图形的初步认识优质讲义Word文档格式.docx
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射线:
(1)有一个端点
(2)向一方无限延伸(3)AB记作:
射线AB
直线:
(1)无端点
(2)向两方无限延伸(3)ABl记作:
直线AB或直线BA或直线l
2、相关概念
两点间的距离:
连接两点的线段的长度
线段的中点:
分一条线段为两条相等的线段的点。
如ACBC为线段AB上一点,且
AC=BC,则C为线段AB的中点,记作AB=2AC=2BC或AC=BC或AC=BC=AB
3、线段大小的比较
线段长短的比较有两种方法:
(1)度量法(用刻度尺量出两线段的长度再比较)
(2)叠合法(用圆规)
4、相关性质公理
直线公理:
过两点有且只有一条直线
线段公理:
两点之间,线段最短
三、角的认识
1、角的概念
静止角度:
由公共端点的两条射线组成的图形(公共端点叫做角的顶点,两条射线叫做角的边)
运动角度:
由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形(起始位置的射线称为角的始边,终止位置称为角的终边)
2、角的表示方法
(1)可以用三个大写字母来表示,如
(2)在不引起混淆的情况下,可以只用顶点大写字母来表示,如
(3)可以用一个数学或小写希腊字母来表示,如或
3、角的大小
角的大小不是看角的两边的长与短,而是由两条射线的位置(张口大小)来决定。
(1)计量单位:
度,分,秒(时钟的分针,经过一分转,时针经过一小时转)
(2)角的大小比较
两种方法:
①度量法(用量角器)②叠合法(保持顶点和其中一条边重合)
(3)两个角的和或差
两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角;
两个角的差是在一个较大角中去掉一个较小角后的角。
(4)角平分线
概念:
从角顶点发出的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线
表示方法:
如图,若是的平分线,则①②③B
OC
A
性质:
角平分线的点到这个角两边的距离相等;
到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上
(5)角的分类
锐角(大于小于的角)
直角(等于的角)
钝角(大于小于的角)
平角(的角,定义:
一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边成一条直线时所形成的角)
周角(的角,定义:
一条射线绕着它的端点旋转到起始位置所形成的角)
1周角=2平角=4个直角
注:
不能说“一个平角是一条直线,一条射线就是周角”
(6)补角、余角、对顶角和邻补角
补角和余角属于数量关系角,对顶角和邻补角属于位置关系角。
①如果两个角的和是一个平角,则这两个角互为补角,即,则互为补角,简称互补,是的补角或是的补角。
同角或等角的补角相等。
②如果两个角的和是一个直角,则这两个角互为余角,即,则互为余角,简称互余,是的余角或是的余角。
同角或等角的余角相等。
③两条直线相交形成两类角:
一是对顶角,一是邻补角。
对顶角相等,邻补角是特殊位置上的补角。
如图(a),两直线AB、CD相交于O,则对顶角有两组:
;
邻补角有四组:
和,和,和,和
(b)(a)(c)
(7)方位角
方位角是表示方向的角,是确定物体位置的重要因素之一。
具体表示时,是南(或北)在先,
再说偏东(或偏西)。
如上图(b),OA的方向为北偏东,OB的方向为南偏西(即西南方向)
四、相交线和平行线
同一平面内,两直线的位置关系:
相交或平行。
1、相交线
(1)相关概念
两直线相交:
若两直线有且只有一个公共点,则称两直线相交,公共点叫做交点。
垂直:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
如上图(c),直线AB,CD互相垂直,垂足为O,记作ABCD或CDAB于O,读作“AB垂直于CD,垂足为O”。
注:
垂线是直线而不是线段。
点到直线的距离:
从直线外一点向已知直线作垂线,这点和垂足之间的垂线段的长度,叫做点到这条直线的距离。
线段的垂直平分线:
垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(亦叫中垂线)。
比例尺=
(2)相关性质
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
②直线外一点与直线上各点联结的线段中,垂线段最短
③线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等,和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2、平行线
两直线平行:
在同一平面内不相交的两条直线。
如在同一平面内a与b不相交,即a平行于b,记作∥。
两平行线间的距离:
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离。
(2)平行公理及推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:
如果同一平面内有两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,即“∥”
五、作图
1、过直线l外一点A画直线l的垂线
方法一:
用三角尺(作法:
如下图,三角尺一条直角边和l重合,并移动使得另一直角边过A点,再用铅笔沿另一条边画直线即为所求)
方法二:
用量角器(作法:
如下图,量角器的线与l重合,并移动使得零刻度线过A点,零刻度线所在直线即为所求)
2、过直线a外一点P画一条直线b,使得∥
如图,①任意画一条直线l,使②过点P画直线,则∥,b即为所求
方法二:
如图,用三角尺和直尺画∥
3、画已知的角平分线OP
用量角器量出的度数,以OB为始边用量角器量出,终边为OP,则OP即为所求
尺规法(同4、(4))
4、尺规作图
(1)比较两已知线段a和b的大小
作法:
①将圆规的两脚和线段a的两端点重合②此圆规的一脚和b的一端点重合,进行叠合后若另一脚落在b上,则;
若落在b外,则;
若则好跟b另一端点重合,则
(2)画一线段等于已知线段a和b()的长度的和或差
①记c为a和b长度的和,则
如下图,用直尺延长a(AB)到一定长度,再用圆规往右顺次截取BC=b,则AC即为所求
②记d为a和b长度的差,则
如下图,用圆规在a上截取AC=b,则BC即为所求
(3)画一已知线段AB的垂直平分线
如图(3)①分别以AB为圆心,大于长为半径在AB上下画弧,上面两条弧的交点为C,下面两条弧的交点为D②连接CD,则直线CD即为所求
(4)画一已知的角平分线OP
如图(4)①以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于C,D②分别以C,D为圆心,大于长为半径在内画弧,两弧交点为P③连结OP,则OP即为所求
图(3)图(4)
【探索】
1、已知直线l上有n个点,问共有多少条线段和多少条射线?
