导数的概念经典例题Word格式.docx
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t13.130.1(s),
1212
Ss(3.1)s(3)-g3.12-g320.305g(m)。
所以v1—s10.305g3.05g(m/s)。
t10.1t2
V3
昂0.0030005g3.0005g(m/硏。
t3
0.001
【变式4】过曲线y
3
f(x)x上两点P(1,1)和Q(1x,1
y)作曲线的割线,求出当
x0.1时割
线的斜率•
当x0.1时
k(1y)1
PQ(1x)1
f(1x)f
(1)
(1x)31
□3.31
0.1
类型二:
利用定义求导数
例2、用导数的定义,求函数
f(x)
在x=1处的导数。
•
yf(1x)
f(i)
11x
.1x
11X
(11x)、1
(1.1)一—x
举一反三:
【变式1】已知函数y1G
x=4处的导数.
-x上一点P(4,7)处的切线方程。
4
limf(4x)f(4)
x0x
J厂e12)
x0
4x4lim
(.4x2)
xx
lim4厂x)「4=x—2
5
16
(2)由导数的几何意义知,曲线在点
P(4,7)
处的切线斜率为f'
(4),
•••所求切线的斜率为
•••所求切线方程为y
。
75(
(x
416
4),整理得5x+16y+8=0。
(1)
c;
(2)
x;
(3)
;
(4)
c
)
y
f(x
x)
f(x)
x)f(x)c
y'
lim
lim0
0。
1,
_y_
lim1
1。
2x
(x)2
c0,
【变式2】禾U用导数的定义求下列函数的导数:
x)2
x2
2xx(x)2,
•••y'
lim」lim(2x
x0xx0
yf(xx)f(x)厂
XXX(xx)x(x
x)x
y1
x(XX)X
y11
二y'
limlim2
x0Xx0(xx)XX
例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程
从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x+2x在x=1处的导数值,再由导数的几何意义,
得所求切线的斜率,将x=1代入函数可得切点坐标,从而建立切线方程
设f(x)x2x.
f'
(1)『x)f
(1)
lim(1X)32(1X)(132
xox
由f
(1)=3,故切点为(1,3),
切线方程为y—3=5(x—1),即y=5x—2.
求函数yf(x)图像上点P(x0,y0)处的切线方程的求解步骤:
①求出导函数在xXo处的导数f'
(Xo)(即过点P的切线的斜率),
②用点斜式写出切线方程,再化简整理。
举一反三:
【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:
(1)平行于直线y=4x—5;
(2)垂直于直线2x—6y+5=0;
(3)与x轴成135°
的倾斜角。
(3)因为切线与x轴成135。
的倾斜角,所以其斜率为一
即
2xo=—1,得x
例4•已知函数f(X)可导,若f
(1)
3,f'
3,求lXmi
f(x)3
x1
解析:
lim空口
x1x1
f(x2)3
x21
(x1)]
(f
(1)3)
f(x2)
f
(1)
cf(t)
啊
㈣
ixm1
1)]
x1)
(令t=x2,xt1,tt1)
2f'
(1)2
【变式】
已知函数
f(x)可导,若f(3)
2,f'
(3)2,
求lim2x3f(x)
x3x3
lim空
3f(x)|im(2x6)63f(x)
x3
3[2f(x)]}
x3}
3lim些f)
3limf(x)f(3)
类型三:
利用公式及运算法则求导数
例5•
求下列函数的导数:
x4;
log2x2
log2x
;
心
(x4)'
4x4
(5臣)'
(x5)'
331
•••y
log2
x2log2
xlog
2(x)'
3(x2)'
5(x)'
3f'
(3)23
2X,
(2)8
3c2_,
y=2x—3x+5x+4
4x
_3_
5^7
•••y'
(log2x)'
xIn2
1熟练掌握导数基本公式,仔细观察和分析各函数的结构规律,选择基本函数求导公式进行求导;
2不具备求导法则条件的,一般要遵循先化简,再求导的原则,适当进行恒等变形,步步为营,使解决问题水到渠成•
【变式】求下列函数的导数:
(1)yxx;
x2x
(2)y2sin(12cos-)
24
(3)y=6x3—4x2+9x—6
cosx.
求下列各函数的导函数
f(x)(x21)(2x3);
2.
(2)y=xsinx;
ex1
yR;
xcosxy=
xsinx
法一:
去掉括号后求导.
f(x)2x33x22x
(x)6x6x2
法二:
利用两个函数乘积的求导法则
(x)(x21)'
(2x3)(x21)(2x
3)'
=2x(2x—3)+(x+1)X2
=6x—6x+2
=(x)'
sinx+x(sinx)'
=2xsinx
+xcosx
YYYY
y、(e1)(e1)(e1)(e1)_
(ex1)2
2ex
x2
(e1)
(xcosx)(xsinx)(xcosx)(xsinx)
(xsinx)2
(1sinx)(xsinx)(xcosx)(1cosx)
xcosxxsinxsinxcosx1
【变式1】
函数y
(x1)2(x
1)在x1处的导数等于()
A.1
B.
2C.
D.4
D
[(x
1)]'
(x1)
1)(x1)'
2(x
1)(x1)
1)3x2x1
lxi4.
