点线面复习.doc
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点、直线、平面之间的位置关系
重点、难点
重点:
各知识点间的网络关系;
难点:
在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
考点及考试要求
(1)空间点、线、面间的位置关系;
(2)直线、平面平行的判定及性质;
(3)直线、平面垂直的判定及性质。
教学内容知识框架
1、刻画平面的四个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑推理的基础。
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内——判定直线是否在平面内的依据;
公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面——提供确定平面最基本的依据;
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线——判定两个平面交线位置的依据;
公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行——判定空间直线之间平行的依据。
我们把不同人任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系有且只有三种
共面直线1相交直线:
同一个平面内,有且只有一个公共点
2平行直线:
同一个平面内,没有公共点
异面直线3不在一个平面内,没有公共点
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们说这两条异面直线垂直。
2、空间问题解决的重要思想方法:
化空间问题为平面问题;
3、空间平行、垂直之间的转化与联系:
平面与平面平行
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面垂直
直线与直线垂直
直线与平面垂直
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。
本章知识结构框图平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
考点1:
空间点、线、面间的位置关系;
典型例题
第1题.下列命题正确的是( )
A.经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
第2题.如图,空间四边形中,,,,分别
是,,,的中点.
求证:
四边形是平行四边形.
第3题.如图,已知长方体中,,,.
(1)和所成的角是多少度?
(2)和所成的角是多少度?
第4题.下列命题中正确的个数是( )
若直线上有无数个点不在平面内,则.
若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都平行.
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A. B.1 C.2 D.3
第5题.若直线不平行于平面,且,则下列结论成立的是( )
A.内的所有直线与异面
B.内不存在与平行的直线
C.内存在唯一的直线与平行
D.内的直线与都相交
第6题.已知,,是三条直线,角,且与的夹角为,那么与夹角为 .
第7题.如图,是长方体的一条棱,这个长方体中与垂直的棱共 条.
第8题.如果,是异面直线,直线与,都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个.
第9题.已知两条相交直线,,则与的位置关系是 .
第10题.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条确定一个平面,一共可以确定几个平面?
如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面?
第11题.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:
与平行. 与是异面直线.
与成角. 与垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是( )
A.,, B.,
C., D.,,
第12题.下列命题中,正确的个数为()
①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行;
②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变;
③过空间四边形的顶点引的平行线段,则是异面直线与所成的角;
④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形
A.0 B.1 C.2 D.3
第13题.在空间四边形中,,分别是,的中点,则与的大小关系是 .
第14题.已知是一对异面直线,且成角,为空间一定点,则在过点的直线中与所成的角都为的直线有 条.
第15题.已知平面,是平面外的一点,过点的直线与平面分别交于两点,过点的直线与平面分别交于两点,若,
则的长为 .
第16题.空间四边形中,,,,分别是,,,的中点,若,且与所成的角为,则四边形的面积是 .
知识概括、方法总结与易错点分析
四个定理的理解、认识与运用,空间感觉的形成
针对性练习
第1题.已知下列四个命题:
①很平的桌面是一个平面;
②一个平面的面积可以是m;
③平面是矩形或平行四边形;
④两个平面叠在一起比一个平面厚.
其中正确的命题有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
第2题.给出下列命题:
和直线都相交的两条直线在同一个平面内;
三条两两相交的直线在同一平面内;
有三个不同公共点的两个平面重合;
两两平行的三条直线确定三个平面.
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
第3题.直线,在上取点,上取点,由这点能确定的平面有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
第4题.三条直线相交于一点,可能确定的平面有( )
A.个 B.个 C.个 D.个或个
第5题.下列命题中,不正确的是( )
①一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面;
③两条相交直线上的三个点确定一个平面;
④两条互相垂直的直线共面.
A.①与② B.③与④ C.①与③ D.②与④
第6题.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( )
A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线
第7题.在长方体中,点,分别是四边形,的对角线的交点,点,分别是四边形,的对角线的交点,点,分别是四边形,的对角线的交点.
求证:
.
