广东省深圳市宝安区学年高二上学期期末数学试题Word文档下载推荐.docx
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二、填空题
13.《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数
列,上而4节的容积共3升,下而3节的容积共4升,则第5节的容积为升:
14.设等差数列{《,}满足为=11,《2=-3,{〃”}的前〃项和S“的最大值为财,则
IgM=.
222
15.设K,F)分别是椭圆二+二=1(。
>
/7>
0)的左、右焦点,若在直线工=土上lrc
存在点p,使线段。
片的中垂线过点生,则椭圆的离心率的取值范围是.
16.设函数/'
(x)=K'
利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法,可求得2r+V2
/(-5)+止4)+.・・+/(0)+・一+〃5)+〃6)=.
三、解答题
17.如图所示,在长方体ABC。
-A山CQ中,AB=AO=1,A41=2,时是棱CG的中
点.证明:
平而A8ML平面A山iM.
18.过点P(4,l)作直线1分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,0为坐标原点.
(1)当AROB面积最小时,求直线1的方程;
(2)当|OA|+|OB]取最小值时,求直线[的方程.
19.已知P,。
为圆/+),2=4上的动点,a(2,0),5(1,1)为定点,
(1)求线段AP中点M的轨迹方程;
(2)若NPBQ=9。
,求线段PQ中点N的轨迹方程.
20.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=立,已知点到椭2I2)
圆的最远距离是J7,求椭圆的标准方程.
21.已知四棱锥P—A8CQ的底面为直角梯形,AB//CD,NOA3=90,%_1_底
面A8CZ),且PA=A£
=OC=J,AB=1,Af是夕3的中点.
(1)证明:
而24。
_1面尸皿:
(2)求AC与所夹角的余弦值;
(3)求而AMC与而BMC所成二面角余弦值的大小.
22.已知点歹(1,0),点P为平而上的动点,过点尸作直线/:
x=—1的垂线,垂足为。
,且砺诉=而质.
(I)求动点P的轨迹C的方程:
(0)设点P的轨迹。
与X釉交于点点A,8是轨迹C上异于点M的不同的两点,且满足MA-MB=0,求“WB1的取值范闱.
参考答案
1.c
【解析】
空间四边形A3CQ中,AB=BC=CD=DA,连接对角线AC、BD,取8。
的中点E,连接AE、CE,利用等腰三角形可以说明瓦BD1CE,则B£
_L平而E4C,则8Q_LAC,选C.
2.B
【分析】
由题意,等差数列{〃“}中,4=33,心=153,易求出数列的公差和首项,进而得到数列的
通项公式,根据勺=201,构造关于〃的方程,解方程即可得到答案
【详解】
•••{〃”}为等差数列,
a5=al+4d=33
a45=a1+44d=153'
=21
••1<
d=3
.•.%=21+3(〃-1)=3〃+18,
,令3〃+18=201,则〃=61,
故选:
B
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,根据已知条件求出等差数列的通项公式是解题关键
3.C
分别将方程化简,即可得到相应的图形
对于方程+V—1)=。
,即X=o或/+y2=1,表示一条直线和一个圆;
对于方程/+(Y+V-1了=o,即/=o且Y+丁-1=0,表示是两点(0,1)和(0,-1),故选:
C
本题考查曲线和方程,属于基础题
4.A
利用当对称轴斜率为±
1时,由对称轴方程分别解出X,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程
因为直线x-y+2=0的斜率为1,
x=y-2
故有<'
…将其代入直线2x—y+3=0,y=x+2
即得:
2(y—2)—(x+2)+3=0,
整理即得x—2y+3=。
A
本题考查直线关于直线的对称直线的方程的求法,当对称轴斜率为±
1时,由对称轴方程分别解出x,E代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程
5.A
1c111
根据■―-为等差数列可得2--=--+--,由此求得知的值.
an+1a.+1«
2+1ab+1
2c111cl-4I
由于■;
为等差数列,故2—77=~T7+-7,即2—7=-+»
=t,解得4an+1%+1%+14+1%+1332
本小题考查等差数列的基本性质:
若{4}为等差数列,且〃?
+〃=〃+4,则有
利用这个性质,列方程,可求得知的值.
