数学建模入门基础资料下载.pdf
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x1-2*x2+x3=2;
x2-3*x3+x4=1;
x2-x3+x5=2;
endresult:
Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:
-2.000000Infeasibilities:
0.000000Totalsolveriterations:
2VariableValueReducedCostX22.5000000.000000X30.50000000.000000X16.5000000.000000X40.0000000.000000X50.0000001.000000RowSlackorSurplusDualPrice1-2.000000-1.00000020.0000000.00000030.0000000.00000040.0000001.0000004Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX2-1.0000000.66666670.0X31.0000002.0000000.0X10.00.40000000.0X40.0INFINITY0.0X50.0INFINITY1.000000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease22.000000INFINITY6.50000031.0000001.000000INFINITY42.000000INFINITY1.000000Variable表示目标函数;
Row表示约束条件分析报告:
LINGO经过2次迭代后得到全局最优解,目标值Objectivevalue为-1.5,全局最优解为X=(6.5,2.5,0.5,0,0),ReducedCost列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数,表示当变量有微小变动时,目标函数的变化率。
其中基变量的reducedcost值应为0,对于非基变量Xi,相应的reducedcost值表示当某个变量Xi增加一个单位时目标函数减少(max型问题)或增加(min型问题)的量。
SlackorSurplus给出松弛变量的值。
DUALPRICE(对偶价格)表示当对应约束有微小变动时,目标函数的变化率。
输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。
若其数值为p,表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位,目标函数将增加(max型问题)或减少(min型问题)p个单位。
(基变量【有实值】时为0;
非基变量【为0值】时不为0)Rangesinwhichthebasisisunchanged:
即研究当目标函数的系数和约束右端在什么范围变化时,最优基保持不变。
(CurrentCoefficient【CurrentRHS】-AllowableIncrease,CurrentCoefficient【CurrentRHS】+AllowableIncrease)。
INFINITY表示无穷大。
5第二章第二章统计分析:
统计分析:
用matlab或SAS统计学知识总结:
1、统计的几个基本名词:
总体、样本、样本值2、统计推断就是利用样本值来对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断。
明确的说:
由样本统计量(样本均值、样本比例、样本方差)推断总体(总体均值、总体比例、总体方差)3、统计过程:
样本统计量抽样分布总体分布4、抽样分布:
单正态总体的抽样分布(3个):
均值未知、方差未知、均值与方差均未知双正态总体的抽样分布(2个):
均值差、方差比5、参数估计:
正态分布的置信区间(6中情况):
单正态总体均值(方差已知)正双态总体均值差(方差已知)单正态总体均值(方差未知)正双态总体均值差(方差已知单正态总体方差正双态总体方差比6、假设检验:
单正态总体的假设检验双正态总体的假设检验7、方差分析(单因素)8、回归分析判别分析:
判别分析:
