国家开放大学《高数基础形考》14答案Word文档格式.docx
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x→∞
B.
lim
x→0
/
19
sin
0D.
x→∞xx
⒍当
→
0
时,变量(C)是无穷小量.
xx
ln(
2)
x→x0
⒎若函数
在点
满足(A),则
连续。
00
)B.f
的某个邻域内有定义
)D.
000
x→x+x→x+x→x-
(二)填空题
3
⒉已知函数
1)
,则
=x2-x.
11
x→∞2
xx
→∞2
x2
⎧1
⒋若函数
⎨
处连续,则
k
e
.
⎪
⒌函数
⎧⎨
1,
⎩
>
⒍
若
A
则
当
时
称
为
时的无穷小量.
(二)计算题
𝑥
⎨
求:
(-2)
(0)
(1)
⒈设函数
⎧e
⎩x
≤
解:
-2
e1
e
⒉求函数
lg
的定义域.
lg
⎧
⎧
⎪
⎩
则定义域为
|
0或x
⎫
⎩2
⎭
⒊在半径为
R
的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直
径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高
的函数.
DD
A
R
OhE
B
C
设梯形
ABCD
即为题中要求的梯形,设高为
h,即
OE=h,下底
CD=2R
直角三角形
AOE
中,利用勾股定理得
AE
OA2
OE2
R2
h2
则上底=
故
S
h
2R
h2
⒋求
3x
x→0
sin3
xsin3
31
33
=
x→0x→0
x→-1
sin(
1)
limx2
1=
1)(x
lim
1)x→-1
1)x→-1
⒍求
tan
x→0x
-1
-2
tan3
x→0xxcos3
x→0sin
⨯
1⨯
cos3
1)(
1)sin
⒏求
lim(
x2
lim(
x→∞
(1-
[(1+
)-
]-1
e-1
e3
e-4
⒐求
6
8
x→4
5x
4
()()
4x→4
(x
4)(x
1)x→4
14
13
⒑设函数
⎧(
2)
讨论
的连续性,并写出其连续区间.
分别对分段点
-1,
处讨论连续性
(1)
4
-1
x→-1+x→-1+
x→-1-
所以
≠
,即
)在
处不连续
x→-1+x→-1-
(2)
2)2
(1
)2
x→1+x→1+
x→1-
即
处连续
x→1+x→1-
由
(1)
(2)得
)在除点
外均连续
)的连续区间为
(-∞,
-1)U
(-1,
+∞)
5
《高等数学基础》作业二
章导数与微分
(一)单项选择题
⒈设
且极限
存在,则
C).
x→0xx
(0)B.f
'
(0)
x)D.0
⒉设
在
可导,则
x0
2h)
D).
)
⒊设
∆x)
A).
∆x→0∆x
A.eB.
2e
eD.
24
⒋设
x(
2)Λ
99)
99B.
99
99!
D.
⒌下列结论中正确的是(
C
).
有极限,则在点
可导.
连续,则在点
可导,则在点
有极限.
连续.
⎪x
sin
⎪0
(e
5e
d
(ln
x5.
xxx
⒊曲线
(1,
处的切线斜率是
⒋曲线
π
处的切线方程是
=2
4224
⒌设
⒍设
y'
(三)计算题
⒈求下列函数的导数
:
⑴
3)e
31
⑵
cot
csc
⑶
⑷
x(-
3(cos
⑸
7
⑹
⑺
(cos
(sin
)3
32
⑻
+
⒉求下列函数的导数
1-x2
ex
-3x
7
8
+x
1-2-1
32
-e
sin(2e
cose
xe
x2
n
nx
n-1
nx
nx)
5sin
⑼
y
ln5cos
sin2
⑽
⑾
⒊在下列方程中,
y(
是由方程确定的函数,求:
2e
=y
y.
=cos
x(1
2sin
yx
9
yx
(2
xy
=y
yy
=1
x(2
y.e
=e
5
⒋求下列函数的微分
dy
)dx
xsin
10
arcsin
dx
dx
)e
两边对数得:
[ln(1
x)]
1-
=(-)
y3
x1
x11
-3(+)
sec2
x3
xdx
⒌求下列函数的二阶导数:
arctan
11
-
3x2
3y
2ln3
⋅
(四)证明题
设
是可导的奇函数,试证
是偶函数.
证:
因为
f(x)是奇函数
两边导数得:
x)(-1)
⇒
是偶函数。
12
《高等数学基础》作业三
章导数的应用
⒈
函
数
满
足
条
件
D
),
存
ξ
∈
(a
b)
使
得
(ξ
(b)
(a)
b
a
内连续B.
内可导
内连续且可导D.
[a
b]
内连续,在
⒉函数
的单调增加区间是(D).
(-∞
2)B.
(2,
∞)D.
(-2,
∞)
⒊函数
在区间
(-6
6)
内满足(A).
先单调下降再单调上升B.
单调下降
先单调上升再单调下降D.
单调上升
⒋函数
满足
的点,一定是
的(C).
间断点B.
极值点
驻点D.
拐点
内有连续的二阶导数,
,若
满足
),则
取到极小值.
0B.f
0000
0D.f
内有连续的二阶导数,且
,则
在此区间内是(
单调减少且是凸的B.
单调减少且是凹的
单调增加且是凸的D.
单调增加且是凹的
13
内可导,
,且当
,当
是
的极小值点.
⒉若函数
可导,且
的极值点,则
=0
的单调减少区间是
(-∞,0)
x2的单调增加区间是
(0,+∞
⒌若函数
内恒有
上的最大值
⒍函数
的拐点是x=0.
⒈求函数
5)2
的单调区间和极值.
令
1)2(
5)
2(
5)(
驻点x
2,
列表:
X
(-∞,2)
上升
极大
27
(2,5)
下降
极小
(5,+∞
极大值:
(2)
极小值:
(5)
[0
3]
内的极值点,并求最大值和最
小值.
令:
2x
0⇒
=1(驻点)
最小值
(3)
6
最大值
求曲线
上的点,使其到点
A(2
0)
的距离最短.
14
设p(
x,
y)是y
x上的点
,d
为
p
到
点的距离,则:
=(
令d
=2(
∴
x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短
。
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为
L
,问当底半径与高分
别为多少时,圆柱体的体积最大?
设园柱体半径为
R,高为
h,则体积
V
πR
L2
)h
[h(-2h)
]
[
3h
=3hh
=3
L
L时其体积最大。
一体积为
的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?
hS
表面积
2πRh
2πR
-2VR
4πR
V
2π
2π
4V
π
2ππ
欲做一个底为正方形,容积为
62.5
立方米的长方体开口容器,怎
样做法用料最省?
设底连长为
x,高为
h。
则:
h⇒
62.5
侧面积为:
xh
250
15
250
答:
当底连长为
米,高为
2.5
米时用料最省。
⒈当
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