初一数学绝对值知识点与经典例题Word文档下载推荐.docx
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d|的几何意义:
在数轴上,衣示这个数的点离开原点的距离.
\a-b\的几何意义:
在数轴上,表示数b对应数轴上两点间的距离.
【去绝对值符号】基本步骤,找零点,分区间,定正负,去符号。
【绝对值不等式】
(1)解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号,转化为一般代数
式类型来解;
(2)证明绝对值不等式主要有两种方法:
A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明:
换元法、讨论法、平方法:
B)利用不等式:
|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与己知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】
例1:
已知|x—2|+|y—3|=0,求x+y的值。
解:
由绝对值的非负性可知x-2=0,y-3=0;
即:
x二2,y=3;
所以x+y二5
判断必知点:
①相反数等于它本身的是0
2倒数等于它本身的是±
1
3绝对值尊于它本身的是非负数
【例题精讲】
(一)绝对值的非负性问题
1.非负性:
若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.
2.绝对值的非负性;
若|d|+|b|+|c|=0,则必有d=0,b=09c=0
【例题】若|x+3|+|y+l|+|z+5|=0,则x-y~z=。
7-2
巩
[
总结:
若干非负数之和为0,
+22p-l=0,则p+2n+3m
3
【巩固】先化简,再求值:
3/b-2ab2-2(ab-—a2b)+2ab.
其中g、b满足d+3b+l+(2d—4)2=0.
(二)绝对值的性质
【例1】若a<
0,则4a+71a|等于()
【例4】若
B.
l+a>
a>
l-b>
-b
C.
B・yVO,x>
D・x=0,y>
0或y=0,
【例9】已知:
xVOVz,xy>
0,且|y|>
|z|>
|x|,那么|x+zI+1y+zI-1x-y|的值()
A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号
【例10】给出下面说法:
(1)互为相反数的两数的绝对值相等;
(2)一个数的绝对值等于本身,这个数不是负数;
(3)若|m|>
m,则m<
0;
(4)若|a|>
|b|,则a>
b,其中正确的有()
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)
(2)(4)
C.
(1)(3)(4)D.
(2)(3)(4)
【例11】已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则
Ic_b_b~a|-|a~c|-
-Icoalb
【巩固】知a、b、c、d都是整数,且|a+b|+1b+c|+1c+d|+d+a|=2,求|a+d|的值。
【例12】若x<
-2,则l-|l+x|=
若Ia|二一a,则|aT|Ta~21=
【例14】若a|+a=0»
|ab|=ab♦|c~c=0>
化简:
|b|-1a+b|-1c~b|+1arc\=
【例15】已知数a、b、c的大小关系如图所示,,…,|
b0ac
则下列各式:
①b+a+(-c)>
0;
②(-a)-b+c>
③纟+2+£
=];
④be-67>
\a\|/?
|c
5\a-b\-\c+k\+\a-c\=-2b-其中正确的有・(请填写番号)
\a\\b\c
【巩固】已知:
abc工0,且M=—4-—H,当a,b,c取不同值时,M有
abc
种不同口J能.
当a、b、c都是正数时,M二;
当a、b、c中有一个负数时,则M二
当a、b、c中有2个负数时,则M二
cabc...
当a、b、c都是负数时,M二・
【巩固】已知ci,b,c是非零整数,且a+b+c=O,求二+纟+同问
(3)绝对值相关化简问题(零点分段法)零点分段法的一般步骤:
找零点〜分区间〜定符号〜去绝对值符号.
【例题】阅读下列材料并解决相关问题:
x(x>
0)
我们知道|x|=Jo(x=O),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,-x(x<
0)
如化简代数式卜+1|+卜一2|时,可令x+l=0和兀一2=0,分别求得
x=—l,x=2(称一1,2分别为卜+1|与卜—2|的零点值),在有理数范圉内,零点
值x=—1和x=2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3屮怙况:
(i)"
ixv—1时,原式=—(x+1)—(兀一2)=—2x+1
(2)当一1Wxv2时,原式=x+l-(x-2)=3
⑶当x22时,原式=x+l+x—2=2x—1
—2x+l(x<
-1)
综上讨论,原式h3(-lWxv2)
2x-l(x22)
(1)|x+2|和丨x-4|的零点值分别为x=-2和x=4・
/IJ1•、▲“JLA1
(2)当x<
-2时,
x+2|+
yJ罗JJXvyA•
x-4|=-2x+2:
当-2WxV4时,|x+2
+X"
4=6;
当x24时,|x+21+1x-41=2x-2・
2.
m+|/7?