6.C
当直线过原点时,斜率为1,由点斜式求得直线的方程,当直线不过原点时,设直线的方程
XV
是:
一+—=1,把点M(1,1)代入方程求得a值,即可得直线方程.aa
当直线过原点时,斜率为1,由点斜式求得直线的方程是y-i=x-i,即丫=*:
当直线不过原点时,设直线的方程是:
-+-=1,把点M(1,1)代入方程得a=2,直线aa
的方程是x+y=2.
综上,所求直线的方程为y=x或x+y=2
故选C.
本题考查了直线的点斜式与截距式方程:
明确直线方程的各种形式及各自的特点,是解答本
题的关键:
本题易错点是易忽略直线过原点时的情况.
7.B
由直线方程求出直线斜率的范围,再由斜率等于倾斜角的正切值求解即可
整理直线方程x++1)y+4=0,可得直线斜率k=-”•e[-hO),
设直线的倾斜角为8(046〈乃),
则s〃ew[—i,o),
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题
8.D
将椭圆的方程化成标准形式后再根据离心率可求得〃?
的值.
£
+v2=1
椭圆的方程机V+y2=l化为标准方程为工'
一.
m
•••焦点在y轴上,
:
•a2=1,Z?
2=—>
m
:
.c2=a2-b-=1-—.
3i3
由题意得/=:
=1一上=二,
trm4
解得〃?
=4.
故选D.
本题考查椭圆中基本量的计算,解题时需要把椭圆的方程化为标准形式,再确定出相关的参
数,然后再结合题意求解,属于基础题.
9.D
由题意可知>
1,<
1,把%代入即可求得d的范围
。
10>
1
依题意可知,〈,
//9<
—+9t/>
l
25
一1
—+8J<
1
125
8,3
「・—<
dW—,
7525
D
本题考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题
10.A
由题意可得产
0,4+2=4,解得4=4—2,令44一§
廊二7,利用}乙乙\乙)
衣4・87=0,即可得到P,进而得到抛物线方程
.BA=4--p2
.P
.21
(j8p_p?
_2)=0,
(小〃-/厂—4)~=0,
解得〃=4,经过检验满足条件,当A在x轴下方时不符,舍去・•一该抛物线的方程为)/=8x故选:
【点睛】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的几何性质的应用,考查向量数量积的坐标运算
11.C
【分析】设圆上一点P(cosa+2,s加。
一3),则x+y=s山a+cosc-l,利用正弦型函数求最值,即
可得出结论
设(X-2)2+(y+3)2=1上一点P[cosa+2,sina-3),
则x+y=cosa+2+sina-3=sina+cosa-1=5/2sin
hi)-
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
12.A
(.S665
由{叫是首项为32的等比数列,S”是其前〃项和,且谒=石,利用等比数列前〃项和公式
求出q,进而可得q,=32-(;
)1=27-2/,,则|log24H7—2"
,从而求数列{|1。
82勺|}前10项和
、§
665
•••{qj是首项为32的等比数列,S〃是其前〃项和,且言=K,所以公比不为1,
32(「力
\-q65
"
32(1-力-64,
试题分析:
由题意可知q+〃2+/+。
4=44+6"
=3,%+。
8+。
9=3。
]+21d=4,解得
%=为"
=左,所以%=4+44=部,
22oooo
考点:
等差数列通项公式.
14.2
2|
由%=11,阳=一3求得知"
,则可得到数列{〃“}的通项公式,令4之0,解得,区亍,则
当〃=10时,{q}的前八项和s”取得最大值M,进而利用前〃项和公式求解即可
设等差数列{4}的公差为4
•.«
=11,颉=一3,
6/j4-4J=11Jj=-2
«
+llJ=-3,"
=191
/.^=19-2(/z-l)=21-2n,
令对S
21
解得〃《,
所以当〃=10时,{q}的前〃项和s“取得最大值
10x9
M=10x19+-^—x(-2)=190-90=100,
.YgM=/gl00=2,
故答案为:
本题考查等差数列的通项公式及其前〃项和公式的应用,考查对数的运算性质,考查运算能力
3
分析:
设直线x=已与x轴的交点为。
,连接PF-由线段尸片的中垂线过点外,可得
IF}F21=1PF21,所以I0乙1=2c,因刈P5闫。
耳,由因为[0玛=1L—C,所以
9。
根据椭圆的离心3
c?
