参数函数的单调区间.doc
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第三章 第16炼含参数函数的单调区间导数
第16炼含参数函数的单调区间
在高考导数的综合题中,所给函数往往是一个含参数的函数,且导函数含有参数,在分析函数单调性时面临的分类讨论。
本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧,便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。
一、基础知识:
1、导数解单调区间的步骤:
利用导数求函数单调区间的方法,大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。
即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集(减区间)→单调性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式,而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3、求单调区间首先确定定义域,并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉,以简化讨论的不等式
4、关于分类讨论的时机与分界点的确定
(1)分类时机:
并不是所有含参问题均需要分类讨论,例如解不等式:
,其解集为,中间并没有进行分类讨论。
思考:
为什么?
因为无论参数为何值,均是将移到不等号右侧出结果。
所以不需要分类讨论,再例如解不等式,第一步移项得:
(同样无论为何值,均是这样变形),但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果,显然是负数时,不等式恒成立,而是正数时,需要开方进一步求解集,分类讨论由此开始。
体会:
什么时候开始分类讨论?
简而言之,当参数的不同取值对下一步的影响不相同时,就是分类讨论开始的时机。
所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的,而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果,就自然的进行分类讨论。
(2)分界点的确定:
分类讨论一定是按参数的符号分类么?
不一定。
要想找好分界点,首先要明确参数在问题中所扮演的角色。
例如上面的不等式,所扮演的角色是被开方数,故能否开方是进行下一步的关键,那自然想到按的符号进行分类讨论。
(3)当参数取值为一个特定值时,可将其代入条件进行求解
(4)当参数扮演多个角色时,则以其中一个为目标进行分类,在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。
例如:
解不等式:
,可得:
此时扮演两个角色,一个是的系数,将决定解集是小大根之外还是小大根之间,另一个角色是决定的大小,进而要和来角逐大小根。
那么在处理时可先以其中一个为主要目标,例如以系数的正负,进行分类。
①当时,此时不等式的解集为小大根之间,而由于,以此为前提,故小大根不存在问题,解集为
②当时,不等式变为
③当时,不等式解集为小大根之外,而,的大小由的取值决定,所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。
(重视①③的对比)
时,不等式解集为
时,不等式化为
时,不等式解集为
希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界,若能领悟,其分类讨论不再是一个难点,而是有线索可循了。
二、典型例题:
例1:
已知函数,求的单调区间
解:
定义域
令,所解不等式为
当时,即解不等式
的单调区间为:
当时,恒成立
为增函数:
例2:
已知函数
(1)若的图像在处的切线与直线垂直,求实数的值
(2)求函数的单调区间
解:
(1)由切线与垂直可得:
(2)思路:
导函数,令解单调增区间,得到含参不等式。
分类讨论时注意扮演两个角色:
一个是影响最高次项的符号,一个是影响方程的根
解:
令即
①(将的范围分类后,要善于把每一类的范围作为已知条使用件,在本题中使用的条件使得大小能够确定下来,避免了进一步的分类)
的单调区间为:
②的单调区间为:
例3:
已知函数,求的单调区间
解:
定义域:
,令,可得:
即
当时,
的单调区间为:
当时,为增函数
当时,恒成立为增函数
例4:
讨论函数的单调区间
解:
令
即(注意定义域为,所以导函数分母恒正,去掉后简化所解不等式)
①时(求解需要除以后开方,进而两个地方均需要分类讨论,先从的符号入手)
恒成立,在单调递增
②函数为增函数
③时(下一步为开方出解集,按的符号进行再分类)
当即时,恒成立,在单调递减
当即时,解得:
的单调区间为:
小炼有话说:
本题定义域为,故对单调区间既有促进作用又有制约作用:
促进作用体现在对所解不等式的简化,请大家养成一个良好习惯,当已知变量范围时,一边关注范围一边解不等式。
制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集,所以在时,表格中自变量的区间是从处开始分析的
例5:
已知函数,讨论的单调性
解:
定义域为
令即
考虑(左边无法直接因式分解,考虑二次函数是否与轴有交点)
①时恒成立,故在单调递增
②时的解
的解集为
的单调区间为:
③时
在单调递增
小炼有话说:
本题亮点在于②③的讨论,判断极值点是否在定义域中。
进而确定单调性。
除了解出根来判断符号之外,本题还可以利用韦达定理进行判断。
,说明两根同号,而,说明的符号决定的正负,从而在的情况下进行再次分类讨论
例6:
已知函数,其中.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间.
解:
(1)
切线方程为:
,即
(2),
令,即解不等式:
①当时,解得:
,故的单调区间为:
②当时,所以解得:
故的单调区间为:
③,则,常值函数不具备单调性
④时,解得:
或故的单调区间为:
例7:
已知函数.求函数的单调区间.
解:
令,即,
(参数角色:
①的大小,②是否在定义域内,以①为目标分类)
①即(此时一定在定义域中,故不再分类)
不等式的解集为或的单调区间为:
↗
↘
↗
②在单调递增
③,要根据是否在进行进一步分类
当时,不等式的解集为或
的单调区间为:
↗
↘
↗
当时,则,不等式的解集为,的单调区间为:
↘
↗
小炼有话说:
(1)在求单调区间时面临一个的根是否在定义域中的问题,由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用,一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简,另一方面也圈住了单调区间,极值点所在的范围。
(2)体会参数起到多重作用时,是如何进行分类讨论的,以及在某个大前提下,参数讨论也可进行些简化。
例8:
已知函数,求的单调区间
解:
定义域
令,即解不等式
(1)当时,可得,则不等式的解为
的单调区间为:
(2)当时,
①时,即,解得或
的单调区间为:
②,代入到恒成立为增函数
③,解得:
或
的单调区间为:
例9:
设函数,求的单调区间;
解:
,令即
(1)则恒成立在上单调递增
(2)或
①当时,解得,单调区间为:
②当时,解得:
或
单调区间为:
例10:
已知函数,其中,试讨论的单调性
思路:
,可令,则需解不等式,由于的奇偶不同会导致解集不同,所以可对分奇偶讨论
解:
令解得
当为奇数时,为偶数,可解得:
的单调区间为:
当为偶数时,为奇数,可解得:
的单调区间为:
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