毕业论文-中心极限定理.doc
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摘要
本文主要介绍了三种不同场合下的中心极限定理的内容及其详细证明,进而探讨了各定理的适用范围及其在数学分析、概率统计和现实生活中的主要应用,另外讨论了这三种不同场合下的中心极限定理之间的关系.在定理的解释证明及应用方面,给出了三大定理较为详细的解释,并利用MATLAB来实现对中心极限定理的证明;在应用方面,举例说明了中心极限定理在近似计算、抽样推断以及如何利用正态分布近似产生正态随机数等方面的应用.其中,在近似计算中的应用中,主要包括在保险业、商场管理、统计推断及现代科学计算等领域中的应用.
关键词:
中心极限定理,正态分布,特征函数,正态随机数,抽样推断,MATLAB
Abstract
Inthepaper,Centrallimittheoremandit’sproofinthreedifferentaspectsarediscussed.What’smore,theDeMoivre-Laplacetheorem,theLindebery-LevytheoremandtheLyapounovtheoropicincludefivechapters:
thefirstchapterintroducestemandtheirdetailedproofs.Thenthetopicgivesthelimitsofeverycentrallimittheoremandtheapplicationsofmathematicalanalysis,probabilityandreallife.Inaddition,italsodiscusses the relationshipbetween the centrallimittheorem under threedifferent occasions.Intheinterpretationofthesetheoremsandtheirapplications,itgivesthedetailedexplanationof3bigtheorems,whichmakesafullofMATLABtoprovecenterlimittheorem;inapplication,itgivesthecentrallimittheoreminapproximatecalculation,whichmainlyincludestheinsurancebusiness,marketmanagement,statisticalinferenceandmodernscientificcomputingapplications,samplinginferenceandhowtousethenormaldistributionapproximatelytoproducenormalrandomnumber.
Keywords:
centrallimittheorem;normaldistribution;Characteristicfunction;normalrandomvariable;sampleinfer;MATLAB
目录
第1章引言 1
第2章预备知识 5
第3章三种不同场合下的中心极限定理 5
3.1伯努利试验场合及棣莫弗——拉普拉斯定理 5
3.2独立同分布场合及林德贝格——勒维定理 7
3.3独立和的分布函数向正态分布函数收敛 9
2.3.1林德贝格定理 9
2.3.2李雅普诺夫定理 14
3.4三种场合下的中心极限定理的关系 15
第4章用MATLAB实现对中心极限定理的模拟证明 16
4.1数学模型 16
4.2设计过程 17
4.3仿真结果 17
第5章中心极限定理的应用 20
5.1用中心极限定理证明较复杂的极限等式 21
5.2中心极限定理在近似计算中的应用 21
5.2.1中心极限定理在保险业中的应用 22
5.2.2中心极限定理在商场管理中的应用 23
5.2.3中心极限定理在统计推断中的应用 27
5.2.4中心极限定理在现代科学计算中的应用 28
5.3中心极限定理来近似产生正态随机数 29
5.4中心极限定理在抽样推断中的应用 32
5.4.1概率预测 32
5.4.2估计总体概率的样本容量推断 33
5.4.3总体容量的推断 35
5.4.4 用期望值作估计量的误差推断 36
第6章结论 37
参考文献 38
I
黄冈师范学院本科学位论文
第1章引言
在实际生活中,有许多随机变量是由大量相互独立的随机因素综合形成的,因而它们均可表现为大量的随机变量之和。
例如:
某城市一小时内的耗电量是由足够多的用户耗电量的总和;发生虫害的某一地区的害虫数是由许多块地区上的害虫数的总和。
因此,人们常常将这类由大量独立的随机变量之和的随机变量及其分布规律进行研究。
在许多的场合下,随机变量的极限分布均可归结为随机变量之和的极限分布。
在随机变量的分布中,正态分布占有特殊重要的地位,人们常把它称为中心分布。
诸如人的身高、体重、测量误差、产品的质量等等都是服从正态分布的随机变量。
在某些条件下,也有很多不服从正态分布的独立的随机变量,当随机变量的个数达到一定的数量时,它们的和的分布趋于正态分布。
例如学生考试成绩的分布、射击命中点与靶心距离的偏差等。
经观察表明,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成,而每一个个别因素在总影响中所起的作用不大,则这种量一般都服从或近似服从正态分布。
在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。
中心极限定理是大样本统计推断的理论基础,因而在现实生活中具有重要意义。
有很多学者对中心极限定理及其应用方面得内容进行了探讨。
如文献【1-3】对概率论与数理统计进行的研究,文献【4-6】则系统的对中心极限定理进行的阐述和证明,文献【7-17】则对中心极限定理的应用进行了列举,文献【18-22】是国外学者对中心极限定理的相关探讨,受上述文献的启发,本文主要介绍了三种不同场合下的中心极限定理的内容及其详细证明,进而探讨了各定理的适用范围及其在数学分析、概率统计和现实生活中的主要应用,另外讨论了这三种不同场合下的中心极限定理之间的关系.在定理的解释证明及应用方面,给出了三大定理较为详细的解释,并利用MATLAB来实现对中心极限定理的证明;在应用方面,举例说明了中心极限定理在近似计算、抽样推断以及如何利用正态分布近似产生正态随机数等方面的应用.其中,在近似计算中的应用中,主要包括在保险业、商场管理、统计推断及现代科学计算等领域中的应用.