-1|+777-2的值
变式5.已知x-3+x+2的最小值是a,x-3一x+2的最大值为b,求
a+b的值。
【例题】
(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与一2,3与5,—2与一6,—4与3.
并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
•
(2)若数轴上的点A表示的数为拓点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离
可以表示为
(3)结合数轴求得x-2|+|x+3|的最小值为—,取得最小值时左的取值范围为_.
(4)满足|x+l|+|x+4|>
3的x的取值范围为,
(5)若|x-l|+|x-2|+|x-3|+L+|x-2008|的值为常数,试求x的取值范围.
(五)、绝对值的最值问」
伙-1|有最小值,这个最小值是多少?
x-ll+3有最小值,这个最小值是多少?
x-l|-3有最小值,这个最小值是多少?
-3+|x-l|有最小值,这个最小值是多少?
-|x-l|有最大值,这个最大值是多少?
2)当x取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?
3)当x取何值时,-x-1卜3有最大值,这个最大值是多少?
4)当x取何值时,3-|X-l|有最大值,这个最大值是多少?
若想很好的解决以上2个例题,我们需要知道如卜知识点:
、
1)非负数:
0和正数,有最小值是0
2)非正数:
0和负数,有最大值是0
3)任意有理数的绝对值都是非负数,UP|a|>
0,则-|a|<
4)x是任意有理数,m是常数,则|x+m>
0,有最小值是0,
-x+m<
0有最大值是0
(可以理解为x是任意有理数,则x+a依然是任意有理数,如|x+3|>
0,-|x+3|<
0或者|x~l|>
0,-|x~l|<
5)x是任意有理数,m和n是常数,则|x+m|+n>
n,有最小值是n
-|x+m|+n<
n,有最大值是n
(可以理解为|x十m|十n是由|x十ml的值向右(n>
0)或者向左(M0)平移了|n|个单位,为
如|x-l|>
0,则|x-l|+3>
3,相当于|x・l|的值整体向右平移了3个单位,|x-l|>
0,
根据3>
4)、5)可以发现,
当绝对值前面是"
+"
号时,代数式有最小值,有号时,代数式有最大值.
例题1:
1)当x取何值时,x-1」有最小值,这个最小值是多少?
2)当x取何值时,|x-l|+3有最小值,这个最小值是多少?
3)当x取何值时,有最小值,这个最小值是多少?
4)当x取何值时,-3+|x-l|有最小值,这个最小值是多少?
1)当x-l=0时,即x=l时,[x-1」有最小值是0
2)当x-l=0时,即x=l时,|
X~1
1+3有最小值是3
3)当x~l=0时,即x=l时,
xT
-3有最小值是-3
4)此题可以将-3+|x-l|变形为|x-l|-3,即当x-1二0时,即x=l时,|
1-3
有最小值是-3
例题2:
1)当x取何值时,-x-l丨有啟大值,这个最大值是多少?
2)当x取何值时,-|x-l+3有最大值,这个最大值是多少?
3)当x取何值时,-|x-l|-3有最大值,这个最大值是多少?
4)当x取何值时,3-|x-l|有最大值,这个最大值是多少?
解:
1)当x-l=0时,即x=l时,-|x-l|有最大值是0
2)当x-l=0时,即x=l时,
Tx-11+3有最大值是3
3)当x-l=0时,即x=l时,
-x-11~3有最大值是-3
4)3-|x-l|可变形为-|x-l|+3可知如2)问一样,即:
当x-l=0时,即x=l时,
二x-1+3有最大值是3
(同学们要学会变通哦
思考:
若x是任意有理数,a和b是常数,则
1)
x+a
有最大(小)值?
最大(小)值是多少?
此时X值是多少?
2)1
+b有最大(小)值?
此时x值是多少?
3)-x+a|+b有最大(小)值?
