二次函数应用专题汇编.doc
- 文档编号:6120593
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOC
- 页数:25
- 大小:1.31MB
二次函数应用专题汇编.doc
《二次函数应用专题汇编.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次函数应用专题汇编.doc(25页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中考资源网
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)
专题23:
二次函数的应用(实际问题)
一、选择题
1.(2012四川资阳3分)如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是【】
A.B.C.且D.或
【答案】D。
【考点】二次函数与不等式(组),二次函数的性质。
【分析】利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出的解集:
由图象得:
对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)。
由图象可知:
的解集即是y<0的解集,
∴x<-1或x>5。
故选D。
二、填空题
1.(2012浙江绍兴5分)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为,由此可知铅球推出的距离是▲m。
【答案】10。
【考点】二次函数的应用。
【分析】在函数式中,令,得
,解得,(舍去),
∴铅球推出的距离是10m。
2.(2012湖北襄阳3分)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:
m)与滑行时间x(单位:
s)之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2,该型号飞机着陆后滑行 ▲ m才能停下来.
【答案】600。
【考点】二次函数的应用。
1028458
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程,即是求函数的最大值。
∵﹣1.5<0,∴函数有最大值。
∴,即飞机着陆后滑行600米才能停止。
3.(2012山东济南3分)如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需▲秒.
【答案】36。
【考点】二次函数的应用
【分析】设在10秒时到达A点,在26秒时到达B,
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同,
∴A,B关于对称轴对称。
则从A到B需要16秒,从A到D需要8秒。
∴从O到D需要10+8=18秒。
∴从O到C需要2×18=36秒。
三、解答题
1.(2012重庆市10分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:
7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:
z1(元)与月份x之间满足函数关系式:
,该企业自身处理每吨污水的费用:
z2(元)与月份x之间满足函数关系式:
;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.
(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;
(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值.
(参考数据:
≈15.2,≈20.5,≈28.4)
【答案】解:
(1)根据表格中数据可以得出xy=定值,
则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系:
。
将(1,12000)代入得:
k=1×12000=12000,
∴(1≤x≤6,且x取整数)。
根据图象可以得出:
图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax2+c得:
,解得:
。
∴y2=x2+10000(7≤x≤12,且x取整数)。
(2)当1≤x≤6,且x取整数时:
=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000(x﹣5)2+2200。
∵a=﹣1000<0,1≤x≤6,∴当x=5时,W最大=22000(元)。
当7≤x≤12时,且x取整数时:
W=2×(12000﹣y1)+1.5y2=2×(12000﹣x2﹣10000)+1.5(x2+10000)=﹣x2+1900。
∵a=﹣<0,对称轴为x=0,当7≤x≤12时,W随x的增大而减小,
∴当x=7时,W最大=18975.5(元)。
∵22000>18975.5,
∴去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。
(3)由题意得:
12000(1+a%)×1.5×[1+(a﹣30)%]×(1﹣50%)=18000,
设t=a%,整理得:
10t2+17t﹣13=0,解得:
。
∵≈28.4,∴t1≈0.57,t2≈﹣2.27(舍去)。
∴a≈57。
答:
a整数值是57。
【考点】二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,解一元二次方程。
【分析】
(1)利用表格中数据可以得出xy=定值,则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系,求出即可。
再利用函数图象得出:
图象过(7,10049),(12,10144)点,求出二次函数解析式即可。
(2)利用当1≤x≤6时,以及当7≤x≤12时,分别求出处理污水的费用,即可得出答案。
(3)利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a一30)%,得出等式12000(1+a%)×1.5×[1+(a-30)%]×(1-50%)=18000,进而求出即可。
2.(2012安徽省14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?
球会不会出界?
请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。
【答案】解:
(1)把x=0,y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6,∴
∴当h=2.6时,y与x的关系式为y=(x-6)2+2.6
(2)当h=2.6时,y=(x-6)2+2.6
∵当x=9时,y=(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过网。
∵当y=0时,即(18-x)2+2.6=0,解得x=>18,∴球会过界。
(3)把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。
x=9时,y=(9-6)2+h>2.43①
x=18时,y=(18-6)2+h=≤0②
由①②解得h≥。
∴若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围为h≥。
【考点】二次函数的性质和应用。
【分析】
(1)利用h=2.6,将(0,2)点,代入解析式求出即可。
(2)利用h=2.6,当x=9时,y=(9-6)2+2.6=2.45与球网高度比较;当y=0时,解出x值与球场的边界距离比较,即可得出结论。
(3)根据球经过点(0,2)点,得到a与h的关系式。
由x=9时球一定能越过球网得到y>2.43;由x=18时球不出边界得到y≤0。
分别得出h的取值范围,即可得出答案。
3.(2012浙江嘉兴、舟山12分)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为 元(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?
最大是多少元?
