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算法初步单元总结与测试
2011版高三数学一轮精品复习学案:
第九章算法初步
单元总结与测试
【章节知识网络】
【章节强化训练】
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分)
1.下列对赋值语句的描述正确的是()
①可以给变量提供初值;②将表达式的值赋给变量;
③可以给一个变量重复赋值;④不能给同一变量重复赋值
(A)①②③(B)①②
(C)②③④(D)①②④
【解析】选A.由赋值语句的作用知①、②、③正确,
2.算法的有穷性是指()
(A)算法必须包含输出
(B)算法中每个操作步骤都是可执行的
(C)算法的步骤必须有限
(D)以上说法均不正确
【解析】选C.算法具有确定性、有序性和有穷性,其中有穷性指的是算法必须在有限步后结束,即算法的步骤必须有限.
3.在Scilab语言中,以下条件语句表达式正确的有()
①x<1andx>0②x≤1③0<x<1④x≠1
(A)0个(B)1个
(C)2个(D)3个
【解析】选B.①是正确的,
②应写为x<=1,
③应是①的书写格式,
④应书写为x<>1.
4.要解决下面的问题,只用顺序结构画不出其算法框图的是()
(A)利用公式1+2+…+n=
计算1+2+…+10的值
(B)当圆的面积已知时,求圆的周长
(C)当给定一个数x,求其绝对值
(D)求函数f(x)=x2-3x-5的函数值
【解析】选C.当给定一个数x,求其绝对值时要对x的符号进行判断,需用条件结构.
5.用更相减损之术可求得204与85的最大公约数是()
(A)15(B)17(C)51(D)85
【解析】选B.∵(204,85)→(119,85)→(34,85)→(34,51)→(34,17)→(17,17),
∴204与85的最大公约数是17.
6.用二分法求方程x2-2=0的近似解的算法中,要用到哪种算法结构()
(A)顺序结构(B)条件结构
(C)循环结构(D)以上都用
【解析】选D.用二分法求方程的近似解要通过多次循环完成,故应用到循环结构,而循环结构中又有条件结构和顺序结构.
7.利用秦九韶算法求当x=2时,f(x)=1+2x+3x2+…+6x5的值,下列说法正确的是()
(A)先求1+2×2
(B)先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4
(C)f
(2)=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解.
(D)以上都不对
【解析】选B.根据秦九韶算法,把多项式改成
f(x)=((((6x+5)x+4)x+3)x+2)x+1
v0=6,v1=6×2+5,
v2=2×(6×2+5)+4,
∴A错,B正确.C没用秦九韶算法,错误.故选B.
8.如图所示程序框图运行后,输出的结果是()
(A)13(B)15(C)14(D)16
【解析】选B.b=1+21+22+23=15.
9.阅读程序框图,其输出的结果是()
(A)4(B)5(C)6(D)13
【解析】选D.x=2时,y=2×2+1=5;b=3×5-2=13.
10.根据以下程序框图,当输入a=50,b=200时,输出的结果S等于()
(A)10000(B)3800(C)3000(D)1800
【解析】选B.∵a=50>30,
∴y=0.3×30+0.5×(50-30)
=9+10=19.
∵b=200,
∴S=by=200×19=3800.
11.某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1,a2,…,aN,其中收入记为正数,支出记为负数.该店用程序框图计算月总收入S和月净盈利V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的()
(A)A>0?
V=S-T
(B)A<0?
V=S-T
(C)A>0?
V=S+T
(D)A<0?
V=S+T
【解析】选C.月总收入为S,因此A>0时归入S,判断框内填“A>0?
”,支出T为负数,因此月盈利V=S+T.
12.某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据
,
,。
。
。
,其中收入记为正数,支出记为负数。
该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的(C)
(A)A>0,V=S-T(B)A<0,V=S-T(C)A>0,V=S+T(D)A<0,V=S+T
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,总分16分)
13.若九进制数16m27(9)化成十进制数为11203,则m的值为_______.
【解析】16m27(9)
=1×94+6×93+m×92+2×9+7=11203,
∴m=3.
答案:
3
14.读程序完成下列题目:
(1)若执行程序时,没有执行语句y=x+1,则输入x的范围是_________.
(2)若执行结果y的值是5,则执行的赋值语句是______,输入的x的值是________.
【解析】此程序表达的问题是函数y=
所以
(1)若没有执行语句y=x+1,则输出x的范围是x≤1;
(2)执行结果y的值是5,此时执行的语句是y=x+1,输入的x的值是4.
