中考代数综合第6讲二次函数图象的翻折问题文档格式.docx
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(2)连接OP,若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB=90°
,求点D的坐标;
(3)如图2,将抛物线y=ax2+bx+c当﹣1≤x≤3时的函数图象记为l1,将图象l1在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象l1的其余部分保持不变,得到一个新图象l2.若经过点P的一次函数y=mx+n的图象与图象l2在第四象限内恰有两个公共点,求n的取值范围.
6.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2.
(1)求b的值;
(2)在y轴上有一动点P(0,m),过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2.
①当x2﹣x1=3时,结合函数图象,求出m的值;
②把直线PB下方的函数图象,沿直线PB向上翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象W,新图象W在0≤x≤5时,﹣4≤y≤4,求m的取值范围.
7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=nx2﹣4nx+4n﹣1(n≠0),与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),与y轴交于点A.
(1)求抛物线顶点M的坐标;
(2)若点A的坐标为(0,3),AB∥x轴,交抛物线于点B,求点B的坐标;
(3)在
(2)的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记为G,若直线y=x+m与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值范围.
8.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+
mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O
和点A,点B(4,n)在这条抛物线上.
(1)求B点的坐标;
(2)将此抛物线的图象向上平移
个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在
(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:
当直线y=
x+b与此图象有两个公共点时,b的取值范围.
【参考答案】
1.当x≤3时,函数y=x2﹣2x﹣3的图象记为G,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M,若直线y=x+b与图象M有且只有两
个公共点,则b的取值范围是﹣3<b<1或b=.
【分析】根据题意画出图形,进而利用直线y=x+b过(﹣1,0)以及(3,0)得出b的值,再利用直线y=x+b与抛物线y=x2﹣2x﹣3有一个交点,求出答案.
【解答】解:
如图所示:
∵y=x2﹣2x﹣3,当y=0,则0=x2﹣2x﹣3,解得:
x1=﹣1,x2=3,
当直线y=x+b过(﹣1,0)时,b=1,当直线y=x+b过(3,0)时,b=﹣3,
故当﹣3<b<1时,直线y=x+b与图象M有且只有两个公共点,当直线y=x+b与抛物线y=x2﹣2x﹣3有一个交点,
则x2﹣3x﹣3﹣b=0有两个相等的实数根,故△=b2﹣4ac=9+4(3+b)=0,
解得:
b=﹣
,
综上所述:
直线y=x+b与图象M有且只有两个公共点,则b的取值范是:
﹣3<b<1或
.
故答案为:
﹣3<b<1或b=﹣
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换,正确利用数形结合分析是解题关键.
【分析】
(1)把点A的坐标代入抛物线解析式,列出关于m的方程,通过解该方程可以求得m的值;
(2)根据抛物线解析式求得对称轴,所以由抛物线的对称性和增减性进行解答;
(3)根据题意作出函数图象,由图象直接回答问题.
(1)将A(3,0)代入,得m=1.
∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3.B点的坐标(﹣1,0).
(2)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4.
∵当﹣2<x<1时,y随x增大而减小;
当1≤x<3时,y随x增大而增大,
∴当x=1,y最小=﹣4.当x=﹣2,y=5.
∴y的取值范围是﹣4≤y<5.
(3)当直线y=kx+b经过B(﹣1,0)和点(4,2)时,解析式为y=
x+
当直线y=kx+b经过(﹣2,﹣5)和点(4,2)时,
解析式为y=
x﹣
结合图象可得,b的取值范围是﹣<b<.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数的解析式.解题时,注意数形结合,使抽象的问题变得具体化,降低了解题的难度.
(1)把点(1,0)代入抛物线解析式,列出关于m的方程,通过解该方程可以求得m的值,从而得到抛物线的表达式;
(1)∵二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0),
∴1+m+2m﹣7=0,解得m=2.
∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3;
(2)y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4.