(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
4.(2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位:
米)与时间t(单位:
秒)之间的关系得部分数据如下表:
时间t(秒)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
…
行驶距离s(米)
0
2.8
5.2
7.2
8.8
10
10.8
…
(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式;
(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?
②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应s的值分别为s1,s2,请比较与的大小,并解释比较结果的实际意义.
【答案】解:
(1)描点图所示:
(2)由散点图可知该函数为二次函数。
设二次函数的解析式为:
s=at2+bt+c,
∵抛物线经过点(0,0),∴c=0。
又由点(0.2,2.8),(1,10)可得:
,解得:
。
经检验,其余各点均在s=-5t2+15t上。
∴二次函数的解析式为:
。
(3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。
∵,∴当t=时,滑行距离最大,为。
因此,刹车后汽车行驶了米才停止。
②∵,∴。
∴。
∵t1<t2,∴。
∴。
其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质和应用,不等式的应用。
【分析】
(1)描点作图即可。
(2)首先判断函数为二次函数。
用待定系数法,由所给的任意三点即可求出函数解析式。
(3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求),即可求得答案。
(4)求出与,用差值法比较大小。
5.(2012江苏常州7分)某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以60元/件销售,每天销售20件。
根据市场调研,若每件每降1元,则每天销售数量比原来多3件。
现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数)。
在促销期间,商场要想每天获得最大销售利润,每件降价多少元?
每天最大销售毛利润为多少?
(注:
每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差)
【答案】解:
根据题意,商场每天的销售毛利润Z=(60-40-x)(20+3x)=-3x2+40x+400
∴当时,函数Z取得最大值。
∵x为正整数,且,
∴当x=7时,商场每天的销售毛利润最大,最大销售毛利润为-3·72+40·7+400=533。
答:
商场要想每天获得最大销售利润,每件降价7元,每天最大销售毛利润为533元。
【考点】二次函数的应用,二次函数的最值。
【分析】求出二次函数的最值,找出x最接近最值点的整数值即可。
6.(2012江苏无锡8分)如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值?
【答案】解:
(1)根据题意,知这个正方体的底面边长a=x,EF=a=2x,
∴x+2x+x=24,解得:
x=6。
则a=6,
∴V=a3=(6)3=432(cm3);
(2)设包装盒的底面边长为acm,高为hcm,则a=x,,
∴S=4ah+a2=。
∵0<x<12,∴当x=8时,S取得最大值384cm2。
【考点】二次函数的应用。
【分析】
(1)根据已知得出这个正方体的底面边长a=x,EF=a=2x,再利用AB=24cm,求出x即可得出这个包装盒的体积V。
(2)利用已知表示出包装盒的表面,从而利用函数最值求出即可。
7.(2012江苏盐城12分)
知识迁移:
当且时,因为≥,所以≥,从而≥(当
时取等号).记函数,由上述结论可知:
当时,该函数有最小值为.
直接应用:
已知函数与函数,则当_________时,取得最小值
为_________.
变形应用:
已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该
最小值时相应的的值.
实际应用:
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:
一是固定费用,共元;二是燃油费,每
千米为元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,
求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?
最低是多少元?
【分析】直接运用:
可以直接套用题意所给的结论,即可得出结果:
∵函数,由上述结论可知:
当时,该函数有最小值为,
∴函数与函数,则当时,取得最小值为。
变形运用:
先得出的表达式,然后将看做一个整体,再运用所给结论即可。
实际运用:
设该汽车平均每千米的运输成本为元,则可表示出平均每千米的运输成本,利用所
给的结论即可得出答案。
8.(2012江苏扬州12分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?
若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)∵A(-1,0)、B(3,0)经过抛物线y=ax2+bx+c,
∴可设抛物线为y=a(x+1)(x-3)。
又∵C(0,3)经过抛物线,∴代入,得3=a(0+1)(0-3),即a=-1。
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3。
(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P。
则此时的点P,使△PAC的周长最小。
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将B(3,0),C(0,3)代入,得:
,解得:
。
∴直线BC的函数关系式y=-x+3。
当x-1时,y=2,即P的坐标(1,2)。
(3)存在。
点M的坐标为(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,线段中垂线的性质,三角形三边关系,等腰三角形的性质。
【分析】
(1)可设交点式,用待定系数法求出待定系数即可。
(2)由图知:
A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:
若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。
(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:
①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解:
∵抛物线的对称轴为:
x=1,∴设M(1,m)。
∵A(-1,0)、C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10。
①若MA=MC,则MA2=MC2,得:
m2+4=m2-6m+10,得:
m=1。
②若MA=AC,则MA2=AC2,得:
m2+4=10,得:
m=±。
③若MC=AC,则MC2=AC2,得:
m2-6m+10=10,得:
m=0,m=6,
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去。
综上可知,符合条件的M点,且坐标为(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。
9.(2012福建莆田8分)如图,某种新型导弹从地面发射点L处发射,在初始竖直加速飞行阶段,导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为.发射3s后,导弹到达A点,此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km,再过3s后,导弹到达B点.