答案:
(1)x≤1
(2)y=x+14
15.下面的程序输出的结果S为____.
【解析】由程序知:
当i=1,S=2×0+3=3;
当i=3,S=2×3+3=9;
当i=5时,S=2×9+3=21,
此时S>20,则S=21-20=1;
当i=7时,S=2×1+3=5;
当i=9时,S=2×5+3=13;
当i=11时,S=2×13+3=29,此时29>20,
∴S=29-20=9.∴程序输出的结果是9.
答案:
9
16.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_______.
【解析】由程序框图知,循环体被执行后a的值依次为3、7、15、31、63、127,故输出的结果是127.
答案:
127
三、解答题(本大题共6个小题,总分74分)
17.(12分)已知一个5次多项式为f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值.
v0=5;v1=5×5+2=27;
v2=27×5+3.5=138.5;
v3=138.5×5-2.6=689.9;
v4=689.9×5+1.7=3451.2;
v5=3451.2×5-0.8=17255.2.所以,当x=5时,多项式的值等于17255.2.
18.(12分)用两种方法求161与253的最大公约数.
【解析】方法一:
辗转相除法
253=161×1+92,
161=92×1+69,
92=69×1+23,
69=23×3+0.
∴161与253的最大公约数为23.
方法二:
更相减损术
253-161=92,
161-92=69,
92-69=23,
69-23=46,
46-23=23.
∴161与253的最大公约数为23.
19.(12分)如果一个四位数等于它的各数位上的数字的4次方的和,则称这个四位数为“玫瑰花数”,如1634=14+64+34+44,设计一个程序,找出所有的玫瑰花数.
【解析】因为需要判断所有四位数是否满足条件,故需要从1000循环到9999.每个数需要取出每个数位上的数字,可以通过取商和取余数的运算得到.
程序如下:
20.(12分)已知数列
中,
,且
,求这个数列的第m项
的值
。
现给出此算法流程图的一部分,
(1)请将空格部分(两个)填上适当的内容,
(2)用“For”循环语句写出对应的算法。
(本题满分12分)
解答:
2
m+1
21.(12分)根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为
;
(Ⅰ)求数列
的通项公式
;
(Ⅱ)写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn,并证明你的结论;
(Ⅲ)求
解析:
(Ⅰ)由框图,知数列
……2分
∴
……3分
(Ⅱ)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.
由此,猜想
……5分
证明:
由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2
∴
∴
∴数列{yn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列。
……7分
∴
+1=3·3n-1=3n
∴
=3n-1(
)……8分
(Ⅲ)zn=
=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)
=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n-[1+3+…+(2n-1)]……9分
记Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n,①……10分
则3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1②
①-②,得-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1
=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1
=2×
=
∴
……12分
又1+3+…+(2n-1)=n2……13分
∴
.……14分
22.(14分)修订后的《中华人民共和国个人所得税》法规定,公民全月工资、薪金所得税的起征点为1600元,即月收入不超过1600元,免于征税;超过1600元的按以下税率纳税;超过部分在500元以内(含500元)税率为5%,超过500元至2000元的部分(含2000元)税率为10%,超过2000元至5000元部分,税率为15%,已知某厂工人的月最高收入不高于5000元。
(1)请用自然语言写出该厂工人的月收入与应纳税款的一个算法(不要写成程序框图或计算机程序);
(2)将该算法用程序框图描述之。
(3)写出相应的计算机程序
解答:
(1)算法:
第一步输入工资x(注x<=5000);