∵当﹣4<x<﹣1时,y随x增大而减小;
当﹣1≤x<1时,y随x增大而增大,
∴当x=﹣1,y最小=﹣4.当x=﹣4时,y=5.
∴﹣4<x<1时,y的取值范围是﹣4≤y<5;
(3)y=x2+2x﹣3与x轴交于点(﹣3,0),(1,0).新图象M如右图红色部分.
把抛物线y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1),
当直线y=x+b经过(﹣3,0)时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,此时b=3;
当直线y=x+b与抛物线y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1)相切时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,
即﹣(x+1)2+4=x+b有相等的实数解,整理得x2+3x+b﹣3=0,△=32﹣4(b﹣3)=0,
解得b=
结合图象可得,直线y=x+b与图象M有三个公共点,b的取值范围是3<b<.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质,画出函数M的图象是解题的关键.
(1)求出对称轴,根据对称性求出点B坐标,利用待定系数法求出m的值.
(2)画出图象,利用图象即可解决问题.
(3)当直线y=kx+1经过点(
,﹣
)时,k=﹣
,推出直线y=kx+1(k≠0)与图象M在直线
左侧的部分只有一个公共点,由图象可知k<﹣
,当直线y=kx+1经过点(﹣1,0)时,k=1,此时直线y=kx+1也满足条件,由此即可解决问题.
(1)∵抛物线的对称轴x=1,点A坐标(3,0),又∵A、B关于对称轴对称,
∴B(﹣1,0),
把点B(﹣1,0)代入得到0=m+2m﹣3,
∴m=1.
(2)如图,由图象可知,当﹣2<x<3时,﹣4≤y<5.
图象M,如图所示,
∴当直线y=kx+1经过点(,﹣)时,k=﹣,
∴直线y=kx+1(k≠0)与图象M在直线
左侧的部分只有一个公共点,由图象可知
k<﹣
当直线y=kx+1经过点(﹣1,0)时,k=1,此时直线y=kx+1也满足条件,
综上所述,k的取值范围为k<﹣
或k=1.
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数、待定系数法等知识,解题的关键是学会正确画出函数图象,利用图象法解决问题,属于中考常考题型.
(1)设交点式y=a(x+1)(x﹣3),然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式;
(2)如图1中,如图1中,作PH⊥OB于H.由P(1,﹣2),推出tan∠OPH=
,由
∠DBO+∠POB=90°
,∠POB+∠P=90°
推出∠DBO=∠P,推出tan∠DBO=
,设BD交y轴于E,则E(0,
),可得直线
BD的解析式为y=﹣
x+
,利用方程组即可求出点D坐标,同法求出D′;
(3)当直线y=mx+n经过P(1,﹣2),B(3,0)时,则有
,解得
,可得一次函数的解析式为y=x﹣3,观察图象即可解决问题;
(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),把C(0,3)代入得a•1•(﹣3)=3,解得a=﹣1,
所以抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3),即y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1中,作PH⊥OB于H.
∵P(1,﹣2),
∴tan∠OPH=
∵∠DBO+∠POB=90°
∴∠DBO=∠P,
∴tan∠DBO=
),
∴直线BD的解析式为y=﹣
,由,
解得或,
∴D(﹣
).
当点D′在x轴下方时,直线BD′的解析式为y=
解得或.
∴D′(﹣
,﹣
(3)如图2中,
当直线y=mx+n经过P(1,﹣2),B(3,0)时,则有,解得,
∴一次函数的解析式为y=x﹣3.
观察图象可知:
n>﹣3时,直线经过点P的一次函数y=mx+n的图象与图象l2在第四象限内恰有两个公共点.
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、两直线垂直k的乘积为﹣1等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
(1)根据对称轴x=﹣,求出b的值;
(2)①先根据x2﹣x1=3及对称轴方程,确定A、B中一个点的坐标,代入解析式求出
m的值.
②根据图象和x、y的取值范围,可求出m的值.
