小学奥数周期问题教师版Word文件下载.doc
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这个数列从第二个数开始循环,周期是2,,所以第16个数是2.
板块一、图形中的周期问题
【例1】小兔和小松鼠做游戏,他们把黑、白两色小球按下面的规律排列:
●●○●●○●●○…
你知道它们所排列的这些小球中,第90个是什么球?
第100个又是什么球呢?
【解析】仔细观察图中球的排列,不难发现球的排列规律是:
2个黑球,1个白球;
……也就是按“2个黑球,1个白球”的顺序循环出现,因此,这道题的周期为3(2个黑球,1个白球).再看看90、100里包含有几个这样的周期,若正好有整数个周期,结果为周期里的最后一个,若是有整数个周期多几个,结果就为下一个周期里的第几个.因为,正好有30个周期,第90个是白球.…1,有33个周期还多1个,所以,第100个是黑球.
【巩固】美美有黑珠、白珠共102个,她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上,她是按下面的顺序排列的:
○●○○○●○○○●○○○……
那么你知道这串珠子中,最后一个珠子应是什么颜色吗?
美美怕这种颜色的珠子数量不够,你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗?
【解析】观察可以发现,这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组,并且不断重复出现的.我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组,还余多少.我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色,还可以求出有多少个这样的珠子.因为…2,所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个,即为黑色.在每一个周期中只有1个黑珠子,所以黑色珠子在这串珠子中共有(个)
【例2】小倩有一串彩色珠子,按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列.
⑴第73颗是什么颜色的?
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗?
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间(不包括这两颗红珠子)共有几颗珠子?
【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列,每一组有5颗.(组)……3(颗),第73颗是第15组的第3颗,所以是蓝色的.
⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组,一共有(颗)珠子.第10颗黄珠子是第l0组的第2颗,所以它是从头数的第47颗.列式:
(颗)
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子.第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组),共l0颗珠子,第8颗红珠子后面还有4颗珠子,所以是14颗.列式:
(颗).
【巩固】奥运会就要到了,京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅,这些条幅连起来就成了:
“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列,第28个字是什么字?
【解析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列,即5个字为一个周期.因为…3,所以28个字里含有5个周期还多3个字,即第28个字就是所列一个周期中的第3个字,所以第28个字是“欢”字.
【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯.那么第73盏灯是什么颜色的灯?
【解析】从第一盏白灯开始,每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯,不难看出白灯的编号依次是:
1,5,9,13,……,这些编号被4除所得的余数都是1.,即73被4除的余数是1,因此第73盏灯是白灯.
【例3】节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯,然后 又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去.问:
⑴第150盏灯是什么颜色?
⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯?
【解析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯,这样一个周期变化的,实际上一个周期就是(盏)灯.,150盏灯刚好15个周期,所以第150盏应该是这个周期的最后一盏,是黄色的灯.
⑵如果是200盏灯,就是的周期.每个周期都有4盏蓝灯,(盏)前200盏彩灯中有80盏蓝灯.
【巩固】在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠,并按此方式反复,如果从头开始数,直到第50颗,那么其中白珠有多少颗?
【解析】…5.(个).
【巩固】小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分,2个2分,1个5分的顺序排列起来.
⑴最后1枚是几分硬币
⑵这200枚硬币一共价值多少钱?
【解析】⑴每个周期有枚硬币,要求最后一枚,用这个数除以6,根据余数来判断
……2,所以最后一枚是1分硬币
⑵每个周期中6枚硬币共价值(分),用这个数乘以周期次数再加上余下的,就可以得到一共价值多少了(分),所以,这200枚硬币一共价值398分.
【巩固】桌子上摆了很多硬币,按一个一角,两个五角,三个一元的次序排列,一共19枚硬币.问:
最后一个是多少钱的?
第十四个是多少钱的?
【解析】…1,…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的.