例题3:
求|x+l|十|x-2|的最小值,并求出此时x的取值范朗分析:
我们先回顾下化简代数式Ix+11+1x-21的过程:
在数轴上找到-1和2的位置,发现和2将数轴分为5个部
1)当*T时,x+l<
0»
x~2<
0,贝9|x+l|+[x-2」=一<
x+l>
-(x-2)二一xT-x+2二一2x+l
2)当x=-1时,x+1二0,x-2=-3,则|x+11勺x-21二0+3二3
3)当-l<
x<
2时,x+l>
0,x-2<
0,贝0|x+11+1x-21=x+l-(x-2)=x+l-x+2=3
4)当x=2时》x+1=3,x-2=0,则|x+l|+|x-2|=3+0=3
5)当x>
2时,x+l>
0,x-2>
0,贝9|x+l+1x2|二x+l+x2=2xl
我们发现:
当x<
T时,」x+1|+Jx-2£
=-2x+1>
当TWxW2时,|x+l|+|x-2|=3
x>
2时,x+l|+x-2|=2x-l>
所以:
可知|x+l|+|x-2|的最小值是3,此时:
-lgx
可令x+1二0和x-2二0,得x=-l和x=2£
-1和2都是零点值)
则当21<
2时,」x+l2丄的最小值是3
评:
若问代数式|x+l|+|x-2|的最小值是多少?
并求X的取值范围?
一般都出现填空题居多;
若是化简代数式|x+l|+|x-2|的常出现解答题中。
所以,针对例题中的问题,同学们只需要最终记住先求零点值,X的取值范围在这2个零点值之间,且包含2个零点值。
例题4:
求|x+ll+|xT2|+|x+13的最小值,并求出此时x的值?
分析:
先回顾化简代数式|x+U+|x-12|+|x+13|的过程
可令x+11=0,xT2=0,x+13=0得x=Tl,x=12,x二-13(-13,-11,12是本题零点值)
1)当*-13时,x+lKO,x-12<
0,x+13<
贝lj|x+111+1xT21+1x+131=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2)当x=-13时,x+11二-2,xT2二-25,x+13二0,
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3)当-13<
-l1时,x+ll<
0,x-12<
0,x+13>
则Ix+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
4)当x二T1时,x+11=0,x-12=-23,x+13二2,
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
5)当-U<
12时,x+ll>
0,xT2<
则|x+111+1xT21+1x+131=x+ll-x+12+x+13=x+36
6)当x=12时,,x+11二23,x-12=0,x+13二25,
则|x+111+1xT21+1x+131=23+0+25=48
7)当x>
12时,x+ll>
0,x-12>
则|x+111+1xT21+1x+131=x+ll+x-12+x+13=3x+12
可知:
-13时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>
27
当x二-13时,|x+ll|+|x-12|+|x+13|=40
当-13<
-l1时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14,25<
-x+14<
当x=-ll时,|x+ll|+|x-12|+|x+13|=25
当-U<
12时,|x+ll|+|x-12|+|x+13|=x+36,25<
x+36<
48
当x=12时|x+ll|+|x-12|+|x+13|=48
当x>
12时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>
观察发现代数式|x+ll|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-ll
解:
可令x+11二0,xT2二0»
_x+13=0x=-l1x=12x=~13(T3,T1,12是
本题零点值)
将-11,12,-13从小到大排列为-13<
-11<
12
可知处亡13和12之间,所以当x=-ll时l|x+ll+x-12+1x+131有最小值是25o
先求零点值,把零点值大小排列,处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。
求代数式|x-11+1x-21+1x-31+1x-41的最小值
回顾化简过程如下令x-l=0,x~2=0,x-3=0,x-4=0
则零点值为x=l,x=2,x=3,x=4
(1)当x<
l时,|x~l|+1x~21+1x~31+1x~4|=-4x+10
(2)当1<
2时,|x~l|+1x-21+1x-3|+1x-41=~2x+8
(3)当2<
3时,|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
(4)当3<
4时,|x-11+1x-21+1x~3|+1x~41=2x~2
(5)当xh4时,|xT|+|x-2|+x-3|+|x-4|=4x-10
根据x的范围判断出相应代数式的范围,在取所有范围中最小的值,即可求出对应的
x的范闌或者取值
根据绝对值的化简过程可以得出
当xVl时,|x-l|+|x-21+x~3|+1x-41二-4x+10>
6
当l<
2时,|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+84<
2x+8<
当2<
3时,|x-l|+|
x-2|+|
x-3|+|x-4|=4
当3<
4时,|x-l|+
x-21+1x-31+1x-41=2x-24<
2x-2<
当沦4时,
xT|+x一2
|+x~3
|+|x-4=4x-10>
则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是2<
归档总结:
若含有奇数个绝对值,处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值,处于中间2个零点值之间的任意一个数(包含零点值)都可以使代数式取最小值例题5:
求|x+ll|+|x-12|+|x+13|的最小值,并求出此时x的值?