第8题.若,是异面直线,,也是异面直线,则与的位置关系是( )
A.异面 B.相交或平行 C.平行或异面 D.相交或平行或异面
第9题.,是异面直线,,是上两点,,是上的两点,,分别是线段和的中点,则和的位置关系是( )
A.异面直线 B.平行直线 C.相交直线 D.平行、相交或异面
第10题.如下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中
①与平行;
②与是异面直线;
③与成角;
④与垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是( )
A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④
第11题.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.任意一条直线不相交
D.无数条直线不相交
第12题.如果直线平行于平面,则 ( )
A.平面内有且只有一直线与平行
B.平面内有无数条直线与平行
C.平面内不存在与平行的直线
D.平面内的任意直线与直线都平行
考点2:
异面直线夹角
典型例题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点,直线MN与PQ所成的度数是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.下列命题中,正确的命题是 ( )
(A)直线a、b异面,过空间任一点O,作OA∥a,OB∥a,则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角
(B)如果∠CBA=∠BAD,那么BC∥AD
(C)和两条异面直线都垂直的直线,叫做这两条异面直线的公垂线
(D)两条异面直线所成的角只能是锐角或直角
知识概括、方法总结与易错点分析
先把异面直线平移成共面的
针对性练习
1.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则BD1与CC1所成角的正切值为_____,BD1与CC1的距离为_____.
2.2.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2a,AA1=a,M、N分别是A1B1、BB1的中点,则A1D与MN所成角的余弦值是__________.
巩固作业
正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G分别为AB、BC、CC的中点,则EF与BG所成角的余弦值为 ( )
(A) (B) (C) (D)-
考点3:
直线与平面平行的求法
典型例题
例1如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有两点E,F,且B1E=C1F.
求证:
EF∥平面ABCD.
证明方法一分别过E,F作EM⊥AB于M,FN⊥BC于N,连接MN.
∵BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,
∴EM∥BB1,FN∥BB1,
∴EM∥FN.
又∵B1E=C1F,∴EM=FN,
故四边形MNFE是平行四边形,∴EF∥MN.
又MN平面ABCD,EF平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD.
方法二过E作EG∥AB交BB1于G,
连接GF,则,
∵B1E=C1F,B1A=C1B,
∴,∴FG∥B1C1∥BC,
又EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD,而EF平面EFG,
∴EF∥平面ABCD.
例2已知P为△ABC所在平面外一点,G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.
(1)求证:
平面G1G2G3∥平面ABC;
(2)求S△∶S△ABC.
(1)证明如图所示,连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F,
连接DE、EF、FD,则有PG1∶PD=2∶3,
PG2∶PE=2∶3,∴G1G2∥DE.
又G1G2不在平面ABC内,
∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.
又因为G1G2∩G2G3=G2,
∴平面G1G2G3∥平面ABC.
(2)解由
(1)知=,∴G1G2=DE.
又DE=AC,∴G1G2=AC.
同理G2G3=AB,G1G3=BC.
∴△G1G2G3∽△CAB,其相似比为1∶3,
∴S△∶S△ABC=1∶9.
例3(16分)如图所示,平面∥平面,点A∈,C∈,点B∈,D∈,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.
(1)求证:
EF∥;
(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,
求EF的长.
(1)证明①当AB,CD在同一平面内时,
由∥,平面∩平面ABDC=AC,
平面∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD,
∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,
又EF,BD,∴EF∥.
②当AB与CD异面时,
设平面ACD∩=DH,且DH=AC.
∵∥,∩平面ACDH=AC,
∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形,
在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,
又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH,
又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面.
∵EF平面EFG,∴EF∥.综上,EF∥.
(2)解如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴ME∥BD,MF∥AC,
且ME=BD=3,MF=AC=2,
∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角),
∴∠EMF=60°或120°,
∴在△EFM中由余弦定理得,
EF=
==,
即EF=或EF=.
知识概括、方法总结与易错点分析
定理见解总结
针对性练习
1.判断下列命题是否正确,若正确,请简述理由,若不正确,请给出反例:
(1)如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;
(2)如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
(3)如果直线a、b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b;
(4)如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,bα,那么b∥α;
(5)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条
1.下列命题中,正确命题的个数是.
①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥;②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行;
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
2.下列条件中,不能判断两个平面平行的是(填序号).
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
3.对于平面和共面的直线m、n,下列命题中假命题是(填序号).
①若m⊥,m⊥n,则n∥
②若m∥,n∥,则m∥n
③若m,n∥,则m∥n
④若m、n与所成的角相等,则m∥n
4.已知直线a,b,平面,则以下三个命题:
①若a∥b,b,则a∥;
②若a∥b,a∥,则b∥;
③若a∥,b∥,则a∥b.
其中真命题的个数是.
5.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,M、N分别是BC和A1B1的中点.