2c>
——Co变形可得3c进而可得,所以czccr3
率ew(O,l),可得正3
V尸1的中垂线过点&
AIF}F21=1PF21,可得IPF21=2c,
又・・1QF2|=±
—C,且|PE目。
入,
*e•2c>
—-c,即3c2>
a2,c
=-^>
-.—.结合椭圆的离心率ee(OJ),得立
333
故离心率的取值范围是4」.
点睛:
求圆锥曲线的离心率,应从条件得到关于外。
的关系式。
解题过程注意
的关系°
(1)直接根据题意建立〃,c的等式求解:
(2)借助平而几何关系建立。
的等式求解:
(3)利用圆锥曲线的相关细则建立“。
(4)运用数形结合建立的等式求解.
16.3拉
【分析】利用倒序相加法可得结果.
【详解】111
•••由倒序相加求和法可知人-5)+y(—4)+…+.A0)+…+.*5)+«
6)=3后
17.证明见解析
通过长方体的几何性质证得BM_LA4,通过计算证明证得8W1B.M,由此证得3M±
平面从而证得平而4?
A7_L平而481M.
由长方体的性质可知AiBi_L平而3CG5,
又BMu平面BCGBi,・・.A山」8%
又CG=2,M为CG的中点,
・・.CiM=CM=l.在中,JcM+CM?
=应,
同理18。
2+。
加2=&
,又BiB=2,
.BiM2+BM2=BiB2,从而5M_L8iM.
又A山inBiM=8i,・・.8M_L平而AiBhW,
•「BMu平面ABM,工平面A5ML平面A\B\M.
t点睛】
本小题主要考查而而垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
18.
(1)x+4y-8=0:
(2)x+2),-6=。
由题意设A3,0),8(0/),其中。
,。
为正数,可设直线的截距式为二十;
=1,代点可得ab
41t
—I--=1>
ab
(1)由基本不等式可得。
力216,由等号成立的条件可得。
和/?
的值,由此得到直线方程,
(2)=a+。
=(a+OX:
+》,由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程.
由题意设A(4,0),B(0,〃),其中。
,〃为正数,可设直线的截距式为2+2=1,•.•直线过ab
41
点P(4,l),――+;
=1,ab
(1)由基本不等式可得1=+,解得:
ab>
\6,当且仅当
8=2时,上式取等号,
・・・AAO3面积则当。
=8,/?
=2时,AAQB面积最小,此时直线/的方程2
=9,当且仅当
为二十2=1,即x+4v-8=0,82
(2)由于|。
川+|08|=4+6=伍+1)(」+3=5+竺+325+2abab
欠=:
,即。
=6且6=3时取等号,ah
所以当4=6,。
=3时,|OA|+|O8|的值最小,此时直线/的方程为:
+g=l,即
63
本题考查直线的截距式方程,涉及不等式求最值,属于中档题.
19.
(1)(x-l)2+y2=l;
(2)x2+y2-x-y-i=O
(1)设AP中点为例(尤丁),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x—2,2),).
•••P点在圆+)3=4上,
•••(2x-2『+(2y)2=4.
故线段4尸中点的轨迹方程为"
一+/=1
(2)设尸。
的中点为
在用AP8Q中,|PN|=|初V|,
设。
为坐标原点,连结OV,则ON_LPQ,
所以=|QN『+|PN『=|ON『+忸N『,
所以x2+y2+(x_]『+(y_])2=4.
故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-\=O
20.—+y2=l
4-
利用离心率可求得。
=m,设0(〃cosa加力以)为椭圆上的点,由
\PQ[=^rcos2<
z+^/?
sincr--1^=-3〃[sina+十+4〃+3求出最大值时的〃,也即
可求得椭圆的标准方程
由题,椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=£
=正,
a2
=〃,则c=®
,所以〃=攵(攵>
0),故。
=劝,
设Q(acosaybsina)为椭圆上的点,
则|尸叶
=a2cos2a+[bsina--=
I2)
a2(1-sin2a^+h1sin2a-3/?
sina+:
=a2-(a2-Z?
2)sin2a-3bsina+—=4b2-3b2sin2tz-3Z?
sin<
z+—=-3Z?
2sina+—+4Z?