在数轴上表示出A点-13,B点Tl,C点12设点D表示数x
则DA=|x+13|DC=|x+ll|DB=|x~12
当点C在点A左侧如图DA+DB+DC二DA+DA+AB+DA+AB+BC=AC
D4
BC
x-13
A
■1112V
当点A与点D重合时,DA+DB+DC二AB+AC>
AC
当点D在点ABZ间时,如图DA协B+DC二DA十DB+DB十BC>
4DBC
A
-13x1112x
当点D与点B重合时,DA+DB+DC二AB+AC二AC
当点D在BC之间如图DA+DB+DC二AB+BD+DB+DC二AC*BD>
AC
ABDC
——>
-13-11x12x
当点D与点C重合时,DA+DB+DC二AC+BOAC当点D在点C右侧时DA+DB协C二AC+CD十BC+CD+CDAAC
综上可知当点D与点B重合时,最小值是AC=12-(-13)=25
则x=-llx=12x=-13
将-11,12,-13从小到大排练为-13<
・••当x=7ll时匚|x+ll^|x712[+x+13的最小值是点A(-13)与点C(⑵之间的距离即AC=12-(-13)=25
【例题6】
x-1|的最小值
x-l|+|x-2的最小值
+1x-4|+1x-5|+1x-6的最小值
+1x-4|+1x-5|+1x-6+1x-71的最小值
+1x-41+1x~51+1x~61+1x-71+|x~81的最小值
|xT|+|x-2+|x_3+1x~41+1x~51+1x~6+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值
Ix_l|+|x_2+|x-3+1x-4|+|x-5|+|x-61+|x-71+|x-81+1x~91+x~101的最小值
【解】:
当x=lJt,xT」的最4、值是0
当1WxW2时,x-11+x-2的最小值1
当x=2时,x~i|十x-2+|x^3的最小值2=2十0
当2WxW3时,|x-l|+」x-2|+]x-3]+[x-4」的最小值4=3+1
当x=3时,x~l|+1x-21+1x-31+1x~4|+1个值6=4+2
当3WxW4时,Ix~l|+|x-21+|x~31+1x~4+1x-51+1x-61的最小值9二5+3+1
当x=4时,x~l
+|x-2|+
x-3
+x-4|+
K一5+
x~6*
x-71的最小值12=6+4+2
当4WxW5时,
xT+|x-21+
x3|+・••+
|x-6|
+x-7|
+
x-8的最小值16=7+5+3+1
当x=5时,x-1
+x-2|+
x—3
+・・・+1x-6
+x-7+x-8
+x-91的最小值20=8+6+4+2
当5WxW6时,
x-1+|x_2+
x_3|+…+
x-8
+x-9
x-10的最小值25=9+7+5+3+1
【解法2】:
捆绑法
x~l十x~2+|x_3+|x-4|十x~5|+x~6+|x~7+x~8|+|x~9十x~10|
=(|x~l1+1x~10)+(|X-2+1x-91)+(|x~31+x~81)+(|x-4+1x-71)+(x-51+x~6|)
若Ix-1|+|xTO|的和最力、可知x査数]和数10之间
Ix-2+1x-9的和最小二可知数x査数2和数9之间
|x-3|+x-8|的和最小,可知数x在数3和数8之间
Ix-41+1x-71的和最小—可知数?
^数£
和数7之间
Ix-51+[x~61的和最小,可知数x在数5和数6之间
・・・若想满足以上和都最小,数x应该在数5和数6之间的任总一个数丄含数5和数6)都可以。
若含有奇数个绝对值时,处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值时,处于中间2个零点值之间的任意一个数(包含零点值)都可以使代数式取最小值
或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以
若想求出最小值可以求关键点即可求出
【例题7】
(1)已知|x|=3,求x的值
(2)已知|x|<
3,求x的取值范围
(3)已知|x|V3,求x的取值范围
(4)已知|x>
3,求x的取值范圉
(5)已知|x|>
【分析】:
绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离,
(1)若|x|=3,贝ijx二-3或x=3
(2)数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3,若|x|<
3,则-3<
(3)若|x|V3,则-3<
(4)数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3,若|x|>
3,则x<
-3或x>
(5)若|x|>
3,则x<
-3或x>
(1)x=-3或x=3
(2)-3<
(3)-3<
3(4)x<
-3^x>
(5)x<
【例题8】
(1)己知|x|<
3,则满足条件的所有x的整数值是多少?
且所有整数的和是多少?
(2)已知|x|V3,则满
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- 初一 数学 绝对值 知识点 经典 例题