第2章预备知识
为了方便理解本文的知识,本文添加了相关概念和定理等。
定义1[1]若随机变量的概率密度为
,,,,为常数,
则称服从参数为,的正态分布,记为。
特别地,当,时,成服从标准正态分布。
定义2[1]设是任一随机变量,称,是的特征函数。
性质1[1]在上一致连续,且,。
这里表示的共轭。
性质2[1]是非负定的,即对任意的一组及复数,恒有
,
其中为任意正整数。
性质3[1]设是的特征函数,则的特征函数为
。
性质[1]设,的特征函数分别为,,又,相互独立,则的特征函数为。
性质[1]若随机变量的阶阶矩存在,则的特征函数可微分次,且当时,。
定理1[2](唯一性定理)若的特征函数为,则的分布函数在其连续点上的值为。
当为连续型随机变量时,其特征函数绝对可积,即,的分布密度为。
定理[1]设为一随机变量序列,它们相应的分布函数列为,对应的特征函数列为,若收敛于一连续函数,则存在一个分布函数,使其在的连续点上,有,而且就是分布函数的特征函数。
第3章三种不同场合下的中心极限定理
定理3.1[1]设是相互独立的随机变量序列,它们有有限的数学期望和方差,且,,
令,若对于任意的,都有
.
则称服从中心极限定理.
3.1伯努利试验场合及棣莫弗——拉普拉斯定理
定理3.2[1]设随机变量服从参数为的二项分布,则
。
证:
将看成是由n个相互独立且服从同一个分布的随机变量之和,即
,
其中的分布律为
。
由于
,,,
由中心极限定理知,
。
注:
设在重伯努利试验中事件恰好发生的次数为,则
,,
其中为事件在每次试验中出现的概率,为事件在每次试验中不出现的概率,,则随机变量服从二项分布,记为。
这个定理表明,正态分布是二项分布的极限分布.如是次伯努利试验中事件出现的次数,即,当时,有
。
上式就是棣莫弗——拉普拉斯的积分极限定理。
定理3.3[1]
。
由此可得一渐进算式:
。
证[3]:
。
注:
棣莫弗——拉普拉斯定理直接用于二项分布的近似计算,它也用于频率与概率误差的计算,这主要体现在:
。
这类计算一般分为三种情况:
(1)已知,,,求;
(2)已知,,,求;
(3)已知,,,求,在未知时,可利用可得的估计式。
3.2独立同分布场合及林德贝格——勒维定理
定理3.4[1]设为相互独立、同分布的随机变量序列,且有有限的期望和方差,即
,,
则随机变量
的分布函数,对任意的,都有
。
证[1]:
先考虑标准化随机变量和
。
设的特征函数为,由特征函数的性质和性质的推论知,的特征函数为:
。
由于,,故由特征函数的性质知,,,因此的泰勒级数展开式为
。
从而对任意固定的,有
,。
显然,为连续函数,由定理知,存在分布函数,使,其中为的分布函数,而为的特征函数。
由特征函数的唯一性知,为标准正态变量的分布函数,故的极限分布为标准正态分布,即
。
注:
①这个定理说明了,在定理所满足的条件下,当很大时,随机变量近似服从正态分布,或者说,当很大时,独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
②当足够大以后,有近似式:
。
类似的有如下三种情况:
(1)求;
(2)求最小;
(3)在一定概率下的取值范围。
3.3独立和的分布函数向正态分布函数收敛
3.3.1林德贝格定理
定理2.5[1]设为互相独立的随机变量序列,且满足林德贝格条件,即对任意,有
。
(1)
其中,为的分布函数,,。
则服从中心极限定理,即对任意的实数,有
。
(2)
证[1]:
为证此定理,先证下列三个不等式:
对任意实数,有
(3)
(4)
(5)实际上,当时,上面三式明显成立。
设,则
,
则
,
从而有
。
利用,可见
(1)
(2)(3)的两边都是的偶函数,故它们都对成立。
令
(6)
以、分别表示的特征函数与分布函数,因而
,(7)
,,(8)
。
(9)
在这些记法下,由(5)式知,
。
故
(1)可化为:
对任意,有
。
(10)
而
(2)可化为:
对一致地有
。
(11)
如果在条件(10)下,能够证明的特征函数
。
亦即
。
(12)
则有特征函数定理可得(11)式成立;于是定理得证。
为了证明(12),可分为两步:
先证可展开为
。
(13)
其中,函数在的任意有限区间上一致地趋于零。
实际上,由(8)的前一式知,
。
(14)
根据(4)有,
。
(15)
其中。
由(10),对于一切充分大的,有,从而关于及任何有限区间中的,一致地有
,
。
因而对任意,一致地有
。
(16)
特别地,当时,对一切充分大的,下式成立:
。
(17)
因此,在中,有展开式
。
(18)
其中
。
由(17)知,
。
但由(15)式中的第一个不等式及(9)式有,
。
故
。
由(16)可见,当时,关于任意有限区间中的一致地有
。
(19)
(2)令,由(14)式得,
。
(20)
若能证明:
对任意有限区间中一致地有
。
(21)
那么以(20)代入(13)并联合
