高中数学选修222Word格式文档下载.docx
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A6,0B32,0C25,6D32,16
10.已知a>
0,函数y=x3-ax在[1,+s)上是单调增函数,则a的最大值为()
A0B1C2D3
11.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数),在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的
最小值为()
A-37B-29C-5D-11
12.已知f(x)=x+x,且xi+X2<
0,x2+X3<
0,x3+xi<
0贝9()
Af(xi)+f(x2)+f(x3)>
0Bf(xi)+f(x2)+f(x3)<
0Cf(xi)+f(x2)+f(x3)=0D
f(xl)+f(x2)+f(x3)符号不能确定.
二、填空题(每小题4分)
13.过抛物线y=f(X)上一点A(1,0)的切线的倾斜角为45°
则『
(1)=.
14.函数f(x)=x3—3x的递减区间是
15.过点P(—1,2)且与曲线『=3x2—4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是
16・函数f(x)=x(1—x)在[0,1]上的最大值为.
三、解答题
17.已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图像经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x—2.
求f(x)的解析式;
12分
18.证明:
过抛物线y=a(x—xj(x—X2)(a丰0,x1<
x2)上两点A(X1,0),B(x2,0)的切线与x轴所成的锐角相等。
19.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=±
1时取得极值且f
(1)=-1
试求常数a、b、c的值并求极值。
20.已知函数f(x)=ax3ax2x1.
(1)若f(x)在(—3+s)上是增函数,求a的取值范围.
⑵若f(x)在x=X1及x=X2(X1,x2>
0)处有极值,且1<
-X1<
5,求a的取值范围。
X2
21.已知函数f(x)=ax3+cx+d(a丰0)在R上满足f(x)=—f(x),
当x=1时f(x)取得极值—2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
⑵证明:
对任意X1,X2€(—1,1),不等式丨f(X1)f(x2)I<
4恒成立.14分
22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,在把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底盒子.
(1)问切去的小正方形边长为多少时,盒子容积最大?
最大容积Vi是多少?
(2)上述做法,材料有所浪费,如果可以对材料进行切割、焊接,请你重新设计一个方案,
使材料浪费最少,且所得无盖的盒子的容积v2>
y14分
答案:
1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13.114.[-1,1]15.2x-y+4=016.
2.3
提示:
1.Af
(1)=f(0)=0最大
2.D•/S=4t+1•••当t=1时的瞬时速度为5米/秒
3.选C:
f/(x)=—x2•f/
(1)=—1即tana=—1•a=135o
1
5.C•/y3x2•该点处的切线斜率为3,.・.所求直线方程为y=—(x+1)即C答案
6.选D:
y=x2,y|x=1=1,•切线斜率为1,又直线斜率为—1•两直线垂直.••夹角为
90o
/2
7.A•/f(x)=3x+2ax,切线的斜率k=3+2a,3+2a=-3•a=-3又tf
(1)=a+b+仁0•
b=2,故选A
8.选Btf/(x)=3ax2+6xf/
(1)=3a—6•a=一
9.选Bty=3x2—12,由y=0得x=±
2当x=±
2,x=±
3时求得最大值32,最小值010.Dvf/(x)=3x2—a,•若f(x)为增函数,贝Uf/(x)>
0即a<
3x2要使a<
3x2,x€[1,+g),上恒成立,•aw3故选D
11.A令f/(x)=0得x=0或x=2,而f(0)=m,f
(2)=—8+m,f(—2)=—40+m显然
f(0)>
f
(2)>
f(—2)•m=3
最小值为f(—2)=—37故选A
12.B■/f/(x)=3x2+1,af/(x)>
o.・.f(x)在上是增函数,且f(x)是奇函数,
/•f(xi)<
f(—X2),f(x2)<
f(—X3),f(x3)<
f(—xi)af(xi)+f(x2)+f(X3)<
—[f(xi)+f(x2)+f(X3)]
即f(xi)+f(x2)+f(x3)<
0故选B
13.由题意可知切线斜率为1,由导数定义知f"
I)=1
14.•/f/(x)=3x2—3a令3x2—3<
0解得—Kx<
1
15.•/y=6x—4ak=y|x=1=2a直线方程为y—2=2(x+1)即2x—y+4=0
16.vf(x)=x—x3af/(x)=1—3x2=0得x=3可知当x=3时函数值为最大值,最
大值是32
9
17.解:
由题意可知f(0)=1,f
(1)=—1,f
(1)=1,6分
c
4a
2b1
解之得
a
511分
2
bc
b
f(x)
54=X
921
X1.