2+3'
,442b)
当5>
1,即匕<
J,当所以=—1时有最大值,由(J7y=〃+2b+\=S+62,
31
得〃=6-三>
—,不成立;
22
当匕2],当时有最大值,由
2b2-2b
("
)2=劭2_3^x(9)一3/^(9)+'
=4/+3,解得沙=1,所以4=2,
故椭圆的标准方程为:
二+V=1
4'
本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的参数方程的应用,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力
21.
(1)证明见解析;
(2)业1:
(3)
53
(1)证明面R4O_L面尸CQ,只需证明平面PCQ内的直线CO垂直于平面PAQ内的相交直线A2PO即可;
(2)建立空间直角坐标系,求得公=(1,1,0),而=(0,2,-1),利用向量所成的角,即可求解异而直线AC与总夹角的余弦值:
(3)作在MC上取一点N(x,y,z),则存在/leA,使祝=%碇,得4V_LMC,BN上MC.所以/ANB为所求二面角的平而角,即可利用向量所成角的公式,求解而AMC与而8MC所成二面角余弦值的大小.
证明:
以A为坐标原点AO长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为4。
・。
),
3(020),C(l,l,0),£
)(1,0,0),WO,1),M(0J,-)
因而=(0,0]),DC=(0,1,0),故=所以AP_LQC.
由题设知AO_LOC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得0c_1面PAD,又。
在而PC。
上,故而而PCZ).
(2)解:
因而=(1,1,0),而=(0,2,-1),
故=&
,阿卜逐,衣.丽=2,所以cos〈AC,P8〉=肉附=可.
(3)解:
在MC上取一点N(x,y,z),则存在XwR,使亚=/碇,
11
NC=(l-x/一y,-z),x=l-A,)'
=1,Z=—4
22
要使AN_LMC,只需丽.碇=0,即入一
14
-2=0,解得几=一.
412
可知当丸=一时,N点坐标为(一」,一),能使AN・MC=O.
1212
此时,4N=(m」,,),8N=(不一1彳),有8MMd=O.
由前碇=0,丽碇=0,得A7VJ»
MC,BN上MC.
所以ZANB为所求二面角的平面角.
・.[京卜等,研="
,ANBN=-i,
…须.所箭=一1
而AA/C与而BMC所成二而角余弦值的大小为§
【点睛】本题考查直线与平而垂直的判定与证明以及空间角的求解,注意根据题设的特征建立合适的空间直角坐标系来证明与求解,本题属于中档题.
22.(I)y=4x;
(II)忸氏+oo)
(I)设尸(x,y),则0(—1,丁),根据/./=而.而代入整理即可得P点的轨迹方程;
(II)表示出MA方程并与轨迹C联立,可得A的坐标,设出直线AB的方程并与C联立,利用
根于系数关系得到B的坐标,进而得到\MBI2,并用换元思想及二次函数最值可求出回范
(I)因为尸(1,0),设尸(x,y),则所以。
户=(x+l,0),。
户=(2,—)),M=(x—l,y),&
=(-2,y),
因为历砺=万质,所以2(x+l)=_2(x_l)+y2,
整理得)3=4x,
所以点P的轨迹C的方程为y2=4x
(H)根据题意知M(0,0),设MA:
y=kx9
联立
y=kx
f,解得
k(
4
A-F;
设,X),3(々,%),则凹+为=一4攵,
v?
44
消去X得2_+),一?
一;
=o,4k-kk3
44
因为M=一,所以y2=-4%——,kk
则x)=21=4(k+L)2,4k
所以IMBF=x;
+£
=16(k+;
)4+16(A+:
)2,
设f=(攵+》224,则IM8F=16d+,)=]61+f2_;
令y=16«
+1)2-1,对称轴为1=-1,所以>在[4,+00)上单调递增,所以当/=4时,y取最小值,即IMBI2取最小值,所以IMBF最小值为16x(4?
+4)=16x20=320,则|M卸最小值为8有,
所以附卸取值范围是[86,2)
本题考查动点轨迹方程,考查抛物线与直线的位置关系的应用,考查利用二次函数求最值,考
查运算能力与数形结合思想
T-q・1365
64
・・q="
7,
4・・・%=32・(!
产=27-2〃,
•e-log2^H7-*12*44
二数列{pog24|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58,
本题考查等比数列的通项公式与前〃项和公式的应用,考查对数的运算,考查运算能力
67
13.—
66
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