一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.docx
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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
中考数学第一轮复习
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
♦【课前热身】
1.方程(2x—1)(3x+1)
=x2+2化为一般形式为
,其中a=,b=,c=
2.关于X的一元二次方程
mX+nx+m+3m=0有一个根为零,贝Um的值等于
3.关于X的一元二次方程
2
X+mx+n=0的两个根为X1=1,
2
X2=—2,则x+mx+n分解因式的结果
2,则a的值是()
22
4.关于X的一元二次方程2x—3x—a+1=0的一个根为
A.1B.43C
73
5.若关于X的一元二次方程(m-
22
1)X+5x+m—3m+2=0的常数项为0,则m的值等于()
A.1B.2C
【参考答案】
1.5x2—X—3=05—1—3
2.—3
3.(X—1)(x+2)
5.D
6.B
♦【考点聚焦】
知识点:
元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
大纲要求:
1.
.对含有字母系数
掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况
的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的
取值范围;
2.掌握韦达定理及其简单的应用;
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式;
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题
♦【备考兵法】
1考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,
有关试题出现在选择题或填空题中,女口:
关
2
于X的方程ax—2x+1=.0中,如果a<0,那么根的情况是()
(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如:
设xi,X2是方程2x2—6x+3=0的两根,则xi2+X22的值是()
(A)15(B)12(C)6(D)3
3.在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力.在一元二次方程的应用中,列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相
凡不满足实际问题的
同,但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义,解(虽然是原方程的解)一定要舍去.
易错知识辨析:
(1)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不
为零这个限制条件.
(2)应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意:
①根的判别式b2-4ac二0;
②二次项系数a
工0,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的
♦【考点链接】
1.一元二次方程根的判别式
X1,2=
实数根.
b2-4ac<0u—元二次方程ax2+bx+c=0(ah01
2.一元二次方程根与系数的关系
2
若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a^O)有两根分别为x1,他,那么
Xj+X2=
♦【典例精析】
例1(四川绵阳)已知关于X的一元二次方程X2+2(k—1)X+k2-1=0有两个不相等
的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
m的一元二次方程,?
又讨论方程解的情况的优秀考题,需
(2)0可能是方程的一个根吗?
若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.
【分析】这是一道确定待定系数
要考生具备分类讨论的思维能力.
22
=4k—8k+4—4k+4=
•••原方程有两个不相等的实数根,
—8k+8>0,解得k<1,即实数k的取值范围是kv1.
(2)假设0是方程的一个根,则代入得02+2(k—1)•0+k2—1=0,
解得k=—1或k=1(舍去).
即当k=—1时,0就为原方程的一个根.
此时,原方程变为X2—4X=0,解得X1=0,X2=4,所以它的另一个根是4.
例2(北京)已知下列n(n为正整数)个关于X的一元二次方程:
2+2x—3=0
2
+(n—1)X—n=0(n)
(1)请解上述一元二次方程
(1),
(2),(3)(n);
(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出.一条即可.
【分析】由具体到一般进行探究.
2—1=0
(2)比如:
共同特点是:
都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根
等.
【点评】本例从教材要求的基本知识出发,探索具有某种特点的方程的解题规律及方程
根与系数之间的关系,注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查.
内沿前侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各
为多少时,蔬菜种植区域的面积是288m?
【答案】解法一:
设矩形温室的宽为xm贝y长为2xm,根据题意,得
(X—2)•(2x—4)=288.
解这个方程,得X1=—10(不合题意,舍去),X2=14.
所以x=14,2x=2X14=28.
答:
当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288ni.
列方程解应用题的方法步骤相同,
但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题
有意义,凡不满足实际问题的解(虽然是原方程的解)一定要舍去.
♦【迎考精练】
一、选择题
1.(台湾)若a、b为方程式x2/(x+1)=1的两根,且a>b,则-=
b
D.3
A.—5
两个相等的实数根,则下列结论正确的是
3.(四川成都)若关于X的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取
值范围是
2
则(X1-X2)的值是(
为()
A.a=0
a=2
.a=1D.a=0或a=2
6.(山东烟台)
设a,
b是方程
22
X+x-2009=0的两个实数根,则a+2a+b的值为(
(湖北宜昌)
.2007
A.2006
设方程x2—4x—1=0的两个根为X1与X2,则X1X2的值是()
A.—4
(湖北十堰)
下列方程中,
有两个不相等实数根的是(
A.X2-2x-1=0
2
.X-2x+3=0
C.X2=2^/3x-3
2
.X-4x+4=0
(四川眉山)
若方程X2
-3x-1=0的两根为X1、X2,则丄+丄的值为
X1X2
A.3
10.(山东东营)
若n(nH0)是关于x的方程X2+mx+2n=0的根,贝Um+n的值为(
A.1
B.2
C.-1
D.-2
二、填空题
1.(上海市)如果关于x的方程X2-x+k=0(k为常数)有两个相等的实数根,那么
2.(山东泰安)关于X的一元二次方程-X2+(2k+1)x+2-k2=0有实数根,贝Uk的取
值范围是
3.(广西崇左)
_2
元二次方程X+mx+3=0的一个根为—1,则另一个根为
4.(广西贺州)
已知关于X的一元二次方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根,则实数
m的取值范围是
三、解答题
1.(山东淄博)
已知Xi,X2是方程X2-2x+a=0的两个实数根,且Xi+2x2=3-42.
