第十讲弦图与双垂直模型Word格式文档下载.docx
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8.如图所示,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AB=BC,E为BC的中点,且AE⊥BD于F,若CD=4cm,则AB的长度为( )
4cm
8cm
9cm
10cm
9.(2012•乐山)如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CEDF不可能为正方形;
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确结论的个数是( )
10.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为 _________ .
11.如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°
,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下四个结论:
①BE=AF,②S△EPF的最小值为
,③tan∠PEF=
,④S四边形AEPF=1,⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论始终正确是 _________ .
12.在平面直角坐标系中,抛物线
与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)直接填写:
a=,b=,顶点C的坐标为;
(2)在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?
若存在,求出点D的坐标;
若不存在,说明理由;
13.如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF,BE=2.
(1)求EC:
CF的值;
(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;
(3)若将“边长为5的正方形”改为“BC长为m(m>
2),AB长为n(n>
2),的矩形”,其他条件不变,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由.
14.(2012•南长区一模)如图,矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则矩形ABCD的面积为
15.(2013•株洲)已知在△ABC中,∠ABC=90°
,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:
△APQ∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
16.(2013•衡阳)如图,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4.
(1)试说明AE2+CF2的值是一个常数;
(2)过点P作PM∥FC交CD于点M,点P在何位置时线段DM最长,并求出此时DM的值.
17.(2012•宁夏)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.
(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;
(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式.当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
(2)若PE∥BD,试求出此时BP的长.
18.(2012•南宁)已知点A(3,4),点B为直线x=-1上的动点,设B(-1,y).
(1)如图1,若点C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求y与x之间的函数关系式;
(2)在
(1)的条件下,y是否有最大值?
若有,请求出最大值;
若没有,请说明理由;
(3)如图2,当点B的坐标为(-1,1)时,在x轴上另取两点E,F,且EF=1.线段EF在x轴上平移,线段EF平移至何处时,四边形ABEF的周长最小?
求出此时点E的坐标.
19.(2011•临沂)如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角扳的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证:
EF=EG;
(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明:
若不成立.请说明理由:
(3)如图3,将
(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a、BC=b,求EF:
EG的值.
20.(2011•乐山)如图
(1),在直角△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.
(1)如图
(2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是.证明:
(2)如图(3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是_______.请给出证明:
(3)如图
(1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是_______.
21.四边形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°
,BE=EF,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG,EC.
(1)如图1,若点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及EC:
GC的值;
(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置,请问
(1)中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;
若不成立,请说明理由;
(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°
<
α<
90°
),若BE=1,AB=
,当E,F,D三点共线时,求DF的长及tan∠ABF的值。
22.如图1,已知点D在AC上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC的中点。
△BMD为等腰直角三角形。
(2)将△ADE绕点A逆时针旋转45°
,如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立?
请说明理由。
(3)将△ADE绕点A逆时针旋转135°
如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗?
(不用说明理由).
(4)我们是否可以猜想,将△ADE绕点A任意旋转一定的角度,如图4中的“△BMD为等腰直角三角形”均成立?
23.如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°
F是AC边上的一个动点(点F与A.
C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;
②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形。
图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断。
(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90∘,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=
CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD
+AF
的值。
24.如图
(1),四边形ABCD是正方形,F是边BC上一点,且△BEF是等腰直角三角形,
∠BEF=90°
,G为DF的中点。
EG=CG,EG⊥CG;
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转至如图
(2)的位置,G为DF中点,那么
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;
如果不成立,请说明理由。
25.如图
(1),四边形ABCD是正方形,F是边BC上一点,且△BEF是等腰直角三角形,
26.问题:
如图1,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点B.C.
E在同一条直线上,M是线段AF的中点,连接DM,MG.探究线段DM与MG数量与位置有何关系。
小聪同学的思路是:
延长DM交GF于H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决。
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系______;
(2)将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转,使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明。
(3)如图3,将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,写出你的猜想。
27.
(1)如图
(1),△ABC是等边三角形,D.