•••
y(x1)2(x1)
(x2
1)(x1)
x3x2
(x3)'
(x2)'
x'
1'
3x22x
•y'
lx14.
【变式2】
下列函数的导数
2x3
3x.x1
(1)y
(x1)(2x3x
1);
(2)y
x、x
(1)法一:
y2x33x2
x2x
23x1
5x22x1
y6x210x2
(x1)(2x23x1)(x1)(2x23x1)
2x23x1+(x1)(4x3)
6x10x2
31
(2)y2x23x2
12
xx2
23
32
…y3xx
【变式3】求下列函数的导数
x(x2
1丄)
xx3)
宀1)(x1);
(3)y
x5xsinx
3x2
(3y
•-y
x3
sinx,
(x)'
sinx
x(sinx)'
2x3sinxx
类型四:
复合函数的求导例7.
求下列函数导数.
4,
(13x)
(2)yln(x
2);
2x1
e;
(4)ycos(2x1).
思路点拨
:
求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的,
然后再按复合函数的求导法则求导
u4
13x.
u
u'
(u
4)'
(13x)'
4u
12
3)
12u
(13x)5
Inu,u
xy'
uu'
x(Inu)'
(x2)'
丄1丄
ux2
(3)ye
u2x1.
(eu)'
(2x1)'
2e
(4)ycosu,u2x1,
•-y'
x(cosu)'
(2x1)'
2sinu2sin(2x1).
总结升华:
1复合函数的求导,一定要抓住“中间变量”这一关键环节,然后应用法则,由外向里一层层求导,注意不要漏层。
熟练以后,可以摆脱引入中间变量的字母,只要心中记住就行,这样可以使书写简单;
2求复合函数的导数的方法步骤:
(1)分清复合函数的复合关系,选好中间变量;
(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数
并把中间变量换成自变量的函数
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,举一反三:
【变式1】求下列函数的导数:
⑴y(12x2);
(3)y=ln(x+<
1x2);
(4)f(x)ex(cosxsinx)
(1)令u12x2,yu8,
727
8u4x32x(12x).
(2)令u
xx3,yu3,
yx(u3)(xx3)
3u3(13x'
)1x
AiA
——(x-1x2)'
=——(1=)
xJx2xV1x21x2
(4)f'
(x)
ex(x)'
(cosxsinx)
ex(cosx
sinx)'
ex(cosxsinx)
ex(sinxcosx)
ex(sinxcosxcosxsinx)ex(2sinx)
2exsinx
类型五:
求曲线的切线方程
例8.求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
3x22,
lxi3125
x=1时,y=3,
•••切点为(1,3),切线斜率为5
求函数yf(x)图像上点P(x0,y0)处的切线方程的求解步骤:
3求出函数yf(x)的导函数yf'
4求出导函数在xX。
处的导数f'
5用点斜式写出切线方程,再化简整理。
11
【变式1】求曲线y丄在点(;
2)处的切线的斜率,并写出切线方程.
Ty'
(丄)’2
•切线的斜率ky'
|14.
X—
•切线方程为y24(x),即4xy40.
x2的切线方
【变式2】已知P(1,1),Q(2,4)是曲线yx2上的两点,则与直线PQ平行的曲线y程是.
【答案】yx2的导数为y'
2x.
设切点M(X。
y°
),则y'
|xx2X0.
41
•••PQ的斜率kPQ1,又切线平行于PQ,
PQ21
111
…ky'
|xx02xo1,•Xo,•切点M(一,),
0224
、11
•切线方程为yx,即4x4y10.
42
【变式3】已知曲线C:
yx3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程;
(2)第
(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
P(1,1).
(1)将x1代入曲线C的方程得y1,•••切点
从而求得公共点为P(1,1),或P(2,8).
•切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另外的点
已知直线11为曲线yxx2在点(1,0)处的切线,12为该曲线的另一条切线,且1112.
求由直线11、12和x轴所围成的三角形的面积
11、12与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(
22c、
22,0),
125
12.
【答案】y'
3x21
设切点坐标为M(x),y0)
•••切线在点M的斜率为yxx。
(3x21)x。
3x02
切线与直线y4x3平行,斜率为4
•3x014xo1
Xo1Xo1
或
yo8yo12
•切点为(1,-8)或(-1,-12)
切线方程为y84(x1)或y124(x1)
即y4x12或y4x8
I曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x
由题意,切线的斜率为y'
/3123,
•切线方程为y13(x1),
x轴交点为(2,0),直线x
2的交点为(2,4),
1'
I1
曲线ye2xcos3x在(0,1)处的切线与I的距离为
由题意知,y'
(e2x)'
cos3xe2x(cos3x)'
2e2xcos3x(3x)'
(sin3x)e2x
2e2xcos3x3e2xsin3x
•曲线在(o,1)处的切线的斜率ky'
lxo2
•该切线方程为y12xy2x1
设I的方程为y2xm,
|m1|
解得m4,或m6.
当m4时,l的方程为y2x4;
当m6时,l的方程为y2x6
综上可知,I的方程为y2x4或y2x6.
(1“1—x).1—x
..y1
x0x2
利用导数的定义求导数的步骤:
1255
所以所求三角形的面积为S125121
【变式1】如果曲线yxx10的某一切线与直线y4x3平行,求切点坐标与切线方程
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