高考复习文科函数知识点总结.doc
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函数知识点
一.考纲要求
注:
ABC分别代表了解理解掌握
二.知识点
一、映射与函数
1、映射f:
A→B概念
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
2、函数f:
A→B是特殊的映射
(1)、特殊在定义域A和值域B都是非空数集。
函数y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,其中x是自变量,y是自变量x的函数,f是表示对应法则,它可以是一个解析式,也可以是表格或图象,
也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与x轴至多有一个公共点,但与y轴的公共点可能没有,也可能是任意个。
(即一个x只能对应一个y,但一个y可以对应多个x。
)
(2)、函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
二、函数的单调性
它是一个区间概念,即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。
判断方法如下:
1、作差(商)法(定义法)
2、导数法
3、复合函数单调性判别方法(同增异减)
三.函数的奇偶性
⑴偶函数:
设()为偶函数上一点,则()也是图象上一点.
偶函数的判定:
两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称,例如:
在上不是偶函数.
②满足,或,若时,.
⑵奇函数:
设()为奇函数上一点,则()也是图象上一点.
奇函数的判定:
两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:
在上不是奇函数.
②满足,或,若时,
※四.函数的变换
①:
将函数的图象关于y轴对称得到的新的图像就是的图像;
②:
将函数的图象关于x轴对称得到的新的图像就是的图像;
③:
将函数的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方,连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像;
④:
将函数的图象在y轴左侧的部分去掉,函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧,连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像.
函数
y=f(x)
y=f(x+a)
a>0时,向左平移a个单位;a<0时,向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a
a>0时,向上平移a个单位;a<0时,向下平移|a|个单位.
y=f(-x)
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x)
y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|)
y=f(|x|)的图象关于y轴对称,x0时函数即y=f(x),所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)|
∵,∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y=
y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
注:
(1)若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立,则x=a是函数f(x)的对称轴;
(2)若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立,则x=是f(x)的对称轴.
五、指数函数与对数函数的图像和性质
一.指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)·;
(2);
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注:
指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
0 定义域R 定义域R 值域y>0 值域y>0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意: 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是或; (2)若,则;取遍所有正数当且仅当; (3)对于指数函数,总有; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念: 一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作: (—底数,—真数,—对数式) 说明: 注意底数的限制,且; ; 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 常用对数: 以10为底的对数; 自然对数: 以无理数为底的对数的对数. 指数式与对数式的互化 幂值真数 =N=b 底数 指数对数 (二)对数的运算性质 如果,且,,,那么: ·+; -; . 注意: 换底公式 (,且;,且;). 利用换底公式推导下面的结论 (1); (2). (三)对数函数 1、对数函数的概念: 函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注: 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: ,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 对数函数对底数的限制: ,且. 2、对数函数的性质: a>1 0 定义域x>0 定义域x>0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0) 六.幂函数的图像及性质 (一)定义: 形如y=xa(是常数)的函数,叫幂函数。 (二)图象 幂函数的图象和性质;由a取值不同而变化,如图如示: a<0
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