【巩固】有249朵花,按5朵红花,9朵黄花,13朵绿花的顺序轮流排列,最后一朵是什么颜色的花?
这249朵花中,什么花最多,什么花最少?
最少的花比最多的花少几朵?
【解析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列,它的一个周期内有(朵)花.因为……6,所以,这249朵花中含有9个周期还余下6朵花.按花的排列规律,这6朵花中前5朵应是红花,最后一朵应是黄花.在这一个周期里,绿花最多,红花最少,所以在249朵花中,自然也是绿花最多,红花最少.少几朵呢?
有两种解法:
(方法1)……6
红花有:
(朵)绿花有:
(朵)红花比绿花少:
(朵)
(方法2)……6,一个周期少的:
(朵),(朵),余下的6朵中还有5朵红花,所以(朵).
【例4】如图所示,每列上、下两个字(字母)组成一组,例如,第一组是“我,”,第二组是“们,”……
我
们
爱
科
学
……
⑴写出第62组是什么?
⑵如果“爱,”代表1991年,那么“科,”代表1992年……问2008年对应怎样的组?
【解析】
(1)要求第62组是什么数,我们要分别求出上、下两行是什么字(字母),上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期,下面一行则是以“”七个字母为一个周期
……2,……6,所以第62组是“们,”
⑵2008是1991之后的第17组,现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期,下面一行则按“”七个字母为一个周期:
(组),……2
……3,所以2008年对应的组为“学,”.
【巩固】在图所示的表中,将每列上、下两个字组成一组,例如第一组为(新奥),第二组为(北林),那么第50组是什么?
新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……
奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……
【解析】要知道第50组是哪两个数,我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么.第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期,…2,第50个字就是北.再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期,…1,第50个字就是奥.把第一行和第二行合在一起,第50组就是“北奥”.
【例5】如右图,是一片刚刚收割过的稻田,每个小正方形的边长是1米,A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。
一只小鸟飞来飞去,四处觅食,它最初停留在0号位,过了一会儿,它跃过水洼,飞到关于A点对称的1号位;
不久,它又飞到关于B点对称的2号位;
接着,它飞到关于C点对称的3号位,再飞到关于A点对称的4号位,……,如此继续,一直对称地飞下去。
由此推断,2004号位和0号位之间的距离是多少米?
【解析】0米。
根据题上给出的条件,动手画出,就可以了!
四次再次回到0号位置!
2004是4的倍数,所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。
板块二、数列中的周期问题
【例6】小和尚在地上写了一列数:
7,0,2,5,3,7,0,2,5,3…
你知道他写的第81个数是多少吗?
你能求出这81个数相加的和是多少吗?
【解析】⑴从排列上可以看出这组数按7,0,2,5,3依次重复排列,那么每个周期就有5个数.81个数则是16个周期还多1个,第1个数是7,所以第81个数是7,…1
⑵每个周期各个数之和是:
.再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数,即可得到答案.,所以,这81个数相加的和是279.
【巩固】根据下面一组数列的规律求出51是第几个数?
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……
【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组,十位数字依次增加,0~4共五个数,则可列式为:
5×
9+1=46,即51为第46个数。
【例7】⑴……(25个4),积的个位数是几?
⑵24个2相乘,积末位数字是几?
【解析】⑴按照乘数的个数,积的末位数字的规律是:
4,6,4,6,4,6,……,奇数个4相乘得数的末位数字是4,偶数个4相乘得数的末位数是6,所以…1,25个4相乘,积的末位数字是4.
⑵按照乘数的个数,末位数字的规律是2,4,8,6,2,4,8,6,……,4个一组,所以24个2相乘,积末位数字是6.
【巩固】紧接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如,,在9后面写2,,在2后面写8……得到一串数字:
19892868…,问:
这串数字从1开始,往右数,第l999个数字是几?
这1999个数字的和是多少?
【解析】⑴根据题意,写出这列数的前面部分数字:
19892868842868842……“286884”这6个数字重复出现,周期是6.