12分
18.证明:
vy=a(x—xj(x—x2)=ax—a(x1+X2)x+ax1x2.3分
ay=2ax—a(x1+X2).6分
ak1=y|x=X1=a(x1—X2)k2=y|x=X2=a(x2—x"
.9分
设两切线与x轴所成锐角为B1和B2
则tanB1=|a(x1—X2)|=|a|(x2—X1)>
0,tanB2=|a(x2—X1)|=|a|(x2—X1)>
O11
分
atanB1=tanB2.12分
19.解:
f/(x)=3ax2+2bx+c,.3分
vf(x)在x=±
1时取得极值Ax=±
1是f/(x)=O即3ax2+2bx+c=0的两根6分
3a2bc0
(1)
vf
(1)=-1a.a+b+c=-1(3)
3a2bc0
(2)
由
(1),
(2),(3)得a=—,b=0,c=—9分
22
133
f(x)=x3x,「.f/(x)=(x-1)(x+1)
222
当x<
-1或x>
1时,f/(x)>
0,当-1<
x<
1时,f/(x)<
•••f(x)在(-g,-1)及(1,+s)上是增函数,在(-1,1)是减函数11分
•••当x=-1时函数取得极大值f(-1)=1
当x=1时函数取得极小值f
(1)=-112分
20.解:
(1)Tf(x)=ax-2ax+1...….1分
•••当a=0时,,f(x)=1>
0,故结论成立2分
当a>
0时,[f(x)]min=f
(1)=1—a》0,•aw1即0<
aw1...4分
当a<
0时,f(x)在(0,+g)上不恒大于或等于0,故舍去..5分
综上得a的取值范围是0wa<
1.
21
(2)令f(x)=ax—2ax+仁0,由题知其二根为X1,X2且x计X2=2,X1X2=..7分
x11八
-1<
—w5--X1w2—X2w5x1--wX1<
1..9分
X23
112
•X1(2—X2)=•=—(X1—1)+1..11分
aa
51g
-w丄<
1•••1<
aw-..12分
9a5
32
21.解:
(1)由f(x)=—f(x)(x€R)得.d=0•f(x)=ax+cx,f(x)=ax+c.2
ac0
由题设f
(1)=—2为f(x)的极值,必有f
(1)=0•解得a=1,c=—3
3ac0
•f(x)=3x2—3=3(x—1)(x+1)从而f
(1)=f
(1)=0.4分
当x€(—g,—1)时,f(x)>
0则f(x)在(一g,—1)上是增函数;
5分
在x€(—1,1)时,f(x)<
0则f(X)在(—1,1)上是减函数6分
当x€(1,+g)时,f(X)>
0则f(X)在(1,+g)上是增函数7分
•f
(1)=2为极大值9分
⑵由⑴知,f(x)=x33x在[—1,1]上是减函数,且f(x)在[—1,1]上的最大值
M=f
(1)=2,在
[—1,1]上的最小值m=f
(2)=—2.12分
对任意的X1,X2€(—1,1),恒有丨f(xjf(x2)I<
M-m=2-(—2)=414分.
