最新平面向量数量积的坐标表示Word格式.docx

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向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ（θ为向量a与b的夹角），而cosθ＝

∴|a|cosθ＝

＝

.

二、典例精析

例1、已知向量a＝（1,3），b＝（2,5），c＝（2,1），求：

（1）2a·

（b－a）；

（2）（a＋2b）·

c.

[自主解答]　法一：

（1）∵2a＝2（1,3）＝（2,6），

b－a＝（2,5）－（1,3）＝（1,2），

∴2a·

（b－a）＝（2,6）·

（1,2）

＝2×

1＋6×

2＝14.

（2）∵a＋2b＝（1,3）＋2（2,5）

＝（1,3）＋（4,10）＝（5,13），

∴（a＋2b）·

c＝（5,13）·

（2,1）

＝5×

2＋13×

1＝23.

法二：

（b－a）

＝2a·

b－2a2

＝2（1×

2＋3×

5）－2（1＋9）

＝14.

c

＝a·

c＋2b·

＝1×

1＋2（2×

2＋5×

1）

＝23.

本例条件中“c＝（2,1）”若变为“c＝（2，k）”，且“（a－c）⊥b”，求k.

解：

∵a＝（1,3），c＝（2，k），

∴a－c＝（－1,3－k），

又（a－c）⊥b，∴－1×

2＋（3－k）×

5＝0，

∴k＝

变式训练

若向量a＝（4，－3），|b|＝1，且a·

b＝5，求向量b.

例2、平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图）．已知点A（16,12）、B（－5,15）．

（1）求|«

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|，|«

|；

（2）求∠OAB.

变式练习

已知a，b为平面向量，a＝（4,3），2a＋b＝（3,18），则a，b的夹角θ的余弦值等于（　　）

A.

　　　　　B．－

C.

D．－

答案：

C

例3、已知△ABC中，A（2，－1），B（3,2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，如图，求D点及«

的坐标．

设a＝（m＋1，－3），b＝（1，m－1），若（a＋b）⊥（a－b），求m的值．

法一：

∵a＋b＝（m＋2，m－4），a－b＝（m，－m－2），

又（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·

（a－b）＝0，

即（m＋2，m－4）·

（m，－m－2）＝0.

∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2.

∵（a＋b）⊥（a－b），

∴（a＋b）·

（a－b）＝0，a2＝b2，

则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.

解题高手

已知向量a＝（

，－1）和b＝（1，

），若a·

c＝b·

c，试求模为

的向量c的坐标．

三、课后检测

一、选择题

1．（2012·

辽宁高考）已知向量a＝（1，－1），b＝（2，x）．若a·

b＝1，则x＝（　　）

A．－1　　　　　　　　　B．－

C.

D．1

解析：

由a＝（1，－1），b＝（2，x）可得a·

b＝2－x＝1，故x＝1.

D

2．已知点A（－1,0）、B（1,3），向量a＝（2k－1,2），若«

⊥a，则实数k的值为（　　）

A．－2B．－1

C．1D．2

«

＝（2,3），a＝（2k－1,2），由«

⊥a得2×

（2k－1）＋6＝0，解得k＝－1.

B

3．已知向量«

＝（2,2），«

＝（4,1），在x轴上有一点P，使«

·

有最小值，则点P的坐标是（　　）

A．（－3,0）B．（2,0）

C．（3,0）D．（4,0）

设P（x,0），则«

＝（x－2，－2），

＝（x－4，－1），

∴«

＝（x－2）（x－4）＋2

＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，

故当x＝3时，«

最小，此时P（3,0）．

4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若«

＝（2,4），«

＝（1,3），则«

等于（　　）

A．6B．8

C．－8D．－6

如图，«

＝«

－«

＝（1,3）－（2,4）＝（－1，－1），

＝（－1，－1）－（2,4）＝（－3，－5），

则«

＝（－1）×

（－3）＋（－1）×

（－5）＝8.

二、填空题

5．已知向量a＝（3,4），b＝（2，－1），如果向量a＋xb与－b垂直，则实数x的值为________．

∵向量a＋xb与－b垂直，

∴（a＋xb）·

（－b）＝－a·

b－xb2＝－2－5x＝0，

∴x＝－

－

6．已知A（1,2），B（3,4），|n|＝

，则|«

n|的最大值为________．

＝（2,2），|«

|＝2

，|«

n|≤|«

||n|＝4，当且仅当«

与n共线且同向时取等号．

4

7．向量«

＝（4，－3），向量«

＝（2，－4），则△ABC的形状为________．

＝（2，－4）－（4，－3）＝（－2，－1），而«

＝（－2，－1）·

（2，－4）＝0，所以«

⊥«

又|«

|≠|«

|，所以△ABC是直角非等腰三角形．

直角三角形

8．若将向量a＝（2,1）围绕原点按逆时针方向旋转

得到向量b，则向量b的坐标为________．

设b＝（x，y），由已知条件得

|a|＝|b|，a·

b＝|a||b|cos45°

∴

解得

或

∵向量a按逆时针旋转

后，向量对应的点在第一象限，∴x>

0，y>

0，∴b＝

三、解答题

9．已知在△ABC中，A（2,4），B（－1，－2），C（4,3），BC边上的高为AD.

（1）求证：

AB⊥AC；

（2）求向量«

；

（3）求证：

AD2＝BD·

CD.

（1）∵«

＝（－1，－2）－（2,4）＝（－3，－6），

＝（4,3）－（2,4）＝（2，－1），

＝－3×

2＋（－6）×

（－1）＝0，

∴AB⊥AC.

（2）«

＝（4,3）－（－1，－2）＝（5,5）．

设«

＝λ«

＝（5λ，5λ）

＋«

＝（－3，－6）＋（5λ，5λ）

＝（5λ－3,5λ－6），

由AD⊥BC得5（5λ－3）＋5（5λ－6）＝0，解得λ＝

＝（

（3）证明：

＋

|«

|＝

|＝5

|＝|«

|－|«

∴|«

|2＝|«

|·

|，即AD2＝BD·

10．平面内有向量«

＝（1,7），«

＝（5,1），«

＝（2,1），点M为直线OP上的一动点．

（1）当«

取最小值时，求«

的坐标；

（2）在

（1）的条件下，求cos∠AMB的值．

（1）设«

＝（x，y），∵点M在直线OP上，

∴向量«

与«

共线，又«

＝（2,1）．

∴x×

1－y×

2＝0，即x＝2y.

＝（2y，y）．又«

，«

＝（1,7），

＝（1－2y,7－y）．

同理«

＝（5－2y,1－y）．

于是«

＝（1－2y）（5－2y）＋（7－y）（1－y）＝5y2－20y＋12.

可知当y＝

＝2时，«

有最小值－8，此时«

＝（4,2）．

（2）当«

＝（4,2），即y＝2时，

有«

＝（－3,5），«

＝（1，－1），

＝（－3）×

1＋5×

（－1）＝－8.

cos∠AMB＝

＝－