(1)中结论,即得证(12),从而定理得以完全证明。
下证(21):
由(9)知,
。
对任意的,有
。
由(4)(5)得,
。
由(9)可见:
对,有
。
(22)
对任意,可选使
。
又有(10),存在正整数,使对此及有
。
(23)
于是当时,对一切,有
。
所以(21)式得证,综上所述,定理得证。
3.3.2李雅普诺夫定理
定理2.6[1]设为互相独立的随机变量序列,记,,,若存在,使如下条件成立
,
则对任意的实数,有
。
证[1]:
只要验证林德贝格条件满足,由林德贝格定理即可得到结论。
由知,
。
所以,林德贝格条件满足,定理得证。
注:
这两个定理仅要求各独立,而不要求同分布,林德贝格条件成立时,即对任意,有
。
这说明的每一个被加项,当充分大时,有
。
若记,,则近似的认为当充分大时,成立
。
在上式中,若已知,,三者中的两个,就可求出另一个。
因此,常常有如下的三种情况:
(1)已知和,更准确地说是已知的取值范围,求概率.这类题目一般是直接使用中心极限定理。
查正态分布表,求出概率的近似值。
(2)已知和,求中的。
这时也是应用中心极限定理,反查正态分布表,从而得到一个方程,从中可解出。
(3)已知和(或的形式),求。
往往是应用中心极限定理,反查正态分布表,从而得到一个方程,并从中解出。
此时,可利用此,求出随机变量的取值范围。
3.4三种场合下的中心极限定理的关系
棣莫弗——拉普拉斯与林德贝格——勒维定理的关系,棣莫弗——拉普拉斯定理实际上就是林德贝格——勒维定理在随机变量序列独立同分布的情形。
林德贝格——勒维定理是林德贝格定理的推论,证明如下:
证[5]:
设是独立同分布的随机变量序列,且有有限的期望和方差
,,
则
,
对任意的,有
,
由于,所以当时,有
。
注:
由林德贝格定理可知服从中心极限定理,即林德贝格——勒维定理成立。
各定理的适用范围有些不同:
若随机变量序列式独立同分布的,则用林德贝格——勒维定理;若随机变量序列不但是独立同分布的,而且服从伯努利分布,则用棣莫弗——拉普拉斯定理;若随机变量序列独立而不同分布时,则用李雅普诺夫定理或林德贝格定理。
第4章用MATLAB实现对中心极限定理的模拟证明
4.1数学模型[6]
设随机变量相互独立,且服从同一分布,具有数学期望和方差:
,,
则随机变量之和的标准化变量的分布函数对于任意满足。
独立同分布函数表达式,
正态分布函数表达式。
4.2设计过程
为了验证当很大时,独立同分布近似地服从正态分布,分别构造独立同分布函数和正态分布函数,将独立同分布的随机点数目取得足够的大,然后绘图、观察这两种情况的分布拟合程度。
绘制独立同分布的图形:
s=sum(r);
mu=mean(s);%求随机数的平均值
sigma=std(s);%求均方差
[n,x]=hist(s,mu-5*sigma:
sigma:
mu+5*sigma);%从其中取10个数的和
bar(x,n/M/sigma,'r')%绘制直方图
绘制正态分布的图形:
h=mu-5*sigma:
0.1*sigma:
mu+5*sigma;%从其中取100个数
a=-(h-mu).^2/(2*sigma^2);
b=1/sqrt(2*pi)/sigma;
t=b.*exp(a);
plot(h,t,'K')%绘制数值曲线
4.3仿真结果
当时,
图3-1中心极限定理
当时,
图3-2中心极限定理
当时,
图3-3中心极限定理
分析以上三幅图可知:
从单独的一张图来看,正态分布曲线和独立同分布直方图总的来说是比较吻合的;比较这三张图形,可以看出第二张图形拟合的较好,第三张图形拟合的更好。
而产生这种视觉效果,正是因为这三张图形所使用的源代码唯一的不同之处在于的取值,且。
由此可以说明,当的取值很大时,独立同分布可以近似地趋近于正态分布。
第5章中心极限定理的应用
5.1用中心极限定理证明较复杂的极限等式
在求解一些较复杂的极限时,有时可采用概率论的方法进行求解,其中一部分需要利用中心极限定理,将所要求的极限式与已知的特殊概率分布相联系,从而解除一些用分析方法不易求解的极限值。
例[7]证明:
。
证:
设为一独立同分布随机变量序列,每个均服从参数为的泊松分布,则,,服从参数为的泊松分布。
故
。
由林德贝格——勒维中心极限定理可知,
。
注:
若的分布律为
,,,
则称服从参数为的泊松分布,记为。
本例题是用概率论的方法来证明等式的一例,关键是根据中心极限定理知道,泊松分布时以正态分布为极限分布的。
5.2中心极限定理在近似计算中的应用
5.2.1中心极限定理在保险业中的应用
例1[8]在一家保险公司里有人投保,每人每年付元保险费,在一年内投保者中,每个人死亡的概率为,死亡后家属可向保险公司领取元的补偿金,求:
(1)保险公司一年的利润不少于万元的概率;
(2)保险公司亏本的概率;
(3)保险公司一年的利润在万元到万元之间的概率.
