高中数学343基本不等式第三课时复习试题.docx
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高中数学343基本不等式第三课时复习试题
课时作业(三十)
1.若a>1,则a+的最小值是( )
A.2 B.a
C.D.3
答案 D
解析 ∵a>1,∴a-1>0,∴a+=a-1++1≥3,当且仅当a-1=,即a=2时取等号.
2.已知m,n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是( )
A.100B.50
C.20D.10
答案 B
解析 mn≤==50,当且仅当m=n=或m=n=-时等号成立.
3.函数f(x)=的最大值为( )
A.B.
C.D.1
答案 B
4.设x>0,y>0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是( )
A.40B.10
C.4D.2
答案 D
5.若0 A.B. C.D. 答案 A 解析 ∵0 ∴y=x(3-3x)=3x(1-x)≤3×[]2=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号. 6.若对x>0,y>0,不等式(x+2y)(+)≥m恒成立,则m的取值范围是( ) A.(-∞,8]B.(8,+∞) C.(-∞,0)D.(-∞,4] 答案 A 解析 (x+2y)(+)=4+(+). ∵x>0,y>0,∴>0,>0,∴+≥2=4, 当且仅当=,即x=2y时等号成立, ∴(x+2y)(+)的最小值为8,故m≤8. 7.若a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为( ) A.2B.4 C.6D.8 答案 B 8.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( ) A.2B.2 C.4D.2 答案 C 解析 ∵lg2x+lg8y=lg2,∴lg(2x·8y)=lg2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1. ∵x>0,y>0,∴+=(x+3y)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当x=3y=时取等号,故选C. 9.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( ) A.3B.1+ C.1+D.4 答案 A 解析 f(x)=x+=x-2++2. ∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2++2≥2+2=4, 当且仅当x-2=,即x=3时“=”成立. 又f(x)在x=a处取最小值.∴a=3. 10.设x>y>z,n∈N,且+≥恒成立,则n的最大值为( ) A.2B.3 C.4D.5 答案 C 解析 ∵+=≥=,∴n的最大值为4. 11.已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值为________. 答案 18 解析 ∵+=1, ∴x+2y=(x+2y)×(+)=8+++2=10+(+). ∵x>0,y>0,∴>0,>0. ∴+≥2=8, 当且仅当即时等号成立. ∴x+2y的最小值为18. 12.建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每1m2的造价分别为200元和150元,那么水池的最低造价为________元. 答案 5400 解析 设水池的造价为y元,池底的长为am,则由题意知,池底的宽为m, 故y=(2a×150)×2+(2××150)×2+9×200 =600(a+)+1800≥600×2+1800 =5400, 当且仅当a=,即a=3(m)时取等号. 故水池的最低造价为5400(元). 13.已知正实数a,b满足2ab=a+b+12,则ab的最小值是________. 答案 9 解析 由2ab=a+b+12,得2ab≥2+12,化简得(-3)(+2)≥0,解得ab≥9,所以ab的最小值是9. 14.设x>-1,求y=的最小值. 解析 ∵x>-1,∴x+1>0. 设x+1=t>0,则x=t-1. 于是有y== =t++5≥2+5=9, 当且仅当t=,即t=2时取等号,此时x=1. ∴当x=1时,函数y=取得最小值为9. 15.求函数y=的值域. 解析 函数的定义域为R,y==1+. (1)当x=0时,y=1; (2)当x>0时,y=1+≤1+=4.当且仅当x=时,即x=1时,ymax=4; (3)当x<0时,y=1+=1-≥1-=-2. 当且仅当-x=-时,即x=-1时,ymin=-2. 综上所述: -2≤y≤4,即函数的值域是[-2,4]. 16.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位: 元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注: 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 解析 设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为=. ∴每平方米的平均综合费用 y=560+48x+=560+48(x+). 当x+取最小值时,y有最小值. ∵x>0,∴x+≥2=30. 当且仅当x=,即x=15时,上式等号成立. 所以当x=15时,y有最小值2000元. 因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. 17.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,每次购买面粉需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? 解析 设该厂应每隔x天购买一次面粉,则其购买量为6x吨.由题意知,面粉的保管等其他费用为3[6x+6(x-1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1). 设每天所支付的总费用为y1元,则 y1=[9x(x+1)+900]+6×1800 =+9x+10809≥2+10809=10989, 当且仅当9x=,即x=10时取等号. 所以该厂每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. 1.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为( ) A.B. C.D.1 答案 D 解析 由条件可知x=loga3,y=logb3,所以+=log3a+log3b=log3(ab).又a+b=2≥2,所以ab≤3,log3(ab)≤1.故选D. 2.当x<时,求函数y=x+的最大值. 解析 y=(2x-3)++=-(+)+, ∵当x<时,3-2x>0, ∴+≥2=4, 当且仅当=,即x=-时取等号. 于是y≤-4+=-,故函数有最大值-. 3.已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)++≥8; (2)(1+)(1+)≥9. 证明 (1)++=++=2(+), ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴+=+=2++≥2+2=4, ∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立). (2)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1+=1+=2+, 同理,1+=2+, ∴(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9. ∴(1+)(1+)≥9(当且仅当a=b=时等号成立). 4.围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位: 元). (1)将y表示为x的函数; (2)试确定x,使修建此矩形场地的围墙的总费用最少,并求出最少总费用. 解析 (1)设矩形的另一边长为am, 则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360. 由已知ax=360,得a=.∴y=225x+-360(x>0). (2)∵x>0,∴225x+≥2=10800. ∴y=225x+-360≥10440,当且令当225x=时,等号成立. 即当x=24m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是10440元. 1.(2016·课标全国Ⅰ,理)若a>b>1,0 A.ac C.alogbc 答案 C 解析 对于选项A,考虑幂函数y=xc,因为c>0,所以y=xc为增函数,又a>b>1,所以ac>bc,A项错.对于选项B,abc 2.(2016·浙江)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( ) A.2B.4 C.3D.6 答案 C 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为矩形,又C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|==3.故选C. 3.(2016·山东)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( ) A.4B.9 C.10D.12 答案 C 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,设P(x,y)为平面区域内任意一点,则x2+y2表示|OP|2.显然,当点P与点A重合时,|OP|2即x2+y2取得最大值.由解得故A(3,-1).所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.
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- 高中数学 343 基本 不等式 第三 课时 复习 试题
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