答案:
线段有:
射线有:
2、如果以O为端点有n条射线(构成的角都小于平角),组成的角有多少个?
角有:
3、利用一副三角板可以拼出多少个角(不包括和角)?
可以拼出11个角(这11个角分别以递增:
【练习】
单元测试(A)
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.不在同一直线上的四点最多能确定条直线.
2.如图,从A地到B地走条路线最近,它根据的是.
3.(02宁德市)如图,是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图,则此零件的锥角等于
度.
4.(02杭州市)当图中的∠1和∠2满足_________时,能使OA⊥OB(只需填上一个条件即可).
A
B
①
②
③
5.从A市开往B市的特快列车,途中要停靠三个站点,如果任意两站间的票价都不相同,那么有种不同的票价
6.小明每天下午5:
30回家,这时分针与时针所成的角的度数为___________.
7.(02岳阳市)在同一平面内,1个圆把平面分成0×
1+2=2个部分,2个圆把平面最多分成1×
2+2=4个部分,3个圆把平面最多分成2×
3+2=8个部分,4个圆把平面最多分成3×
4+2=14个部分,那么10个圆把平面最多分成个部分.
8.有边长为1的等边三角形卡片若干张,使用这些三角形卡片拼出边长分别是2,3,4,…的等边三角形(如图所示).根据图形推断,每个等边三角形所用卡片总数s与边长n的关系式是.
9.如图所示的4×
4正方形网格中,∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=.
二、选择题(每小题3分,共30分)
10.若∠α=30°
,则∠α的补角为().
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
11.平面上有三点A、B、C,如果AB=8,AC=5,BC=3,则()
A.点C在线段AB上B.点B在线段AB的延长线上
C.点C在直线AB外D.点C可能在直线AB上,也可能在直线AB外
12.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40度方向,那么这艘船位于这个灯塔的()
A.南偏西50度方向B.南偏西40度方向C.北偏东50度方向D.北偏东40度方向
13.如图,,,点B、O、D在同一直线上,则的度数为()
A.B.C.D.
14.如图,已知∠AOC=90º
,∠COB=α,OD平分∠AOB,则∠COD等于( )
A. B. C. D.
15.某公司员工分别住在A,B,C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人.三个区在同一条直线上,位置如图所示.该公司的接送车打算在此问只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设在()
A.A区B.B区C.C区D.A,B两区之间
16.一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送.例如信息到b2点可由经al的站点送达,也可由经a2的站点送达,共有两条途径传送.则信息由A点到达d3的不同途径共有().
A.3条B.4条C.6条D.12条
17.为解决四个村庄用电问题,政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知各村及电厂之间的距离如图所示(单位:
公里),则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是()
A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5
18.(02烟台市)花园内有一块边长为a的正方形土地,园艺师设计了四种不同的图案,如下图的A、B、C、D所示,其中的阴影部分用于种植花草.种植花草部分面积最大的图案是().
(说明:
A、B、C中圆弧的半径均为,D中圆弧的半径为a)
19.已知α、β是两个钝角,计算的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为24°
、48°
、76°
、86°
,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是()
A.86°
B.76°
C.48°
D.24°
(02烟台市)
三、解答题(21~25题每题6分,26~27题每题10分,共50分)
20.已知∠1与∠2互为补角,且∠2的比∠1大15°
,求∠1的余角.
21.如图所示,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20º
求∠AOB的度数。
22.如图,已知B、C是线段AD上的两点,M是AB的中点,N是CD的中点,MN=a,BC=b,求线段AD的长.
23.如图,已知A、O、E三点在一条直线上,OB平分∠AOC,∠AOB+∠DOE=90°
,试问:
∠COD与∠DOE之间有什么关系?
说明理由.
24.如图,OA的方向是北偏东15°
OB的方向是西偏北50°
.