(1)求xi,X2及a的值;
(2)求X|3-3xi2+2xi+x2的值.
2.(广东中山)已知:
关于X的方程2x2+kx-1=0
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是-1,求另一个根及k值.
3.(重庆江津区)已知a、b、c分别是△ABC的三边,其中a=1,c=4,且关于x的方
程X2-4x+b=0有两个相等的实数根,试判断^ABC的形状.
22
4.(湖南怀化)如图,已知二次函数y=(x+m)+k-m的图象与X轴相交于两个不同的
点A(Xi,O)、B(X2,O),与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
(1)求0卩与y轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果AB恰好为OP的直径,且△ABC的面积等于J5,求m和k的值.
【参考答案】选择题
1.
2.
3.
4.
2222
又•••X1+X2=(X1+X2)—2X1X2=7•••m—2(2m—1)=7得口=—1,m2=5,而
当m=5时,原方程的判别式△=25-4x9=—11v0,此时方程无解,/•m=5不合.题
IX1+X21(X1_X2$=(片+X2)—4X1X2=(-1)—4^(—3)=13,故选C
"x=-3
IXi+X=im
本题易出错,学生易在求得叶=-1或m2=5的两个值后,代入]2—,求出
.X2=2m—1
22
(X1—X2)=(X1中X2)—4X1X2=13或—11,易漏掉检验方程是否存在实根
5.
D【解析】本题考查方程的有关知识,关于X的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解,
有两个相等等的实数根,(a+22—4aL2=0,解得a=2,故选D.
6.
7.
8.
9.
10.
填空题
1.
4.
解答题
収1+X2=2,
1.解:
(1)由题意,得{
[x1+2x2=3—V2.
解得Xt=1,X2=1-血.
(2)法一:
由题意,得X:
—2捲一1=0.
所以x1^-3x1^2x1+x,=x13-2x12-x1-x1^3x1+x2
=—x|2+2x1+1+xi+X2—1=2—1=1.
法二:
由题意,得为2=2为+1,
32
所以x1-3x1+2x1+x2=^(2xi+1)—3(2为+1)+2x1+x2
2
=2xi+捲一6为一3+2捲+x2=2(2xi+1)—3为一3+x2
=4X|+2—3xi—3+x?
=Xi+x?
—1=2—1=1.
2.解:
(1)2x2+kx-1=0,
氐=k2-4x2x(-1)=k2+8,
22
无论k取何值,k>0,所以k+8〉0,即也>0,
2
/.方程2x+kx-1=0有两个不相等的实数根.
k1
(2)设2x2+kx—1=0的另一个根为x,贝yx-1=--,(―1Lx=—-
22
1
解得:
x=—,k=1,
2
1
/.2x2+kx—1=0的另一个根为一,k的值为1.
2
3.解:
•••方程X2-4x+b=0有两个相等的实数根
•••△=(Y)2-4b=0
/•b=4.
•/c=4.
•••b=c=4.
•••△ABC为等腰三角形.
4.解
(1)易求得点C的坐标为(0,k)由题设可知x1,x2是方程(x+m)2+k-m2=0即
X2+2mx+k=0的两根,故x1,2=—2m±J(]2必竺,所以X1+x^-2m,x^x^k
如图3,voP与y轴的另一个交点为D,由于ABCD是OP的
两条相交弦,设它们的交点为点0连结DB
•••△AO3ADOS"Od/A^BOC
X1X2
k
|k
=—
k
=1
y
A
C
由题意知点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,
图3
所以点D的坐标为(0,1)
(2)因为AB丄CDAB又恰好为OP的直径,则C、D关于点0对称,
所以点C的坐标为(0,-1),即k=-1)
又AB=X2-%
=J(X2+x』2-4x^2=J(-2m)2-4k=2jm2-k=2jm2+1,
AA厂一
所以ABC=1AB^OC=X2jm2+1X1=75解得m=±2.
22
5.解:
(1)当a=0时,函数为y=x+1,它的图象显然与x轴
只.有一个交点(—1,0).
当aH0时,依题意得方程ax2+x+1=0有两等实数根.
1
:
b=1-4a=0,”•.a=-
4
c1
”•.当a=0或a=时函数图象与x轴恰有一个交点.
4
4a-11
(2)依题意有>0分类讨论解得a>-或aV0.
4
4a
1
当a》—或a<0时,抛物线顶点始终在x轴上方.
4
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- 一元 二次方程 判别式 系数 关系