解:
令
,.
所有的相互独立,且都服从分布,因此
,.
设入保险的人中,一年内死亡的人数为,则.
从而
,.
由中心极限定理知,
.
(1)保险公司一年的利润不少于万元,即,则其概率为
.
即保险公司一年的利润不少于万元的概率为.
(2)保险公司亏本,即,则其概率为
.
即保险公司亏本的概率为.
(3)保险公司一年的利润在万元到万元之间,即,则其概率为
.
注:
该问题是棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理在经济问题中的一个应用.在此,我们可以发现:
若随机变量序列不仅仅是独立同分布的,而且服从伯努利分布,则用棣莫弗——拉普拉斯定理来近似计算相对方便简洁.通过对该问题的研究,我们发现,保险公司亏本的概率为不可能事件,这就是保险公司为什么那么乐于开展保险业务的原因.
5.2.2中心极限定理在商场管理中的应用
1商品订购问题[9]
例2某商店负责供应某地人的日用商品,某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为,假定在这段时间内,每个人购买与否彼此独立,问该商店应至少备多少件这种商品才能以的概率保证不脱销。
解:
令每个人购买这种商品与否为,则
,.
于是随机变量序列相互独立,设商店应预备件商品,则服从参数,的二项分布。
根据题意知,
,。
所以,的数学期望和方差分别为:
,
。
由棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理得,
。
查正态分布表得,
,
故。
因此,该商店应至少预备件这种产品才能以的概率保证不脱销。
2电力供应问题[10]
例3商店的某部门有台同型号的电器,每台电器开动时所需用的电力为千瓦.每台电器的开停可视为处于随机状态,且相互不影响,而每台电器开着的概率为。
问至少应供应这批电器多大的电力,才能以的把握保证这批电器都能正常工作。
解:
将一台电器工作与否可视为一次试验,则台电器中,工作着的电器总数服从。
令应需供电千瓦才能以的把握保证这批电器都能正常工作,即。
而随机变量的数学期望和方差分别为:
,
。
由棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理得,
。
查正态分布表知,
,
所以。
这说明只要给该部门供电千瓦,那么由于供电因素而影响工作的概率即小于。
3抽样检验问题[11]
例4某公司在抽样检查一种产品质量时,如果发现这种产品中次品的个数多于个,则拒绝接受该产品,否则接受该产品.设该批产品的次品率为,问至少应从中抽取多少个产品进行检查,才能保证拒绝该产品的概率达到。
解:
设至少应从中抽取件产品,才能满足题目条件。
为次品数,且
,。
则,且,,
从而
,。
由棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理得,
。
由于充分大时,,所以,
即
。
查标准正态分布表得,
。
解得,所以至少应从中抽取个产品进行检查,才能保证拒绝该产品的概率达到。
4水房拥挤问题[12]
例5假设某学校新校区有学生人,只有一个开水房,由于每天晚上打水的人较多,经常会出现同学排队长的现象。
为此,校学生会特向后勤部提议要增设水龙头。
假设后勤部经调查发现,每个学生在晚上一般有的时间要占用一个水龙头,现有水龙头个,现在总务处所遇到的问题如下:
(1)未装新龙头前,出现拥挤现象的概率;
(2)至少需要装多少个新水龙头,才能以以上的概率保证不拥挤。
解:
(1)设在同一时刻,个学生中,占用水龙头的人数为,则。
则出现拥挤现象的概率为:
。
因为,,,,,
由棣莫弗——拉普拉斯中心
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