不定方程2整除思维之尾数奇偶性.docx
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不定方程2整除思维之尾数奇偶性
2008年江苏C
13.已知正整数数列满足,且第七项等于18,则该数列的第10项为( )
A.47 B.72 C.76 D.123
【解析】C。
不定方程整数解。
令第一项为X,第二项为Y,则第三项为X+Y,后期则有:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
Y
X+Y
X+2Y
2X+3Y
3X+5Y
5X+8Y
8X+13Y
13X+21Y
21X+34Y
故而:
5X+8Y=18,故而5X为偶数,X=2,Y=1,代入表格最后一项,得知21X+34Y=42+34=76
注:
与前系数,是斐波那契数列。
2009年江苏A
20.有271位游客欲乘大、小两种客车旅游,已知大客车有37个座位,小客车有20个座位。
为保证每位游客均有座位,且车上没有空座位,则需要大客车的辆数是( )
A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆
【解析】B。
不定方程整数解,假设大客车和小客车车数分别为X,Y则:
由于20Y的尾数为0,则271的个位数1,来自37X,则X=3。
2010年浙江
82.工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个:
工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个,现在两人各花20分钟,共生产螺丝和螺丝帽134个,问生产的螺丝比螺丝帽多几个( )
A.34个 B.32个 C.30个 D.28个
【解析】A。
甲乙分话费XY分钟生产螺丝,则有:
甲
乙
螺丝
3X
2Y
螺丝帽
9(20-X)
7(29-Y)
根据方程:
已知条件是:
320-6X-5Y=134得知:
6X+5Y=186,解不定方程得知:
X=16,Y=18。
得知:
甲分别完成:
48、36;36、14。
得知多了12+22=34。
2012年春季联考
64.甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个,乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。
甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个,甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时,且x、y皆为整数,两名工人一天加工的零件总数相差:
A.6个B.7个C.4个D.5个
【解析】B。
考查不定方程整数解问题。
甲乙零部件个数
甲
乙
A
3X
2Y
B
6(8-X)
7(8-Y)
根据条件得知:
3x+6(8-x)+2y+7(8-y)=59,化简得3x+5y=45,
因此3X是5的倍数,5Y是3的倍数,因此X=5,Y=6
得知甲为:
15+18=33.得知乙为26,差量为7。
2010年江西
55.某国家对居民收入实行下列税率方案;每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收,超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收,超过6000美元的部分按Y%税率征收(X,Y为整数)。
假设该国某居民月收入为6500美元,支付了120美元所得税,则Y为多少?
A.6 B.3 C.5 D.4
【解析】A。
不定方程整数解。
该国某居民月收入为6500美元要交的所得税为3000×1%+3000×X%+(6500-3000-3000)×Y%=120,化简为6X+Y=18,由于6X和18都能被6整除,因此Y也一定能被6整除分析选项,只有A符合。
2012年国考
68.某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。
后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?
A.36 B.37 C.39 D.41
【解析】D。
经典不定方程整数解问题。
令两个教室所带学生分别XY人,则有:
利用尾数得知:
尾数6一定来自6Y;进一步得知:
Y可能为1,6,11。
再次结合“X和Y均为质数”得知Y=11,X=2。
因此现有人数:
4×2+3×11=41。
76.超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个?
()
A.3 B.4 C.7 D.13
【解析】D。
经典的不定方程整数解问题。
根据已知条件得知列方程:
。
根据尾数得知:
9一定分为5和4,得知的尾数为4。
因此:
大可能为2、7,对应小为15、3。
进一步“共用了十多个盒子刚好装完”
得知大为2,小为15符合。
2012年山东
59.某公司的6名员工一起去用餐,他们各自购买了三种不同食品中的一种,且每人只购买了一份。
已知盖饭15元一份,水饺7元一份,面条9元一份,他们一共花费了60元。
问他们中最多有几人买了水饺( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2014年国考
75.小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包,按照数量多少的顺序分别为小王、小李、小张、小周。
已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和;小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。
问小王捐赠了多少书包?
A.9 B.10 C.11 D.12
【解析】C。
考查不定方程整数解。
小张X,小周Y,则有:
小李是X+Y;小王是:
2X+Y,且X>Y
得知:
X+Y+X+Y+2X+Y=4X+3Y=25,得知X=4,Y=3。
2014年浙江
69.某班有56名学生,每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。
已知有27人参加a兴趣班,参加b兴趣班的人数第二多,参加c、d兴趣班的人数相同,e兴趣班的参加人数最少,只有6人,问参加b兴趣班的学生有多少个?
()
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
【解析】C。
不定方程整数解。
根据条件得知:
B+2C=56-27-6得知:
B+2C=23,并且B>C均大于6,因此得知B奇数,B=9,C=7。
2014年山东
59.某公司有29名销售员,负责公司产品在120个超市的销售工作。
每个销售员最少负责3个,最多负责6个超市。
负责4个超市的人最多但少于一半,而负责4个超市和负责5个超市的人总共负责的超市数为75个。
问负责3个超市的人比负责6个超市的人多几个?
A.2 B.3 C.6 D.9
【解析】C。
考查不定方程整数解。
分别假设负责3个、4个、5个、6个超市的销售人员数为a、b、c、d。
由于负责4个超市和负责5个超市的人总共负责的超市数为75个,负责4个超市的人最多但少于一半,列式:
4b+5c=75,解得b=10,c=7。
所以a+d=12,3a+6d=45,解得a=9,d=3。
a-d=6
2015年江苏A
32.设a,b均为正整数,且有等式11a+7b=132成立,则a的值为()。
A.6 B.4 C.3 D.5
【解析】D。
不定方程整数解。
132是11的倍数,因此7b必须是11的倍数,因此b=11,a=5。
2016年国考
20人乘飞机从甲市前往乙市,总费用为27000元。
每张机票的全价票单价为2000元,除全价票之外,该班飞机还有九折票和五折票两种选择。
每位旅客的机票总费用除机票价格之外,还包括170元的税费。
则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比:
A.两者一样多 B.买九折票的多1人
C.买全价票的多2人D.买九折票的多4人
2017年国考
64.某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱,200毫升沐浴露每箱20瓶,500毫升沐浴露每箱12瓶。
定价分别为14元/瓶和25元/瓶。
货品卖完后,发现两种规格沐浴露的销售收入相同,那么这批沐浴露中,200毫升的最少有几箱?
