中山大学信息光学习题课后答案习题234章作业.docx
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中山大学信息光学习题课后答案习题234章作业
习题2
2.1把下列函数表示成指数傅里叶级数,并画出频谱。
QOQ0
⑴f(x)='rect(x-2n)
(2)g(x)='tri(x-2n)
n--:
:
n二二
2.2证明下列傅里叶变换关系式:
(1)F{rect(x)rect(y)}=sinc()sinc();
(2)F{t(x)上(y)}=sinc2()sinc2();
(3)F{1}=6^/1);(4)F{sgn(x)sgn(y)}=
r1、.,i
(1]
an丿 (5)F{n、(sinnx)};(6)Fy)/a: ° 2.3求x和xf(2x)的傅里叶变换。 2.4求下列函数的傅里叶逆变换,画出函数及其逆变换式的图形。 H()=tri (1)trk(G()=rect(/3)rec 2.5证明下列傅里叶变换定理: (1)在所在f(x,y)连续的点上FF{f(x,y)}=F'{f(x,y)}=f(-x,-y); (2)F{f(x,y)h(x,y)=F{f(x,y)}*F(g(x,y)}° 2.6证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式: (1)若fr(r)-(r-r。 ),则B{fr(r)}=2n。 」。 (2n。 「); (2)若a^r釘时fr(r)=1,而在其他地方为零,贝UB{fr(r)}=」1(2n)—aj1(2启); *1fP) (3)若B{fr(r)}=F(P),贝VB{fr(r)}=p—; ala丿 ⑷B{e-n,eY 2.7设g(r^)在极坐标中可分离变量。 证明若f(r户)二f「(r)e叫,则: F{f(rj)}=(T)meimHm{fr(r)} 其中Hm{}为m阶汉克尔变换: Hm{fr(r)}=2rfr(r)Jm(2n')dr。 而(',)空间频率中的极坐 标。 (提示: eiasinx八二 —: Jk(a)e ikx fx—1\p i'x+3' (1)recti*6(2x—3) (2)rect1 12丿 12丿 计算下列各式的一维卷积。 x-1 (3)rect*comb(x) *、(x-4)*、(x-1) ITOC' (4)sinrect(x) 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 试用卷积定理计算下列各式。 用宽度为a的狭缝,对平面上强度分布 f(x)=2cos(2n0x) 扫描,在狭缝后用光电探测器记录。 求输出强度分布。 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。 假定缝宽为 计算下面函数的相关。 应用傅里叶定理求下面积分。 7n2 (1)ecos(2^ax)dx 002 (2)sine(x)sin(nx)dx 求函数f(x)=rect(x)和f(x) =tri(x)的一阶和二阶导数。 试求下图所示函数的一维自相关。 试计算函数f(x)二rect(x-3)的一阶矩。 证明实函数f(x,y)的自相关是实的偶函数,即: Rff(x,y)二Rff(-x,-y)。 求下列广义函数的傅里叶变换。 (1)step(x) (2)sgn(x)(3)sin(2n0x) 求下列函数的傅里叶逆变换,并画出函数及其逆变换式的图形。 ⑴H(x)二tri(x1)「tri(x-1) (2)G(x)二rect(x/3)「rect(x) 2.20表达式 comb p(x,y)二g(x,y)*comb三( _x 定义了一个周期函数,它在x方向上的周期为 X,它在y方向上的周期为Y。 ⑻证明p的傅里叶变换可以写为: 其中G是g的傅里叶变换。 (b) P(,)。 习题3 3.1设在一线性系统上加一个正弦输入: g(x,y)=cos[2nx•y)],在什么充分条件下,输出是一个 空间频率与输入相同的实数值正弦函数? 用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。 3.2证明零阶贝塞尔函数2J°(2n°r)是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。 对应的本 征值是什么? 3.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换,因此它满足本章把提出的关系系统的定义。 试 问: (a)这个系统是线性的吗? (b)你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数? 如果能够,它是什么? 如果不能,为什么不能? 3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布U°(x,y),其空间频率含量是无限的,而系统的输出是像场 分布Ui(x,y)。 可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器,其传递函数在频域上的区间 「亞Bx,|FBy之外恒等于零。 