E分别是AB、BC上的点,且BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形,并直接写出∠APD的度数;
___
(2)如图
(2),Rt△ABC中,∠B=90°
M、N分别是AB、BC上的点,且AM=BC,BM=CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM=___∘,并写出你的推理过程。
28.已知:
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°
,点M是CE的中点,连接BM.
(1)如图①,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系为___;
(2)如图②,点D不在AB上,
(1)中的结论还成立吗?
如果不成立,说明理由。
29.在Rt△ABC中,∠A=90°
,D.
E分别为AB、AC上的点。
(1)如图1,CE=AB,BD=AE,过点C作CF∥EB,且CF=EB,连接DF交EB于点G,连接BF,请你直接写出EBDC的值;
(2)如图2,CE=kAB,BD=kAE,EB:
DC=1:
2,求k的值。
30.如图3-12所示,已知AD∥BC,△ABE和△CDF是等腰直角三角形,∠EAB=∠FDC=90°
,AD=2,BC=5,求四边形AEDF的面积
31.如图3-13所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=a.AC=b,以其各边为边向外作正方形,得到一个凸六边形DEFGHI.
(1)求这个六边形的面积.
(2)试判断线段EF、GH、DI能否构成三角形.若能,探求该三角形的面积与△ABC面积的关系;
若不能,请说明理由.
32.如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°
,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由。
33.请阅读下列材料:
(1)问题:
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°
探究PG与PC的位置关系及PGPC的值。
(2)实验与探究:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决。
写出上面问题中线段PG与PC的位置关系___;
及PG:
PC=___.
(3)归纳与发现:
将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
运用与拓广:
若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°
),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PG:
PC的值(用含α的式子表示).
34.现场学习:
我们知道,若锐角α的三角函数值为sinα=m,则可通过计算器得到角α的大小,这时我们用arcsinm来表示α,
记作:
α=arcsinm;
若cosα=m,则记α=arccosm;
若tanα=m,则记α=arctanm.
解决问题:
如图,已知正方形ABCD,点E是边AB上一动点,点F在AB边或其延长线上,点G在边AD上。
连接ED,FG,交点为H.
(1)如图1,若AE=BF=GD,请直接写出∠EHF=___∘;
(2)如图2,若EF=
CD,GD=
AE,设∠EHF=α.请判断当点E在AB上运动时,∠EHF的大小是否发生变化?
若发生变化,请说明理由;
若不发生变化,请求出α.
35.在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上(点E.
C不重合).
(1)如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点,试探究BN与NE的位置关系及CE:
BM的值,并证明你的结论;
(2)如图2,且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,你在
(1)中得到的两个结论是否成立?
若成立,加以证明;
(3)如图3,若点M、A不重合,BN=NE,你在
(1)中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论。
36.已知,两个正方形按图3-11(a)~(c)并列排列,要求剪两刀(剪的为直线哦).使之拼成一个新的正方形.
(1)如图3-ll(a)所示,若正方形边长分别为1、2,请在图中画出剪切线.
(2)如图3-ll(b)所示,若正方形边长分别为以a,b(a>
b),请画出剪切线并标出各边的长度.
(3)若要求剪三刀拼成一个正方形,请在图3-ll(c)中画出剪切线.
37.如图,△ABC中,∠C=90°
,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P,求∠BPM的度数。
38.
1)图3-10(a)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图3-10(b)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是______
2)如图3-10(c)所示,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积是5和11,则b的面积为_________
39.情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示。
将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D.
A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示。
观察图2可知:
与BC相等的线段是___,∠CAC′=___∘.
问题探究
如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E.
F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论。
40.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF.设线段AD的垂直平分线
交线段EF于点M,EP⊥
于P,FQ⊥
于Q,求证:
EP=FQ.
41.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°
l是AD的垂直平分线,交AD于点M,以腰AB为边作正方形ABEF,EP⊥
于P.
求证:
2EP+AD=2CD.
42.已知:
在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BCD=a,以D为旋转中心,将腰DC逆时针旋转90°
至DE,连接AE、CE.
(1)当a=45°
时,求△EAD的面积;
(2)当a=30°
(3)当0°
a<
时,猜想△EAD的面积与α大小有何关系?