⑵第1999个数字是:
因为,所以,第l999个数字是6.
⑶这1999个数字的和是:
【例8】12个同学围成一圈做传手绢的游戏,如图.
⑴从1号同学开始,顺时针传l00次,手绢应在谁手中?
⑵从1号同学开始,逆时针传l00次,手绢又在谁手中?
⑶从1号同学开始,先顺时针传l56次,然后从那个同学开始逆时针传143次,再顺时针传107次,最后手绢在谁手中?
【解析】⑴因为一圈有l2个同学,所以传一圈还回到原来同学手中,现在,从1号开始,顺时针传l00次,我们先用除法求传了几圈、还余几次.(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中.
⑵与第一小题的道理一样,先做除法.(圈)……4(次)这4次是逆时针传,正好传到9号同学手中(如图).
⑶先顺时针传156次,然后逆时针传l43次,相当于顺时针传(次);
再顺时针传l07次,与13次合并,相当于顺时针传(次),(圈),手绢又回到l号同学手中.
【巩固】8个队员围成一圈做传球游戏,从⑴号开始,按顺时针方向向下一个人传球.在传球的同时,按顺序报数.当报到72时,球在几号队员手上?
【解析】将8名队员看作一组,每组报8个数,72个数可以分成几组:
组,没有余数,球正好在一组的最后一位队员手中,因此球应该在8号队员手上.
【巩固】如图,电子跳蚤每跳一步,可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在,一只红跳蚤从标有数字.的圆圈按顺时针方向跳了1991步,落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数字.的圆圈起跳,但它是沿着逆时针方向跳了1949步,落在另一个圆圈里.问:
这两个圆圈里数字的乘积是多少?
【解析】解答此类问题时,只要能发现旋转周期现象,并充分加以利用,就能较快找到解题的关键.本题中,不难看出这是一个与周期性有关的问题,电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置,如此循环,周期为12.
⑴因为,所以,红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈.
⑵因为,所以,黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈.
⑶所求的乘积是.
【巩固】如右图,把1~8八个号码摆成一个圆圈,现有一个小球,第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置,第二天接着按逆时针方向前进485个位置,第三天又顺时针前进329个位置,第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去,问至少经过几天,小球又回到原来的1号位置?
【解析】根据题意,小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中,小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156(个)位置.156÷
8=19……4,就是说,每个周期(2天)中,小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置.要使小球回到原来的1号位,至少应逆时针前进8个位置.8÷
4=2(个)周期,2×
2=4(天),所以至少要用4天,小球才又回到原来“1”号位置.
【巩固】如右图,有16把椅子摆成一个圆圈,依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个,再逆时针前进485个,又顺时针前进328个,再逆时针前进485个,又顺时针前进136个,这时他到了第几号椅子?
【解析】这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置,由于792÷
16=49…8,所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置,由于970÷
16=60…10,因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.
【例9】甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。
首先,甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米,间隔5厘米不涂色,再涂5厘米黑色,这样交替做到底。
然后,乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色,然后涂6厘米黑色,再间隔6厘米不涂色,交替做到底,最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少?
【解析】此题最好画图为同学们示意:
在前30厘米内未被涂黑的是:
1,3,5,在31-60厘米内的是:
4,2,因此60厘米一个周期:
(1+3+5+4+2)×
300/60=75厘米.
【例10】右图中,任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891,那么B代表多少?
【解析】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”,可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.
于是:
B=891÷
(9×
9)=11.
【巩固】课外活动时,甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数.甲报“1”,乙报“2”,丙报“3”,丁报“4”,这样每人报的数总比前一个人多1.问“34”是谁报的?
“71”是谁报的?
【解析】根据题意,甲从“1”开始报数,一共报了34次.因为是4个人在报数,所以报4次就要重复一遍,也就是说是以4为一个周期重复的.34里面有8个周期还余2次,所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的,即乙报的.…3,所以“71”应是第三个人报的,即丙报的.