证明,存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体Uo(x,y), 它与真实物体Uo产生完全一样的像Ui,并且等产供效物体的场分布可写成: OCIOdr U°(x,y)=\'Uo(,)sinc(n-2Bx)sinc(m-2BY)dd joo 3.5定义: 0fif(x,y)dxdy 0HF(今)d® f(o,o)假 F(0,0厂二 分别为原函数f(x,y)及其频谱函数F(】)的“等效面积”和“等效带宽” 「xy nm x_臥,y_2BY ,试证明: .;xyL「二1 上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比,称为傅里叶变换反比定理,亦称面积计算定理。 3.6已知线性不变系统的输入为: f(x)二comb(x)。 系统的传递函数为rect(/b)。 当b=1和b=3时, 求系统的输出g(x),并画出函数及其频谱。 3.7对一个线性不变系统,脉冲响应为: h(x)=7sinc(7x) 用频率域方法对下列的每一个输入fi(x),求其输出gi(x)(必要时,可取合理近似): (1)f|(x)=cos4n (2)f2(x)二cos(4n()rect(x/75) ⑶f3(x)=[1cos(8n)]rect(x/75)(4)f4(x)二comb(x)*rect(2x) 3.8给定正实常数0和实常数a和b,求证: (1) 若|b|—,则—sinc(x/b)*cos(2 2-0|b| n0x)二cos(2n0x) 若|b|丄,则—sinc(x/b)*cos(2 2-0|b| noX)=O 若|b|: : |a|,则sinc(x/b)*sinc(x/a) =|b|sinc(x/a) (4)若|b|: : 回,则sinc(x/b)*sinc2(x/a)=|b|sinc2(x/a) 2 1 3.9若限带函数f(x)的傅里叶变换在带宽w之外恒为零, (1)如果|a|,证明: w 1 |a| sin(x(a/)叹=(f)x () (2)如果|a|•丄,上面的等式还成立吗? w 3.10给定一个线性系统,输入为有限延伸的矩形波: g(x)二1comb(x/3)rect(x/100)*rect(x) 若系统脉冲响应: h(x)二rect(x—1)。 求系统的输出,并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的 图形。 3.11 给定一线性不变系统,输入函数为有限延伸的三角波 g(x)二-comb(x/2)rect(x/50)*tri(x)IL2 对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出: (1)H()二rect(/2) (2)H()二rect(/4)-rect(/2) 2 3.12若对函数: h(x)=asinc(ax)抽样,求允许的最大抽样间隔。 3.13证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数,遵从下述抽样定 理: g(x,y)W£glX工匸J 12B2B.丿42n/2B)2+(y-m/2B)2 习题4 4.1尺寸为ab的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明,求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。 4.2采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径,求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布: (1)t(x°,y。 )=circ(Jx: +y: )⑵t(X0,y°)=J1,: 科x°+y0, 10,其它 4.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为: t(x0)=abcos(2二x0/d) 式中,d为光栅的周期,ab0。 观察平面与光栅相距z。 当z分别取下述值时,确定单色平面波垂直照明光栅,在观察平面上产生的强度分布。 ⑶zg 面上,坐标为(0,b)。 假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内,证明观察平面上强 度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。 位于夫琅禾费区,也孔径相距为z。 求衍射图样的强度分布。 用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径,求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强 度分布。 单位振幅的单色平面波垂直照明孔径,求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图 样的强度分布并画出沿y方向截面图。 4.8参看下图,边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模,其中心落在 (,)点。 采用单位振幅的单色平面波垂直照射,求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾 费射图样的光场分布。 