判别分析法就是利用原有的分类信息,得到体现这种分类的函数关系式(称为判别函统计分析方差分析判别分析聚类分析主成分分析回归分析单因子双因子6数),然后利用该函数去判别未知样品属于哪一类。
聚类分析:
分类问题分为判别分析和聚类分析。
判别分析研究事先已经建立类别的情况,即将样品或指标按已知的类别进行归类。
聚类分析适用于实现没有分类的情况,即如何将样品或指标进行分类的问题。
聚类分析包含的范围很广,可以有系统聚类法、动态聚类法、分裂法、最优分割法、模糊聚类法、图论聚类法、聚类预报等多种方法。
聚类分析法的原理试:
首先将一定数量的样品各自看成一类,然后根据样品的亲疏程度,将亲疏程度最高的两类进行合并。
然后考虑合并后的类与其他类之间的亲疏程度,再进行合并。
重复这一过程,直至将所有的样品合并为一类。
主成分分析:
注意建模步骤在统计分析中有一类问题就是抽取信息的精华,这就是因子分析和主成分分析。
当要研究一个问题时,通常的做法是抽取大量的变量信息,例如,为了准确预报天气,我们抽取了大量的数据,如有1000个变量的抽样数据,然而这些数据中很多是相关的,这就是信息的冗余。
信息冗余不仅带来计算上的复杂性,甚至导致计算误差增加。
主成分分析法就是从大量的信息中,选择一组个数少,且互不相关,并带有原样本的大部分的信息另一组变量。
简单的说,主成分分析就是把多个指标化为少数几个综合指标的一种统计方法。
主成分分析计算步骤:
计算相关系数矩阵
(1)=pppppprrrrrrrrrRLMMMMLL212222111211在(3.5.3)式中,rij(i,j=1,2,p)为原变量的xi与xj之间的相关系数,其计算公式为
(2)=nknkjkjikinkjkjikiijxxxxxxxxr11221)()()(因为R是实对称矩阵(即rij=rji),所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。
计算特征值与特征向量7首先解特征方程,通常用雅可比法(Jacobi)求出特征值0=RI,并使其按大小顺序排列,即;
然后分别求出对应),2,1(piiL=0,21pL于特征值的特征向量。
这里要求=1,即,其中表示向i),2,1(pieiL=ie112=pjijeije量的第j个分量。
ie计算主成分贡献率及累计贡献率主成分的贡献率为iz),2,1(1pipkkiL=累计贡献率为),2,1(11pipkkikkL=一般取累计贡献率达8595%的特征值所对应的第一、第二,第mm,21L(mp)个主成分。
计算主成分载荷其计算公式为(3)),2,1,(),(pjiexzplijijiijL=得到各主成分的载荷以后,还可以按照(3.5.2)式进一步计算,得到各主成分的得分8(4)=nmnnmmzzzzzzzzzZLMMMMLL212222111211更多的时候我们需要对数据进行标准化,也就是将数据归一化,即对每一列的数据除上它们的标准差,然后进行主成分分析。
在matlab中进行主成分分析:
pc,score,latent,tsquare=princomp(x)PC:
相对于特征值latent的特征向量。
根据数据矩阵X返回因子成分PC,也就是主成分。
score:
主成分Yi中的元素。
通过将原始数据转换到因子成分空间中得到的数据。
也就是原始数据在由主成分所定义的新坐标系中的确定的数据,其大小与输入数据矩阵的大小相同。
latent:
存放从大到小的特征值。
tsquare:
t平方统计量,它是描述每一测量值与数据中心距离的统计量,用它可以找到数据中的极值点。
在SAS系统中主成分分析通过procprincomp过程来实现。
主成分分析方法应用实例主成分分析方法应用实例:
1)实例1:
流域系统的主成分分析(张超,1984)表3.5.1(点击显示该表)给出了某流域系统57个流域盆地的9项变量指标。
其中,x1代表流域盆地总高度(m),x2代表流域盆地山口的海拔高度(m),x3代表流域盆地周长(m),x4代表河道总长度(m),x5代表河道总数,x6代表平均分叉率,x7代表河谷最大坡度(度),x8代表河源数,x9代表流域盆地面积(km2)。
(1)分析过程:
将表3.5.1中的原始数据作标准化处理,然后将它们代入相关系数公式计算,得到相关系数矩阵(表3.5.2)。