【例11】实验室里有一只特别的钟,一圈共有20个格.每过7分钟,指针跳一次,每跳一次就要跳过9个格,今天早晨8点整的时候,指针恰好从0跳到9,问:
昨天晚上8点整的时候指针指着几?
【解析】昨晚8点至今早8点,共经历(分钟),,说明从今早8点整起,7分钟,7分钟…往回数,昨晚8点后,第1次指针跳是8点6分,直到今早7点53分,指针正好跳到“0”位,指针共跳了102次.
由于每次跳9格,所以共跳了(格).每20格一圈,,因此从“0”位开始,往回倒45圈,还要倒回18格,正是昨晚8点时指针所指处:
,因此昨晚8点整时指针正指着2.
【巩固】有、、三个蜂鸣器,每次持续鸣叫的时间比例是.每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开始鸣叫.最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫,分钟后第二次同时开始鸣叫,此时蜂鸣器已是第次鸣叫了.问:
最初同时开始鸣叫后的多少秒与第一次同时结束鸣叫?
【解析】14分钟即秒,根据题意可知在840秒内蜂鸣器已经鸣叫了42次,也停了42次,那么蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为秒,所以蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为:
秒,那么蜂鸣器每次鸣叫持续秒,蜂鸣器每次鸣叫持续秒,
则、两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为秒和秒,
由于,所以经过391秒之后与要第二次同时开始鸣叫,由于在此时与都停止鸣叫了8秒,所以与第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第秒.
【例12】有一个111位数,各位数字都是1,这个数除以6,余数是几?
商的末位数字是几?
【解析】我们可以用列表的方法寻求周期.
被除数中“1”的个数
1
2
3
4
5
6
7
…
除以6后余数的末位数字
除以6后商的末位数字
8
通过表格我们可以发现,余数出现的周期为3(1,5,3);
第1个“1”上相对应的商为“0”,从第二个“1”开始,商的末位数字的周期为3(1,8,5)
因为,所以这个数除以6后余数的末位数字是3;
因为…2,所以这个数除以6后商的末位数字是8.
【巩固】有一个1111位数,各位数字都是1,这个数除以6,余数是几?
【解析】余数出现的周期为3(1,5,3);
第1个“1”上相对应的商为“0”,从第二个“1”开始,商的末位数字的周期为3(1,8,5),因为…1,所以这个数除以6后余数的末位数字是1;
因为,所以这个数除以6后商的末尾数字是5.
【例13】求的个位数字.
【解析】由128÷
4=32知,的个位数与的个位数相同,等于6。
由29÷
2=14……1知,的个位数与的个位数相同,等于9.因为6<9,在减法中需向十位借位,所以所求个位数字为16-9=7.
【巩固】算式的得数的尾数是几?
【解析】这是一道很经典的题目,分别找规律,我们只看个位数就够了:
7:
7,9,3,1……,367/4=91…3,个位数是3;
2:
2,4,8,6……,762/4=190…2,个位数是4;
3:
3,9,7,1……,123/4=30…3,个位数是7;
因此个位数:
(3+4)×
7=49.
板块三、日期中的周期问题
【例14】阳历1978年1月1日是星期日,阳历2000年1月1日是星期几?
【解析】每四年有一个闰年,闰年的年份被4整除,所以从1978年至1999年共有17个平年,5个闰年,由此可以算出总天数,用总天数除以7,余1是星期一,余2是星期二,依次类推
(天),(星期)……6(天),所以,阳历2000年1月1日是星期六.
【巩固】1999年的元旦是星期五,那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗?
【解析】00、04是闰年,01、02、03、05是平年,一共度过了:
365×
6+2=2192(天),2192÷
7=313…1,
2005年的元旦是星期六
【巩固】小童的生日是6月27日,这一年的6月1日是星期六,小童的生日是星期几呢?