画出x'y'O时,孔径频谱在x方向上的截面图。 4.9下图所示孔径由两个相同的矩孔构成,它们的宽度为a,长度为b,中心相距d。 采用单 位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。 假定b=4a及d=1.5a,画出沿x和y方向上强度分布的截面图。 4.10下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示,即: t(xo)=step(xo) 采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图 样的复振幅分布。 画出沿x方向的振幅分布曲线。 4.11下图所示为宽度为a的单狭缝,它的两半部分之间通过相位介质引入位相差n。 采用单 位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。 画出沿x方向的截面图。 4.12线光栅的缝宽为a,光栅常数为d,光栅整体孔径是边长L的正方形。 试对下述条件,分别确定a和d之间的关系: (1)光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。 (2)光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。 4.13衍射屏由两个错开的网络构成,其透过率可以表示为: t(x,y))=combx(a/)coynbb/)comb[aa0.1)y)bcomb(/) 采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强 度分布。 画出沿x方向的截面图。 4.14如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。 其折射率为n,齿宽为a,齿形角为: •,光栅的 整体孔径为边长为L的正方形。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距光栅为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。 若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大,: 角应如何选择? 4.15衍射零是由mn个圆孔构成的方形列阵,它们的半径都为a,其中心在xo方向间距为 dx,在y。 方向间距为dy,采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏,求相距为z的观 察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。 4.16在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒,它们的半径都是a。 采用单 位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。 古希腊哲学大师亚里士多德说: 人有两种,一种即吃饭是为了活着”一种是活着是为了吃饭”一个人之所以伟大,首先是因为他有超于常人的心。 志当存高远”,风物长宜放眼量”这些古语皆鼓舞人们要树立雄无数个自 己,万千种模样,万千愫情怀。 有的和你心手相牵,有的和你对抗,有的给你雪中送炭,有的给你烦忧…… 与其说人的一生是同命运抗争,与性格妥协,不如说是与自己抗争,与自己妥协。 人最终要寻找的,就是最爱的那个自己。 只是这个自己,有人终其一生也未找到;有人只揭开了冰山的一角,有人有幸会晤一次,却已用尽一生。 人生最难抵达的其实就是自己。 我不敢恭维我所有的自己都是美好的,因为总有个对抗的声音: 你还没有这样的底气。 很惭愧,坦白说,自己就是这个样子: 卑微过,像一棵草,像一只蚁,甚至像一粒土块,但拒绝猥琐! 懦弱过,像掉落下来的果实,被人掸掉的灰尘,但拒绝屈膝,宁可以卵击石,以渺小决战强大。 自私过,比如遇到喜欢的人或物,也想不择手段,据为己有。 贪婪过,比如面对名利、金钱、豪宅名车,风花雪月,也会心旌摇摇,浮想联翩。 倔强过,比如面对误解、轻蔑,有泪也待到无人处再流,有委屈也不诉说,不申辩,直到做好,给自己证明,给自己看! 温柔过,当爱如春风袭来,当情如花朵芳醇,黄昏月下,你侬我侬。 强大过,内刚外柔,和风雨搏击,和坎坷宣战,不失初心,不忘梦想,虽败犹荣。 庸俗的自己,逐流的自己,又兼点若仙的自己,美的自己,丑的自己,千篇一律的自己,独一无二的自己。 我们总想寻一座庙宇,来安放尘世的疲惫,寻一种宗教,来稀释灵魂里的荒凉。 到头来,却发现,苦苦向往的湖光山色,原来一直在自己的心里,我就是自己的庙宇,我就是自己的信仰。 渺小如己,伟大如己! 王是自己,囚是自己。 庙堂是自己,陋室是自己。 上帝是自己,庶民是自己。 别人身上或多或少都投射着一个自己,易被影响又不为所动的自己。 万物的折痕里都会逢到一个缩小版的自己,恍如隔世相逢,因此,会痴爱某一物,也会痛恨某一物的自己。 万事的细节里都会找到自己的影子,或喜或忧的自己。
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- 中山大学 信息 光学 习题 课后 答案 234 作业