若有关,写出△EAD的面积S与a的关系式;
若无关,请证明结论。
43.如图,C为线段AB上一点,正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm
和5cm
则△EDG的面积为______cm
.
44.如图,四边形ABCD是正方形,直线
分别通过A,B,C三点,且
∥
若
与
的距离为5,
的距离为7,则正方形ABCD的面积等于()
A.
70B.
74C.
144D.
148
45.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1),图2由弦图变化得到,它是由作个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是( )
5B.
103C.
254D.
46.如图3-21所示,在正方形ABCD中,点G为BC上任意一点,连接AG,过B、D两点分别作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分别为E、F两点
探究线段EF、DF、BE三者之间得到关系,并证明你的结论
47.已知:
如图,平面直角坐标系xOy中,点A.
B的坐标分别为A(4,0),B(0,−4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>
0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限。
(1)求直线AB的解析式;
(2)用m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的结论并说明理由。
48.直角三角形PQR的直角边为5厘米,9厘米。
问:
图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?
49.如图3-27所示,向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG.过点A作AH⊥BC于点H,AH的反向延长线与EG交于点P,求证:
(1)EP=GP;
(2)BC=2AP.
50.如图
(1)至图(3),C为定线段AB外一动点,以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG,分别作DD1⊥AB、EE1⊥AB,垂足分别为D1、E1.当C的位置在直线AB的同侧变化过程中,
(1)如图
(1),当∠ACB=90°
,AC=4,BC=3时,求DD
+EE
的值;
(2)求证:
不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,DD
的值为定值;
(3)求证:
不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点.
51、(2010•海淀区一模)阅读:
如图1,在△ABC和△DEF中,∠ABC=∠DEF=90°
,AB=DE=a,BC=EF=b(a<b),B、C、D、E四点都在直线m上,点B与点D重合.连接AE、FC,我们可以借助于S△ACE和S△FCE的大小关系证明不等式:
a²
+b²
>2ab(b>a>0).
证明过程如下:
∵BC=b,BE=a,EC=b-a.
∴S△ACE=
EC×
AB=
(b-a)a,S△FCE=
FE=
(b-a)b.
∵b>a>0
∴S△FCE>S△ACE
即
(b-a)b>
(b-a)a
∴b²
-ab>ab-a²
∴a²
>2ab
解决下列问题:
(1)现将△DEF沿直线m向右平移,设BD=k(b-a),且0≤k≤1.如图2,当BD=EC时,k=______.利用此图,仿照上述方法,证明不等式:
(2)用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接,也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图,并简要说明理由.
52、正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.
(1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是___;
(2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时,
(1)中的结论是否成立?
若成立给出证明;
若不成立,说明理由;
(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值。
53、已知:
如图,D为线段AB上一点(不与点A.
B重合),CD⊥AB,且CD=AB,AE⊥AB,BF⊥AB,且AE=BD,BF=AD.
(1)如图1,当点D恰是AB的中点时,请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系;
(2)如图2,当点D不是AB的中点时,你在
(1)中所得的结论是否发生变化,写出你的猜想并证明;
(3)若∠ACB=α,直接写出∠ECF的度数(用含α的式子表示).
54、在△ABC中,CA=CB,CD为AB边的中线,点P是线段AC上任意一点(不与点C重合),过点P作PE交CD于点E,使∠CPE=
∠CAB,过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F,交AB于点G.
(1)如果∠ACB=90°
,
①如图1,当点P与点A重合时,依题意补全图形,并指出与△CDG全等的一个三角形;
②如图2,当点P不与点A重合时,求CF:
PE的值;
(2)如果∠CAB=a,如图3,请直接写出CF:
PE的值.(用含a的式子表示)
55、已知:
如图,BP是正方形ABCD的一条外角平分线,点E在AB边上,EP⊥ED,EP交BC边于点F.
(1)若AE:
EB=1:
2,求cos∠BEP的值;
(2)请你在图上作直线CM⊥DE,CM与直线AD交于点M,猜想:
四边形MEPC的形状有什么特点?
证明你的结论。
56、如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.
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- 第十讲 弦图与双垂直模型 第十 垂直 模型