求证:
MN∥平面AA1C1.
巩固作业
1.下列命题,其中真命题的个数为.
①直线l平行于平面内的无数条直线,则l∥;
②若直线a在平面外,则a∥;
③若直线a∥b,直线b,则a∥;
④若直线a∥b,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.
2.对于不重合的两个平面与,给定下列条件:
①存在平面,使得,都垂直于;
②存在平面,使得,都平行于;
③存在直线l,直线m,使得l∥m;
④存在异面直线l、m,使得l∥,l∥,m∥,m∥.
其中,可以判定与平行的条件有(写出符合题意的序号).
3.已知平面⊥平面,∩=l,点A∈,Al,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥,m∥,则下列四种位置关系中,一定成立的是.
①AB∥m ②AC⊥m
③AB∥ ④AC⊥
4.设有直线m、n和平面、.下列命题不正确的是(填序号).
①若m∥,n∥,则m∥n
②若m,n,m∥,n∥,则∥
③若⊥,m,则m⊥
④若⊥,m⊥,m,则m∥
5.下列关于互不相同的直线m,l,n和平面,的四个命题:
①若m,l∩=A,点Am,则l与m不共面;
②若m,l是异面直线,l∥,m∥,且n⊥l,n⊥m,则n⊥;
③若l∥,m∥,∥,则l∥m;
④若l,m,l∩m=A,l∥,m∥,则∥.
其中假命题的序号是.
考点4:
二面角
典型例题
D
P
C
A
B
1.如图三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=,D是BC的中点,且△ADC是边长为2的正三角形,求二面角P-AB-C的大小。
解:
由已知条件,D是BC的中点
∴CD=BD=2又△ADC是正三角形
∴AD=CD=BD=2
∴D是△ABC之外心又在BC上
∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形,
∴AB⊥AC,又PC⊥面ABC
∴PA⊥AB(三垂线定理)
∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角,
易求∠PAC=30°
2.如图在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,BS=BC,求以BD为棱,BDE与BDC为面的二面角的度数。
解:
∵BS=BC,又DE垂直平分SC
E
D
B
A
S
C
∴BE⊥SC,SC⊥面BDE
∴BD⊥SC,又SA⊥面ABC
∴SA⊥BD,BD⊥面SAC
∴BD⊥DE,且BD⊥DC
则∠EDC就是所要求的平面角
设SA=AB=a,
则BC=SB=a且AC=
易证△SAC∽△DEC
∴∠CDE=∠SAC=60°
S
R
N
M
O
B
D
P
A
C
3.如图:
ABCD是矩形,AB=8,BC=4,AC与BD相交于O点,P是平面ABCD外一点,PO⊥面ABCD,PO=4,M是PC的中点,求二面角M-BD-C大小。
解:
取OC之中点N,则MN∥PO
∵PO⊥面ABCD
∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2,
过N作NR⊥BD于R,连MR,
则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角
过C作CE⊥BD于S
则RN=CE在Rt△BCD中,CD·BC=BD·CE
∴
∴
∴
4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=,求二面角A-BD-C的余弦值。
D
B
A
E
C
解:
过A作AE⊥CB的延长线于E,连结DE,
∵面ABC⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
∴E点即为点A在面BCD内的射影
∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=
∴AD=,
∴sin∠ABD=
∴又
∴
∴
考虑到我们求的是二面角A-BD-E,而二面角A-BD-C与A-BD-C互补
∴二面角A-BD-C的余弦值为。
5.已知正方体AC',M、N分别是BB',DD'的中点,求截面AMC'N与面ABCD,CC'D'D所成的角。
D’
B’
D
A
C’
B
A’
C
M
N
解:
设边长为a,易证ANC'N是菱形
且MN=,A'C=
∴S□AMC'N=
由于AMC'N在面ABCD上的射影即
为正方形ABCD
∴S□ABCD=
∴
∴
取CC'的中点M',连结DM'
则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影,
S□DM'C'M=
∴
知识概括、方法总结与易错点分析
二面角求法:
首先要找出二面角的平面角然后求出二面角
针对性练习
D
O
A
B
C
三棱锥A-BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,∠DBC=30°,AB=AC=,AD=4,求二面角A-BC-D的度数。
巩固作业
如图,将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角.
(1)若二面角是直二面角,求的长;
(2)求与平面所成的角;
(3)若二面角的平面角为120°,求二面角的平面角的正切值.
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