9由相关系数矩阵计算特征值,以及各个主成分的贡献率与累计贡献率(见表3.5.3)。
由表3.5.3可知,第一,第二,第三主成分的累计贡献率已高达86.5%,故只需求出第一、第二、第三主成分z1,z2,z3即可。
z3上的载荷(表3.5.4)。
最重要的就是回归分析:
回归分析:
回归分析是指对具有相关关系的现象,根据其关系形态,选择一个合适的数学模型,用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法。
回归分析的分类:
按照回归模型中变量个数分(一元回归,多元回归);
按照回归曲线的形态分(线性回归,非线性回归);
按照是否要求总体分布类型已知分(参数回归,非参数回归)主要学习一元线性回归一元线性回归和多元线性回归多元线性回归10建模过程:
模型的参数估计检验、预测和控制一元线性回归模型:
一元线性回归模型:
模型的参数估计:
一般地,称由确定的模型为一元线性回归模型,记为01yx=+0120,yxED=+=其中固定的未知参数称为回归系数,自变量也称为回归变量,01,x01yx=+称为对的回归直线方程。
yx一元线性回归分析的主要任务1、用试验值(样本值)对和作点估计;
01,2、对回归系数作假设检验;
01,3、在处对作预测,对作区间估计。
0xx=yy回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计有组独立观测值,。
n(),1,2,.,iixyin=设记。
最小二乘法就是选择和()()22010111,nniiiiiQQyx=01的估计,使得。
计算得到01()()010101,min,QQ=01122yxxyxyxx=其中。
(经验)回归方程为:
2211111111,nnnniiiiiiiiixxyyxxxyxynnnn=。
()011yxyxx=+=+记,称为残差平方和()()()22010111,nneiiiiiiQQyxyy=eQ或剩余平方和。
的无偏估计为。
2()2/2eQn=11回归方程的显著性检验:
对回归方程的显著性检验,归结为对假设进行检01Yx=+0111:
0;
:
0HH=验。
假设被拒绝,则回归显著,认为与存在线性关系,所求的线性回归方01:
0H=yx程有意义;
否则回归不显著,与的关系不能用一元线性回归模型来描述,所得的回归方yx程也无意义。
F检验法:
当成立时,其中(回归平0H()()1,2/2eUFFnQn=()21niiUyy=方和)。
若,拒绝,否则就接受。
()11,2FFn0H0H回归系数的置信区间:
和置信水平为的置信区间分别为011和()()22001122112,2eexxxxxxtntnnLnL+;
()()0011222,2exxexxtnLtnL+的置信水平为的置信区间为。
21()()22122,22eeQQnn预测:
用的回归值作为的预测值。
的置信水平为的预测区间为0y0010yx=+0y0y1,其中。
特别,当()()0000,yxyx+()()20012()121exxxxxtnnL=+n很大且在附近取值时,的置信水平为的预测区间近似为0xxy1。
1122,eeyuyu+多元线性回归:
多元线性回归:
一般称为高斯马尔柯夫线性模型(元线性回归模()()20,nYXECOVI=+=k型),并简记为。
()2,nYXI12其中,1.nyYy=1112121222121.1.1.kknnnkxxxxxxXxxx=01.k=12.n=称为回归平面方程。
011.kkyxx=+线性模型考虑的主要问题是:
()2,nYXI
(1)用试验值(样本值)对未知参数和作点估计和假设检验,从而建立与2y之间的数量关系;
12,.,kxxx
(2)在处对的值作预测与控制,即对作区间估计。
1012020,.,kkxxxxxx=yy对和作估计,用最小二乘法求的估计量:
作离差平方和i20,.,k()20111.niikkiQyxx=选择使达到最小。
解得估计值,得到的代入回归平方0,.,kQ()()1TTXXXY=i程得,称为经验回归平面方程。
称为经验回归系数。
011.kkyxx=+i多元线性回归中的检验与预测:
假设。
001:
.0kH=当成立时,。
如果,则0H()()/,1/1eUkFFknkQnk=()1,1FFknk拒绝,认为与之间显著地有线性关系;