A.3 B.8 C.10 D.15
【解析】D。
整数解问题。
令200毫升X箱,500毫升Y箱得知280X=300Y,化简为:
14X=15Y,根据整数解,得知X=15N,N=1取最小值。
2017年江苏A卷
66.玩具厂原来每日生产某玩具560件,用A、B两种型号的纸箱装箱,正好装满24只A型纸箱和25只B型纸箱。
扩大生产规模后该玩具的日产量翻了一番,仍然用A、B两种型号的纸箱装箱,则每日需要纸箱的总数至少是:
A.70只 B.75只 C.77只 D.98只
66.【解析】B。
不定方程整数解及最值问题。
根据条件1得知:
24A+25B=560,故而A必须为5的整数倍,代入即可。
得知A=15,B=8,今总量1120,从最小值带入,得知B选项符合。
67.某地遭受重大自然灾害后,A公司立即组织捐款救灾。
已知该公司有100名员工捐款,捐款额有300元、500元和2000元三种,捐款总额为36000元,则捐款500元的员工数是:
A.11人 B.12人 C.13人 D.14人
67.【解析】C。
考查多年不定方程整数解。
参见2010年A卷38题。
令三种捐款数的人分别为XYZ,得知:
X+Y+Z=100,300X+500Y+2000Z=36000,得知2Y+17Z=60,Z必须为偶数,故而枚举即可。
Z=2,Y=12,X=86。
2017年江苏C卷
66.小王打靶共用了10发子弹,全部命中,都在10环、8环和5环上,总成绩为75环,则命中10环的子弹数是:
A.1发 B.2发 C.3发 D.4发
69.某单位有72名职工,为丰富业余生活,拟举办书法、乒乓球和围棋培训班,要求每个职工至少参加一个班。
已知三个班报名人数分别为36、20、28,则同时报名三个班的职工数至多是:
A.6人 B.12人 C.16人 D.20人
2017年山东
51.小张的孩子出生的月份乘以29,出生的日期乘以24,所得的两个乘积加起来刚好等于900。
问孩子出生在哪一个季度?
A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度
51. 【解析】D。
不定方程整数解。
假设出生的月份为X,出生的日期为Y,根据题意可得:
29X+24Y=900,X是12的倍数。
2017年广州
38.某批发市场有大、小两种规格的盒装鸡蛋,每个大盒里装有23个鸡蛋,每个小盒里装有16个鸡蛋。
餐厅采购员小王去该市场买了500个鸡蛋,则大盒装一共比小盒装( )。
A.多2盒 B.少1盒 C.少46个鸡蛋 D.多52个鸡蛋
38.【解析】D。
不定方程整数解。
假设大盒装、小盒装分别有X、Y个,根据题意可得:
23X+16Y=500,得知X是4的倍数,X=12,23X=276,16Y=224
2018年江苏A
61.小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支,共花费40.6元。
已知红色笔单价为1.7元、黄色笔为3元、蓝色笔为4元,则小李买的笔总数最多是
A.19支 B.20支 C.21支 D.22支
【解析】C。
考查不定方程整数解及最值思维。
参见2017年江苏A卷67题,2010年江苏A卷38题。
设购买红色笔、黄色笔、蓝色笔的数量分别为x、y、z,根据题意可得
17X+30Y+40Z=406,根据尾数,得知X=8,或者18,因红笔单价最低,故而取X=18,使得笔总数最多。
得知:
30Y+40Z=100,取Y=2,Z=1,这样两者和最大为3,故而X+Y+Z=21
2018年广西
56.一项测验共有29道单项选择题,答对得5分,答错减3分,不答不得分也不减分,答对15题及以上另加10分,否则另减5分。
小郑答题共得60分,问他最少有几道题未答?
A.1 B.2 C.3 D.4
57.某企业20多名员工参加拓展训练,共准备了16箱饮用水。
每人饮用6瓶后,将剩下的1箱半分配给所有女员工,正好每人分1瓶。
问参加拓展训练的男员工有多少人?
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】B。
设男员工的人数为x,根据题意,女员工的人数等于1箱半饮用水的瓶数,设一箱饮用水有y瓶,则女员工的人数为1.5y。
根据所有人共饮用16箱水,男员工每人6瓶,女员工每人7瓶。
则有
6x+7×1.5y=16y,得知:
6x=5.5y,得知x是11的倍数,故而为今B选项符合。
58.某储蓄所两名工作人员,一天内共办理了122件业务,其中小王经手的有84%是现金业务,小李经手的有25%为非现金业务,小李当天办理了多少件现金业务?
A.36 B.42 C.48 D.54
【解析】D。
整除思维与不定方程整数解。
小李的份数为4倍数;小王的份数为25倍数。
故而:
可设小王办理的总件数为25X,小李办理的总件数为4Y,则有25X+4Y=122
得知:
X必须为偶数2或者4,
X=2时,25X=50,4Y=72,符合要求,得知3Y=54
2018年新疆兵团
56.某球赛积分规则为胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分。
某队经过8场比赛,最终积了13分。
问此球队胜、平、负的情况可能有几种?
A.1 B.2 C.3 D.4
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