第二步如果x<=1600,那么y=0;如果1600 否则y=25+0.1(x-2100) 第三步输出税款y,结束。 (2)程序框图为: (3)INPUTx (x<=5000) IFx<=1600THEN y=0 ELSEIFx<=1600THEN y=0.05*(x-1600) ELSE y=25+0.1(x-2100) ENDIF ENDIF PRINTy END 【思想与方法解读】 构建算法意识培养算法思想 ——新课标高考《算法初步》专题复习 本文将根据《算法初步》的内容,从四个方面讨论算法的含义、基本结构、基本语句、基本思想。 一、领会算法精要体验算法算理 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。 但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。 如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括号,竖式笔算规则等都是算法,至于九九八十一等乘法口诀则更是算法的具体体现。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。 比如某道菜的菜谱就是一个算法,电话机的使用说明书是操作电视机的算法,歌谱是一首歌曲的算法等。 但在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成。 算法的特点是: (1)有限性: 一个算法在执行时,必须经过有限步后停下来,结束算法执行,给出结果,而不能无限地执行下去,更不能出现死循环。 (2)确定性: 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不能含糊不清,模棱两可。 (3)顺序性与正确性: 算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题。 (4)不唯一性: 求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法。 (5)普遍性: 很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。 注: 当连乘的数较多时,我们可以利用一个判断和一个循环结构将算法的顺序结构进行优化,这样不仅形式简单,而且具有通用性,对计算多个有规律的数据运算进尤为适合。 二、设计合理算法勾画程序框图 设计算法是画出程序框图的基础,我们通过对问题的分析,写出相应的算法步骤,在画程序框图之前应先对算法问题的合法性和合理性进行探讨,然后分析算法的逻辑结构和各步骤的功能(输入、输出、判断、赋值和计算)画出相应的程序框图,如果设计的程序框图较为复杂就要采取“逐步求精”的思想设计框图。 先将问题中的简单部分明确出来,再逐步对复杂部分进行细化,然后一步一步逐步向前推进,设计出程序框图。 但是,在算法学习中,造成学生对算法理解困难的主要原因是变量(累加变量、累乘变量和计数变量)以及对变量的处理——赋值,另一个就是循环体的设计。 由于含有变量自身的表达式赋予变量属于较难理解的部分,因此我们建议将变量和赋值分两部分,其中一部分主要是引入以及将含有其他变量的表达式赋予变量。 第二部分就是将含有变量自身的表达式赋予变量。 对于以上内容的讲解最好都能给出形象解释,比如我们在讲两个变量的变换为什么要引入中间变量时,可这样解释: 由于错装,现要想交换两个瓶子中的不同液体,当然我们要借助一个空瓶子才能完成。 循环结构也是算法学习的重点和难点之一。 因为在这一部分,有变量、循环变量、循环体和循环终止条件。 因而,一开始,建议选取结构上不太复杂的循环结构的算法。 要以模仿为主,主要是先把循环结构算法程序框图的基本模式掌握住。 对于循环结构的三个要素来说,循环变量和循环的终止条件比较容易识别,循环体的设计是关键。 对于循环体的设计,一定是先从总体入手进行把握。 此外,为了分散难度,深入理解循环结构,我们笔者建议按照下列几个层次逐步展开循环结构的学习: ①变量少,结构清晰,循环体明了(例如输出100以内能被3和5整除的数);②变量增加,循环变量的确定难度增加,循环体变得复杂一点(例如找出100个数中的最小数);③变量增加,循环体有一定的难度(例如输出斐波那契数列的各项);④循环变量增加,循环体有一定的难度,循环的次数未知(例如二分法求方程的近似解)。 三、理解算法语句正确编写程序 程序设计语言有多种,它只是将算法转换为程序的工具,算法才是解决问题的关键。 为了实现三种基本逻辑结构,各种程序设计都包括下列基本算法语句: 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。 学习基本算法语句时要重视“结构与框图”及“语句格式”;使用条件语句时要注意“ELSE”与“ENDIF”的区别;使用循环语句时应注意“当型循环”与“直到型循环”的区别。 重点要理解并会熟练应用条件语句和循环语句进行编写程序。 注: (1)条件语句的THEN或ELSE后还可以跟条件语句。 在多重嵌套时,应特别注意避免逻辑上的混乱,这里给出两种方法: 一是将嵌套的内层条件语句放在外层条件语句中ELSE的后面;二是采用多个并列的条件语句来完成。 (2)运用循环语句来处理累加问题时,应设置好计数变量和累加变量。 计数变量的作用一般是统计循环体执行的次数,改变循环条件的取值,为结束循环作准备。 累加变量是最终的输出结果,每进入一次循环体随着计数变量改变而改变,累加变量的初始值通常是0。 (3)运用循环语句来处理累乘问题时,也应设置好计数变量和累乘变量。 累乘问题的计数变量同累乘变量的作用一样,一般也是统计循环体执行的次数,改变循环条件的取值,为结束循环作准备,累乘变量是为最终的输出结果服务的,每进入一次循环体随着计数变量改变而改变,累乘变量的初始值通常是1。 四、重视典型案例凸显数学思想 经典的算法案例可以帮助我们深入理解算法的特征,进一步体会算法的思想。 要求掌握其算理算法。 从中感受我国古代数学中的算法思想,感受我国数学发展不同于西方数学的特点,也感受我国古代数学家对世界数学发展的贡献及数学的文化价值。
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