22.解:
(1)设切去的正方形边长为x,则焊接成的盒子的底面边长为4—2x,高为x.所
以
232
V1=(4—2X)•x=4(x—4x+4X),(0<
x<
2)5分
二V1=4(3x—8x+4).6分
令V1=o得x1=3,x2=2(舍去)而V1=12(x—-)(x—2)又当x<
-时,V1>
0,
当2<
2时,V1<
0A当x=2时盒子容积最大,最大容积V1是1289分
3327
方案:
如下图a,在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;
如图b,将切下的
图b
图c
小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边;
如图c再焊成盒子
新焊成的盒子的容积V2为:
3x2x仁6,显然V2>
V1故此方案符合要求。
14分
高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
、选择题
1、函数yx在区间[1,2]上的平均变化率为()
(A)2
(B)3
(B)
4
(D)5
答案:
2曲线
y
x3在点(1,1)处的切线与
x轴、直线
x
2所围成的三角形的面积为(
)
(A)
8
/、7
(C)
5
/、4
(B)—
(D)-
(A);
3、已知直线ykx是yInx的切线,贝Uk的值为()
V1(S1
S2
S3
S4)R
V
S2S3S4)R
V扣
(D)
(S1
S2S3S4)R
7、数列1,2,2,3,3,3,4,4,44
的第50项是(
10
(D)11
面积可得四面体的体积为(
8、在证明f(x)2x1为增函数的过程中,有下列四个命题:
提;
②增函数的定义是小前提;
③函数f(x)2x1满足增函数的定义是小前提;
④函数
f(x)2x1满足增函数的定义是大前提;
其中正确的命题是(
9、若a,bR,则复数(a2
4a5)
(b2b6)i表示的点在()
(A)在第一象限
(B)在第二象限
(C)在第三象限
(D)在第四象限
(D);
由a24a5
(a2)2
10,b22b
6
(b1)50,知
在第四象限;
10、用数学归纳法证明不等式“
11
13(
(n
2)”时的过程中,
n1
n22n
24
由nk到nk1时,不等式的左边(
(A)增加了一项
(B)增加了两项■
2(k1)
2k1
(C)①③
(D)②③
x1x22
是减函数,有极值;
③f(x)在区间(极小值4;
其中正确命题的个数为(
(A)1(B)2
0]及[2,)上是增函数;
④f(x)有极大值为0,
(C)3(D)4
x1x2
12、对于函数f(x)x3x,给出下列四个命题:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)
又由z2
&
,得丄—
z250
—i,那么
50
zZ2
Z1
211i
15、用火柴棒按下图的方法搭三角形:
22.
i
;
提示,由
Z11
3i,
得-
3.i10
(B);
其中命题③与命题④是正确的。
是.
an2n1
16、物体A的运动速度v与时间t之间的关系为v2t1(v的单位是m/s,t的单位是s),物体B的运动速度v与时间t之间的关系为v18t,两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动。
则它们相遇时,A物体的运动路程为:
t
1)dt(18t)dt405
72m;
提示,设运动ts时两物体相遇,那么(2t
得t9,由于(2t1)dt72,得相遇时A物体运动72m;
三、解答题
17、已知复数z1,z2满足10z;
5z|2z1z2,且z12z2为纯虚数,求证:
3乙z2为
实数
证明:
由10z:
5z;
2z1z2,得10z:
2z1z25z;
0,
22222
即(3乙Z2)(Z12Z2)0,那么(3z1Z2)(Z12z2)[(Z12z2)i]
由于,z12z2为纯虚数,可设z12z2bi(bR且b0)
所以(3z1z2)2b2,从而3z1z2b
故3ziZ2为实数
16(832)
[0,]上的面积,然后两者相加即可;
于是
19、用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架•如果所做容器的低面的一边长比另
以一边长多0.5m那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积•
解:
设该容器低面矩形边长为xm,则另一边长为(x0.5)m,此容器的高为
14.8/CL\CCC
hx(x0.5)3.22x,
于是,此容器的容积为:
V(x)x(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x,其中
0x1.6
24
由V(x)6x24.4x1.60,得x11,x2(舍去)
15
因为,V,(x)在(0,1.6)内只有一个极值点,且x(0,1)时,V,(x)0,函数V(x)递
增;
x(1,1.6)时,V,(x)0,函数V(x)递减;
所以,当x1时,函数V(x)有最大值V
(1)1(10.5)(3.221)1.8m3
即当高为1.2m时,长方体容器的容积最大,最大容积为1.8米3.
20、已知a0,函数f(x)(x22ax)ex.
当x为何值时,f(x)取得最小值?
证明你的结论;
设f(x)在[1,1]上是单调函数,求a的取值范围
f/(x)
解得a-;
即所求a的取值范围为[3,);
21、若Xi0(i1,2,3,,n),观察下列不等式:
(X1X2
Xn)(
X-Ix2
丄)将满足的不等式,并用数学归纳法加以证明。
Xn
将满足的不等式为(治
X2Xn)(-
X1
1)
n(n2),证明如下
10当n2时,结论成立;
20假设nk时,结论成立,
即(X1X2
Xk)(—
1)k2
Xk
那么,
当nk1时,区
X
kXk
1)(-丄
-)
X-IX2
(Xix2
w11
)(X1
\1
xk)(
一
Xk)
Xk1(
—
X1x2
Xk1
丄)1
k22(X1X2
)(丄
1)1k2
2k
(k1)2
显然,当nk1时,结论成立。
00
Xn)(-丄
丄)n2成立。
田1、2知对于大于2旳整数n,(x1x2
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