否则就接受,认为与0Hy12,.,kxxx0Hy之间线性关系不显著。
12,.,kxxx求出回归方程,对于给定自变量的值,用011.kkyxx=+*12,.,kxxx来预测。
称为的点预测。
*011.kkyxx=+*011.kkyxx=+*y*y多元线性回归多元线性回归matlabmatlabmatlabmatlab命令:
命令:
确定回归系数的点估计值:
b=regress(Y,X)1301.kb=12.nYYYY=1112121222121.1.1.ppnnnpxxxxxxXxxx=求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型:
b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)Stats给出用于检验回归模型的统计量,有三个数值:
相关系数r2、F值、与F对应的概率p。
判别规则:
相关系数r2越接近1,说明回归方程越显著;
时拒绝()1,1FFknk,F越大,说明回归方程越显著;
与F对应的概率时拒绝,回归模型成立。
0Hp=ijijijjiijnxnijaaaaaaA或由于上述成对比较矩阵有特点:
jiijijijaaaaA1,0,)(=故可称为正互反矩阵正互反矩阵:
显然,由,即:
,故有:
Ajiijaa1=1=jiijaa1=jia例如:
在旅游决策问题中:
15=表示:
2112=a(费用)(景色)21CC2O1O21的重要性为(费用)对目标的重要性为景色)对目标(CC故:
),费用重要性为即景色重要性为21(2112=a=表示:
14413=a(居住条件)(景色)31CC1OC4O(31的重要性为(居住条件)对目标的重要性为景色)对目标C即:
景色为4,居住为1。
=表示:
17723=a(居住条件)(费用)32CC1OC7O(32的重要性为(居住条件)对目标的重要性为费用)对目标C即:
费用重要性为7,居住重要性为1。
因此有成对比较矩阵:
=1135131112513131211714155337412121A?
问题?
问题:
稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题:
即存在有各元素的不一致性不一致性,例如:
既然:
41114a;
22113313113212112=aaCCaCCa所以应该有:
188412131231213223=CCCCaaCCa而不应为矩阵中的A1723=a成对比较矩阵比较的次数要求太,因:
个元素比较次数为:
n!
2)1(2=nnCn次,因此,问题是:
如何改造成对比较矩阵,使由其能确定诸因素对上层因素nCC,1LO的权重?
对此Saoty提出了:
在成对比较出现不一致情况下,计算各因素对因素(上nCC,1L16层因素)O的权重方法,并确定了这种不一致的容许误差范围。
为此,先看成对比较矩阵的完全一致性成对比较完全一致性四:
一致性矩阵四:
一致性矩阵DefDefDefDef:
设有正互反成对比较矩阵:
(4)=1a,1,11nn221122222212211121121111nnnnnnjiijnnnnWWWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaALLLLLL除满足:
(i)正互反性:
即)1(10=jiijjiijijaaaaa或而且还满足:
(ii)一致性:
即n2,1,ji,L=hahaakaaaajikjijiij则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵,简称一致阵。
一致性矩阵(一致阵)性质:
性质性质1111:
的秩Rank(A)=1A的唯一非0的特征根为nA性质性质2222:
的任一列(行)向量都是对应特征根的特征向量:
An即有(特征向量、特征值):
,则向量=nnnnnnWWWWWWWWWWWWWWWWWWALLLLLLL212221212111=321WWWWMr满足:
WnnWnWnWWWWWWWWWWWWWWWWWAnnnnnnn=LMLMLMML2121211211117即:
0)(=WnIA启发与思考:
启发与思考:
既然一致矩阵有以上性质,即n个元素W1,W2,W3,Wn构成的向量=nWWWWL21是一致矩阵A的特征向量,则可以把向量W归一化后的向量,看成是诸元素W1,W2,W3,Wn目标的权向量,因此,可以用求A的特征根和特征向量的办法,求出元素W1,W2,W3,Wn相对于目标O的劝向量。
解释:
一致矩阵即:
件物体,它们重量分别为,将他nnMMM,21LnWWW,21L们两两比较重量,其比值构成一致矩阵,若用重量向量右乘,则=nWWWWL21A:
()称特征根法,求权向量的方法量权向量,此种用特征向为即对上层因素O的权重,C,CC,就表示诸因素W则归一化后的特征向量,:
重量向量为特征根的特征向量为以的特征根为n211WWWW,121LLLinWWWnnA分析:
分析:
若重量向量未知时,则可由决策者对物体之间两两相比=nWWWWM21nMMM,21L关系,主观作出比值的判断,或用Delphi(调查法)来确定这些比值,使矩阵(不一定A有一致性)为已知的,并记此主观判断作出的矩阵为(主观)判断矩阵并记此主观判断作出的矩阵为(主观)判断矩阵,并且此,并且此(不不AA一致)在不一致的容许范围内,再依据:
一致)在不一致的容许范围内,再依据:
的特征根或和特征向量的特征根或和特征向量的特征根或和特征向量的特征根或和特征向量连续地依赖于矩阵连续地依赖于矩阵连续地依赖于矩阵连续地依赖于矩阵的的的的AW元素元素元素元素,即当,即当,即当,即当离一致性的要求不太远时,离一致性的要求不太远时,离一致性的要求不太远时,离一致性的要求不太远时,的特征根的特征根的特征根的特征根和特征值(向量)和特征值(向量)和特征值(向量)和特征值(向量)与一致矩与一致矩与一致矩与一致矩ijaijaAiW阵阵阵阵的特征根的特征根的特征根的特征根和特征向量和特征向量和特征向量和特征向量也相差不大的道理:
由特征向量也相差不大的道理:
由特征向量求权向量求权向量求权向量求权向量的方法即为的方法即为的方法即为的方法即为AWWW18特征向量法特征向量法特征向量法特征向量法,并由此引出,并由此引出,并由此引出,并由此引出一致性检查的方法一致性检查的方法一致性检查的方法一致性检查的方法。
RemarkRemarkRemarkRemark以上讨论的用求特征根来求权向量的方法和思路,在理论上应解决以下问题:
W1一致阵的性质1是说:
一致阵的最大特征根为(即必要条件),但用特征根来求特征n向量时,应回答充分条件:
即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量?
且如果正互反矩阵的最大特征根时,是否为一致阵?
An=maxA2用主观判断矩阵的特征根和特征向量连续逼近一致阵的特征根和特征向量AWA时,即:
由W=kkklim得到:
WWkk=lim即:
AAkk=lim是否在理论上有依据。
3一般情况下,主观判断矩阵在逼近于一致阵的过程中,用与接近的来代替AAA*A,即有,这种近似的替代一致性矩阵的作法,就导致了产生的偏差估计问题,AAA*A即一致性检验问题,即要确定一种一致性检验判断指标,由此指标来确定在什么样的允许范围内,主观判断矩阵是可以接受的,否则,要两两比较构造主观判断矩阵。
此问题即一致性检验问题的内容。
以上三个问题:
前两个问题由数学严格比较可获得(见教材P325,定理1、定理2)。
第3个问题:
Satty给出一致性指标(TH1,TH2介绍如下:
)附:
Th1Th1Th1Th1:
(教材P326,perronTh比隆1970)对于正矩阵(的所有元素为正数)AA
(1)的最大特征根是正单根;
A
(2)对应正特征向量(的所有分量为正数)WW(3)其中:
为半径向量,是对应的归一化特征向量WeAeeAkTkk=lim=111LeW证明:
(3)可以通过将化为标准形证明ATh2Th2Th2Th2:
阶正互反阵A的最大特征根;
nn当时,是一致阵n=A五、一致性检验五、一致性检验一致性指标:
一致性指标:
1111一致性检验指标的定义和确定一致性检验指标的定义和确定一致性检验指标的定义和确定一致性检验指标的定义和确定的定义:
的定义:
IC19当人们对复杂事件的各因素,采用两两比较时,所得到的主观判断矩阵,一般不可A直接保证正互反矩阵就是一致正互反矩阵,因而存在误差(及误差估计问题)。
这种误AA差,必然导致特征值和特征向量之间的误差。
此时就导致问
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