高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案).doc
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向量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素:
大小和方向.
(2)向量的表示:
几何表示法;字母表示:
a;
坐标表示法a=xi+yj=(x,y).
(3)向量的长度:
即向量的大小,记作|a|.
(4)特殊的向量:
零向量a=O|a|=O.
单位向量aO为单位向量|aO|=1.
(5)相等的向量:
大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2)
(6)相反向量:
a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量):
方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
2..向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
向量的
减法
三角形法则
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.>0时,同向;
<0时,异向;
=0时,.
向
量
的
数
量
积
是一个数
1.时,
.
2.
3.向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:
共起点.
⑶三角形不等式:
.
⑷运算性质:
①交换律:
;
②结合律:
;③.
⑸坐标运算:
设,,则.
4.向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:
共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:
设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
5.向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:
①;②;③.
⑶坐标运算:
设,则.
6.向量共线定理:
向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.
7.平面向量基本定理:
如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底)
8.分点坐标公式:
设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,点的坐标是.(当
9.平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
⑵性质:
设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.
⑶运算律:
①;②;③.
⑷坐标运算:
设两个非零向量,,则.
若,则,或.设,,则.
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则.
⑤线段的定比分点公式:
(和)
设=(或=),且的坐标分别是,则
推广1:
当时,得线段的中点公式:
推广2:
则(对应终点向量).
三角形重心坐标公式:
△ABC的顶点,重心坐标:
注意:
在△ABC中,若0为重心,则,这是充要条件.
⑥平移公式:
若点P按向量=平移到P‘,则
4.
(1)正弦定理:
设△ABC的三边为a、b、c,所对的角为A、B、C,则.
(2)余弦定理:
(3)正切定理:
(4)三角形面积计算公式:
设△ABC的三边为a,b,c,其高分别为ha,hb,hc,半周长为P,外接圆、内切圆的半径为R,r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
②S△=Pr
③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
⑤S△=[海伦公式]
⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb
[注]:
到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心.
如图:
图1中的I为S△ABC的内心,S△=Pr,图2中的I为S△ABC的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra
附:
三角形的五个“心”;
重心:
三角形三条中线交点.
外心:
三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:
三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:
三角形三边上的高相交于一点.
旁心:
三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
(5)已知⊙O是△ABC的内切圆,若BC=a,AC=b,AB=c[注:
s为△ABC的半周长,即],则:
①AE==1/2(b+c-a)
②BN==1/2(a+c-b)
③FC==1/2(a+b-c)
综合上述:
由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图4).
特例:
已知在Rt△ABC,c为斜边,则内切圆半径r=(如图3).
(6)在△ABC中,有下列等式成立.
证明:
因为所以,所以,结论!
(7)在△ABC中,D是BC上任意一点,则.
证明:
在△ABCD中,由余弦定理,有①
在△ABC中,由余弦定理有②,
②代入①,化简可得,(斯德瓦定理)
①若AD是BC上的中线,;
②若AD是∠A的平分线,,其中为半周长;
③若AD是BC上的高,,其中为半周长.
(8)△ABC的判定:
△ABC为直角△∠A+∠B=
<△ABC为钝角△∠A+∠B<
>△ABC为锐角△∠A+∠B>
附:
证明:
,得在钝角△ABC中,
(9)平行四边形对角线定理:
对角线的平方和等于四边的平方和.
09-13高考真题
09.7.函数的图像F按向量a平移到F/,F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于
A.B.C.D.
【答案】D
09.1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=
A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b
【答案】B
10.8.已知和点M满足.若存在实使得成立,则=B
A.2 B.3 C.4 D.5
11.2.若向量,,则与的夹角等于
A.B.C.D.
【详细解析】分别求出与的坐标,再求出,,带入公式求夹角。
【考点定位】考查向量的夹角公式cosθ=,属于简单题.
12.13.已知向量,则
(1)与同向的单位向量的坐标表示为___;
(2)向量与向量夹角的余弦值为____
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