(1)∵抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2,
∴﹣
=2,即﹣
=2
∴b=2.
(2)①∴抛物线的表达式为y=﹣x2+4x﹣3.
∵A(x1,y),B(x2,y),
∴直线AB平行x轴.
∵x2﹣x1=3,
∴AB=3.
∵对称轴为x=2,
∴A(
,m).
∴当
时,m=﹣(
)2+4×
﹣3=﹣
②当y=m=﹣4时,0≤x≤5时,﹣4≤y≤1;
当y=m=﹣2时,0≤x≤5时,﹣2≤y≤4;
∴m的取值范围为﹣4≤m≤﹣2.
【点评】本题考查了二次函数的性质,图形的翻折变化等知识,解决本题的关键是l理解题意,充分的利用数形结合的思想.
(3)在
(2)的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记
为G,若直线y=
x+m与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值范围.
(1)利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程,可以直接得到答案..
(2)根据抛物线的对称性质解答;
(3)利用待定系数法求得抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3.根据题意作出图象G,结合图象求得m的取值范围.
(1)∵y=nx2﹣4nx+4n﹣1=n(x2﹣2)2﹣1,
∴该抛物线的顶点M的坐标为(2,﹣1);
(2)由
(1)知,该抛物线的顶点M的坐标为(2,﹣1);
∴该抛物线的对称轴直线是x=2,
∵点A的坐标为(0,3),AB∥x轴,交抛物线于点B,
∴点A与点B关于直线x=2对称,
∴B(4,3);
(3)∵抛物线y=nx2﹣4nx+4n﹣1与y轴交于点A(0,3),
∴4n﹣1=3.
∴n=1.
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3.
∴抛物线G的解析式为:
y=x2+4x+3由
x+m=x2+4x+3.
由△=0,得:
m=﹣
∵抛物线y=x2﹣4x+3与x轴的交点C的坐标为(1,0),
∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为(﹣1,0).把(﹣1,0)代入y=
x+m,得:
m=
把(﹣4,3)代入y=
m=5.
∴所求m的取值范围是m=﹣
或
<m≤5.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质,画出函数G的图象是解题的关键.
(1)把原点坐标代入抛物线,解关于m的一元二次方程得到m的值,再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式,再把点B坐标代入函数解析式求出n的值,即可得解;
(2)根据向上平移纵坐标加解答即可;
(3)把直线解析式与抛物线解析式联立,消掉y得到关于x的一元二次方程,根据△=0求出b的值,然后令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标,再求出直线经过抛物线与x轴左边交点的b值,然后根据图形写出b的取值范围即可.
(1)∵抛物线经过原点O,
∴m2﹣3m+2=0,
解得m1=1,m2=2,
当m=1时,﹣
=﹣
=0,
∴m=2,
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+3x,
∵点B(4,n)在这条抛物线上,
∴n=﹣
×
42+3×
4=﹣8+12=4,
∴点B(4,4);
(2)∵抛物线的图象向上平移
个单位,
∴平移后的图象的解析式y=﹣
x2+3x+
;
(3)联立,
消掉y得,﹣x2+3x+=x+b,整理得,x2﹣5x+2b﹣7=0,
△=(﹣5)2﹣4×
1×
(2b﹣7)=0,解得b=
令y=0,则﹣
=0,整理得,x2﹣6x﹣7=0,
解得x1=﹣1,x2=7,
∴抛物线与x轴左边的交点为(﹣1,0),
x+b经过点(﹣1,0)时,
(﹣1)+b=0,解得b=
当该直线经过点(7,0)时,×
7+b=0,
解得b=﹣
∴当直线y=
x+b与此图象有两个公共点时,b的取值范围为b>
或﹣
<b<
【点评】本题是二次函数综合题,主要利用了解一元二次方程,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,难点在于(3)求出直线与抛物线有三个交点时的b值,作出图形更形象直观.
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- 中考 代数 综合 二次 函数 图象 问题