(1)(4分)求发射点L与雷达站R之间的距离;
(2)(4分)当导弹到达B点时,求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值.
【答案】解:
(1)把x=3代入,得y=1,即AL=1。
在Rt△ARL中,AR=2,∴ LR=。
(2)把x=3+3=6代入,得y=3,即BL=3。
∴tan∠BRL=。
答:
发射点L与雷达站R之间的距离为km,雷达站测得的仰角的正切值。
【考点】二次函数的应用,解直角三角形的应用(仰角俯角问题),勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】
(1)在解析式中,把x=3代入函数解析式,即可求得AL的长,在直角△ALR中,利用勾股定理即可求得LR的长。
(2)在解析式中,把x=6代入函数解析式,即可求得AL的长,在直角△BLR中,根据正切函数的定义即可求解。
10.(2012湖北武汉10分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和
矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的
距离是11m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知从某时刻开始的40h内,水面与河底ED的距离h(单位:
m)随时间t(单位:
h)的变化满足函数
关系且当水面到顶点C的距离不大于5m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:
在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
【答案】解:
(1)设抛物线的为y=ax2+11,由题意得B(8,8),∴64a+11=8,解得。
∴抛物线的解析式y=x2+11。
(2)画出的图象:
水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h≥6,
当h=6时,,解得t1=35,t2=3。
∴35-3=32(小时)。
答:
需32小时禁止船只通行。
【考点】二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)根据抛物线特点设出二次函数解析式,把B坐标代入即可求解。
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至多为6,把6代入所给二次函数关系式,求得t的值,相减即可得到禁止船只通行的时间。
11.(2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400元,销售单价
定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种
新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购
买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并
写出自变量x的取值范围.
(3)该公司的销售人员发现:
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?
(其它销售条件不变)
【答案】解:
(1)设件数为x,依题意,得3000-10(x-10)=2600,解得x=50。
答:
商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元。
(2)当0≤x≤10时,y=(3000-2400)x=600x;
当10<x≤50时,y=[3000-10(x-10)-2400]x,即y=-10x2+700x;
当x>50时,y=(2600-2400)x=200x。
∴。
(3)由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下,当时,利润y有最大值,
此时,销售单价为3000-10(x-10)=2750元,
答:
公司应将最低销售单价调整为2750元。
【考点】二次函数的应用。
【分析】
(1)设件数为x,则销售单价为3000-10(x-10)元,根据销售单价恰好为2600元,列方程求解。
(2)由利润y=销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10<x≤50,x>50三种情况列出函数关系式。
(3)由
(2)的函数关系式,利用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x的值,确定销售单价。
12.(2012湖南岳阳10分)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图②,过点B作直线BE:
y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果
(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?
若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)∵抛物线C1、C2都过点A(﹣3,0)、B(3,0),
∴设它们的解析式为:
y=a(x﹣3)(x+3)。
∵抛物线C1还经过D(0,﹣3),∴﹣3=a(0﹣3)(0+3),解得a=。
∴抛物线C1:
y=(x﹣3)(x+3),即y=x2﹣3(﹣3≤x≤3)。
∵抛物线C2还经过A(0,1),∴1=a(0﹣3)(0+3),a=﹣
∴抛物线C2:
y=﹣(x﹣3)(x+3),即y=﹣x2+1(﹣3≤x≤3)。
(2)∵直线BE:
y=x﹣1必过(0,﹣1),∴∠CBO=∠EBO(tan∠CBO=tan∠EBO=)。
∵由E点坐标可知:
tan∠AOE≠,即∠AOE≠∠CBO,
∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,只需考虑两种情况:
①∠CBP1=∠EBO,且OB:
BE=BP1:
BC,
由已知和勾股定理,得OB=3,BE=,BC=。
∴3:
=BP1:
,
得:
BP1=,OP1=OB﹣BP1=。
∴P1(,0)
②∠P2BC=∠EBO,且BC:
BP2=OB:
BE,即:
:
BP2=3:
,得:
BP2=,OP2=BP2﹣OB=。
∴P2(﹣,0).
综上所述,符合条件的P点有:
P1(,0)、P2(﹣,0)。
(3)如图,作直线l∥直线BE,设直线l:
y=x+b。
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时:
x+b=x2﹣3,即:
x2﹣x﹣(3b+9)=0。
由△=(-1)2+4(3b+9)=0。
得。
此时,。
∴该交点Q2()。
过点Q2作Q2F⊥BE于点F,则由BE:
y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率为-3,
设Q2F:
y=-3x+m。
将Q2()代入,可得。
∴Q2F:
y=-3x。
联立BE和Q2F,解得。
∴F()。
∴Q2到直线BE:
y=x﹣1的距离Q2F:
。
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时:
x+b=﹣x2+1,即:
x2+3x+9b﹣9=0。
由△=32+4(9b-9)=0。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次 函数 应用 专题 汇编
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)