【解析】从日历上可以看到,每个星期有7天,就是以7天为一个周期不断地重复.6月1日是星期六,那么再过7天,即6月8日,还是星期六;
如果再过14天,即6月15日,还是星期六,所以要知道6月27日是星期几,首先要求出6月27日是6月1日后的第几天,(天);
因为每个星期都是7天,也就是周期为7,所以(星期)…5(天).这样,从6月1日开始经过3个星期,最后一天是星期六,从这最后一天再过5天就是星期四.
【巩固】今天是星期三,那么从明天起第365天是星期几?
【解析】题中所说的第365天,不包括今天在内,是说“从今天之后的第365天”.
(星期)…1(天),所以,从明天起,到第365天是星期三.
【巩固】2002年的6月1日是星期六,那么这一年的10月1日是星期几呢?
【解析】我们只要算出6月1日到10月1日要经过多少天,然后按照7天为一个周期,运用周期变化规律解答.由于6月1日与10月1日这两个日子不在同一个月里,就要考虑经过月份是什么月?
一共有多少天?
因为6月有30天,7月有31天,8月有31天,9月有30天,所以6月1日到10月1日要经过的天数:
(天),…4,这个周期从周六开始,那么第4天正好是星期二.
【巩固】2008年3月3号是星期一,算一算2008年8月8号奥运会开幕是星期几?
【解析】首先我们应该算出2008年3月3号到8月8号一共有多少天,(天).按照7天为一个周期,…5,这个周期的第一天是星期一,那么第五天就应该是星期五,所以2008年8月8号奥运会开幕是星期五.
【巩固】2008年的“六·
一”儿童节是星期日,2008年的“十·
一”是星期几?
【解析】(天)…4,这个周期从周日开始,那么第4天正好是星期三.
【巩固】1998年元旦是星期五,l999年元旦是星期几?
2000年元旦是星期几?
2001年元旦是星期几?
【解析】l998年是平年,1998年元旦到l999年元旦共365天.,即l998年元旦到1999年元旦要经过52个星期又l天,1998年元旦是星期五,经过52个星期还是星期五,再经过1天便是星期六,因此l999年元旦是星期六.1999年元旦到2000年元旦也是365天,也要经过52周又l天,故2000年元旦是星期日.因为2000年是闰年,2月份有29天,故2000年元旦到2001年元旦共366天,,2000年元旦是星期日,经过52周还是星期日,再过2天便是星期二,即2001年元旦是星期二.
【巩固】图中是2002年5月份日历表.⑴该月8号是星期几?
⑵该年6月l日是星期几?
该年l0月1日是星期几?
⑶2004年5月l日是星期几?
【解析】一个星期有7天,因此7天为一个周期.从表中我们可以看出l号~7号是一个周期,1号是第一个循环的第一天,7号是第一个循环的最后一天,8号是第二个循环的第一天,计算天数时为了方便,我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法.在算该年6月1日、10月1日、2004年5月1日是星期几时,要注意应准确地算出各是经过了多少天,这其中不要忘记2004年是闰年,共有366天.
⑴该月的8号是星期三.
⑵从5月1日到5月31日共31天,,所以6月1日是星期六.从5月1日到9月30日共l53天.,所以10月1日是星期二.
⑶从2002年的5月1日到2004年的4月30日共731天.,所以2004年5月1日是星期六.
【例15】小区里的李奶奶腿脚不方便,方方、圆圆、长长三名同学做好事,每天早晨轮流为李奶奶取牛奶.方方第一次取奶是星期一,那么,他第100次取奶是星期几?
【解析】21天内,每人取奶7次,方方第8次取奶又是星期一,即每取7次奶为一个周期.…2,所以方方第100次取奶是星期四.
【巩固】甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三,那么当丙首次在周日义诊时,丁医生已经下乡义诊几次了?
【解析】甲第30次
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