Cm
Um
a4
1
2A
ai
aj
am
Wj
a5
bi
bj
bm
Wj
a6
ci
cj
cm
wm
(4-15)
(4-16)
按照平面问题三角形单元的分析过程,将结点坐标和结点位移代入(
其中,
ri
21
rj
rm
召
zj
zm
(4-17)
airjzmzmrj,bi
zjzm,cirmrj
定义形态函数为,
1
Ni^^(aibrCiz)
(下标i,j,m轮换)
(4-18)
用矩阵表示的单元位移为,
ui
Wj
u
Nj
0Nj0Nm0uj
w
0
Nj0Nj0Nmwj
umwm
4.3三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程:
z
zr
w
z
uw
zr
(4-20)
由(4-19)式得,
士(biui
bjUj
fjUj
bmum)
fmum)
(4-21a)
(4-21b)
其中,fj岂bj
r
CZj
r
(下标轮换)
w
z
u
z
w
r
—(cjuj
2Ajj
CjWjcmwm)
CjUjcmum)
bjwjbmwm)
(4-21c)
(4-21d)
(4-21e)
用几何矩阵表示单元的应变,
(4-22)
{}[B]{}e
[B][BjBjBm]
(4-23)
bi
0
1
fi
0
[Bi]
i2A
0
Ci
q
bi
由于在fi是坐标r、z的函数,分量在单元中不为常量,其它三个应变分量在单元
1
1
1
0
1
0
E
(1)1
1
[D]
(1)(12)
1
0
1
1
12
0
0
0
2
(1)
中仍为常量。
由轴对称问题的物理方程,得到弹性矩阵,
(4-25)
12
令人,丄二A2,则弹性矩阵为,
112
(1)2
1
A1
[D]
)Al
1
(1)(1
2)A1
A1
0
0
A0
A0
1(4-26)
10
0A2
[S]
[D][B]
(4-27)
(4-28)
[S]
[SiSjSm]
fi
A1ci
Q]
[D][Bi]
E(1
)
A1bi
fi
A1ci
(4-27)
i2(1
)(1
2)A
Al(bi
fi)
ci
由弹性矩阵[D]和几何矩阵[B]可以得到应力矩阵
[S],并计算出单元内的应力分量,
A?
qA?
bi
下标轮换,可得到[SJ,[Sj]。
由应力矩阵可知,除剪应力
zr
为常量,其它三个正应力分量都是r、z的函数。
单元刚度矩阵为,
[K]e2[B]T[D][B]rdrdz(4-28)
单元刚度矩阵的分块矩阵为,
Krs2[B]:
[D][Bhrdrdz(4-29)
可以
由于几何矩阵中的元素不是常量,单元刚度矩阵需要通过积分得到,为简化计算,
用三角形单元形心位置的坐标rc,zc代替[B]矩阵中的变量r、z。
rc
3(ri
rj
rm),
zc
扣
zj
zm)
应变矩阵变成,
[B]
Bi
Bj
Bm
E
0
ai
1
bi昵
0
[Bi]
rc
2A
0
Ci
Ci
bi
单元刚度矩阵的近似表达式为:
(4-30)
[K]e2rc[B]T[D][B]
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为,
(4-31)
rs
2rc[B]:
[D][B]s
(4-32)
[K]rs
2(1
E(1
)(1
)rc_brbs
2)A
frfs
A1(CrbsCrfs)A?
brCs
AJbpfsfrbs)AzCrCs
AQCs
CrCs
g)AzCrbs
Azbrbs
(4-33)
4.4载荷移置
单元上的体力为{p},与平面问题相同,由虚功方程可以得到结点载荷,
{R}e2[N]T{p}rdrdz(4-34)
作用在单元上的面力为P,结点载荷为,
(4-35)
{R}e2[N]T{P}rds
s
轴对称问题分析中,如果直接定义结点载荷,载荷值是实际弹性体上绕对称轴一周的载荷的累计结果。
4.5轴对称分析实例
图4-3带裙座封头的结构
fl
图4-4坯料形状
图4-5成形分析的轴对称有限元模型
封头作为压力容器中的重要受力部件,用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。
带裙座封头的结构如图4-3所示,其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接,提高了封头
的可靠性,但也增加了成形过程的难度。
成形的难点在于:
1)如何保证锻件的厚度;
2)如何保证成形后的裙座位置。
厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象,严重的会导致封头
撕裂、起皱、模具涨裂等问题。
制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。
普通的半球形封头采用圆
饼形坯料,制造带裙座封头要采用如图4-4所示的坯料。
分析整个成形过程可以发现,封头的底部明显变薄,会使封头的最小壁厚达不到设计要
求。
在制作坯料时,要在坯料的中心部分加厚。
封头边缘部分,在成形过程中明显增厚,壁厚的增加量会超过10%,制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。
在图4-5中,可以看出,我
们制作了一个心部增厚,边缘减薄的坯料。
坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关,由于成形过程中封头的底部变薄
导致凸台外移,合理的凸台位置要通过有限元分析来选择。
通"3.4
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13:
11
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口
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U7.31S
旧
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图4-6成形初期的等效应力分布
AJKU甘S..S.1■TMT72OQQie:
in:
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IPACIT^E
SIDOD
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111.017
io.m
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314,Ba
图4-7成形中间阶段的等效应力分布
5-fl
CKT7)0鸡聘
13L9
STEEFTB=16HINHl吕^■OV|AY0|I'ombc-'Se»phxx-asj^n-i
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BB.£7Z12J.
EElllu51S2;孟册xmaiT334,34ft373.31<41CUUfl57.2CZ
图4-8成形结束阶段的等效应力分布
图4-9等效应变分布与成形缺陷
4-9所
通过有限元分析还发现,如果坯料上的凸台尺寸过大,会在封头的内壁上产生图
示的凹限,导致封头内表面尺寸超出设计要求。
采用ANSYS软件,对坯料形状和尺寸、模具的尺寸、成形缺陷进行了综合分析得到了优化的坯料设计和制造工艺。
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