(1)若∠AOC=∠AOB,则OC的方向是___________;
(2)OD是OB的反向延长线,OD的方向是_________;
(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,作∠BOD的平分线OE,OE的方向是____________;
(4)在
(1)、
(2)、(3)的条件下,∠COE=______°
25.如图,是某风景区的旅游路线示意图,其中B、C、D为风景点,E为两条路的交叉点,图中数据为相应两点间的路程(单位:
千米).一学生从A处出发,以2千米/小时的速度步行游览,每个景点的逗留时间均为0.5小时.(01南昌)
(1)当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时,共用了3小时,求CE的长;
(2)若此学生打算从A处出发,步行速度与在景点的逗留时间保持不变,且在4小时内看完三个景点返回到A处,请你为他设计一条步行路线,并说明这样设计的理由(不考虑其他因素).
单元测试(B)
1.若∠α的补角为1200,则∠α=度.
2.如图,直线AB⊥CD于O,直线EF过点O,且∠AOE=40°
,则∠DOF=度.
3.38°
12′等于度.
4.在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是个.
5.从A市开往B市的特快列车,途中要停靠三个站点,如果任意两站间的票价都不相同,那么有种不同的票价.
6.如图,C是线段AB的中点,D是线段AC的中点,已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC的长度为.
7.将一长方形纸片按如图的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD的度数为.
8.观察两两相交但无三线共点的若干条直线,将平面划分成的区域个数K,有如下事实:
一条直线将平面划分成2个区域,K=2=+1;
两条直线将平面划分成4个区域,K=4=+1;
三条直线将平面划分成7个区域,K=7=+1;
….请根据你的推测,n条直线最多可将平面划分成的区域个数K,用n的代表式表示为K= .
9.(02潍坊市)观察下列图形:
若第1个图形中阴影部分的面积为1,第2个图形中阴影部分的面积为,第3个图形中阴影部分的面积为,第4个图形中阴影部分的面积为,……则第n个图形中阴影部分的面积为(用字母n表示).
10.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算的值时,有三位同学分别算出了23°
、24°
、25°
这三个不同的结果,其中确有一个是正确的答案,则=.
11.下列各图形中,有交点的是()
12.12:
15时,钟表的时针与分针所成的角是()
A.直角B.锐角C.钝角D.平角
13.如图,∠AOB是一直角,∠AOC=40°
,OD平分∠BOC,那么∠AOD等于()
A.65°
B.50°
C.40°
D.25°
14.在同一平面内有4点,过每2点画一条直线,则直线的条数是().
A.1条B.4条C6条D.1条或4条或6条
15.小华用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的四个图案中,符合图示胶滚涂出的图案是()
16.一条船在灯塔的北偏东方向,那么灯塔在船的什么方向()
A南偏西B西偏南C南偏西D北偏东
17.(02吉林省)在图中的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,以相同的速度从A点到B点.甲虫沿弧ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行,乙虫沿路线爬行,则下列结论正确的是()
A.甲先到B点B.乙先到B点C.甲、乙同时到B点D.无法确定
18.平面内有条直线(n≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,则a+b的值是().
A.n(n一1)B.n2一n+1C.D.
19.如图,从A地到B地有多条道路,一般地,人们会走中间的直路,而不会走其他的曲折的路,这是因为()
(A)两点之间线段最短(B)两直线相交只有一个交点
(C)两点确定一条直线(D)垂线段最短
20.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相联,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为().
A.19B.20C.24D.26
三、解答题(21~22题每题5分,23~26题每题6分,27~28题每题8分,共50分)
21.已知∠1与∠2互为补角,且∠2的比∠1大15°
22.如图,已知线段,.
(1)画线段AB=
(2)画出线段AB的中点C.
23.如图,AD=DB,E是BC的中点,BE=AC=2cm,线段DE的长,求线段DE的长.
24.小王玩游戏:
一张纸片,第一次将其撕成四小片,以后每次都将其中一片撕成更小的四片,如此进行下去.当小王撕到第n次时,手中共有s张纸片.
(1)用含有n的代数式表示s;
(2)当小王手中共有70张小纸片时,小王撕纸多少次?
(02柳州市)
25.A、B两观测站相距4km,A站在B站南偏东60°
.当C地发出信号时,A站测出C在它的北偏东30°
,B站测出C在它的正东方向.
(1)用1∶100000的比例尺画出图形;
(2)测算出BC、AC的实际距离(精确到0.1km).
26.以“、Δ、==”(一个半圆、一个三角形、两条平行线)为条件,在下列空白处,画出2个独特且有意义的图形,并用文字来说明你要表达的含意.
27.已知如图,AO⊥BC,DO⊥OE.
(1)不添加其它条件情况下,请尽可能多地写出图中有关角的等量关系(至少3个);
C
D
E
O
(2)找出图中所有互余的角.
28.以∠AOB的顶点O为端点引射线OC,使∠AOC:
∠BOC=5:
4,OD是∠AOB的平分线,若∠AOB=36°
,求∠COD的度数.
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