立体几何(几何法)线面角.doc
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立体几何(几何法)—线面角
例1(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,。
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)设二面角为,求与平面所成角的大小。
【答案】解:
方法一:
(1)证明:
因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,所以PC⊥BD.
设AC∩BD=F,连结EF.因为AC=2,
PA=2,PE=2EC,故
PC=2,EC=,FC=,
从而=,=.
因为=,∠FCE=∠PCA,所以
△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足.
因为二面角A-PB-C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC=PB,
故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD为正方形,AD=2,PD==2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC,且AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,故AD∥平面PBC,AD两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=.
设PD与平面PBC所成的角为α,则sinα==.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二:
(1)以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设C(2,0,0),D(,b,0),其中b>0,则P(0,0,2),E,B(,-b,0).
于是=(2,0,-2),=,=,从而·=0,
·=0,故PC⊥BE,PC⊥DE.
又BE∩DE=E,所以PC⊥平面BDE.
(2)=(0,0,2),=(,-b,0).
设=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则·=0,·=0,
即2z=0且x-by=0,
令x=b,则=(b,,0).
设=(p,q,r)为平面PBC的法向量,则
·=0,·=0,
即2p-2r=0且+bq+r=0,
令p=1,则r=,q=-,=.
因为面PAB⊥面PBC,故·=0,即b-=0,故b=,于是=(1,-1,),=(-,-,2),
cos〈,〉==,
〈,〉=60°.
因为PD与平面PBC所成的角和〈,〉互余,
故PD与平面PBC所成的角为30°.
例2(2012高考天津文科17)(本小题满分13分)
如图1-4,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
图1-4
【答案】解:
(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因为AD⊥PD,故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.
在Rt△PDA中,tan∠PAD==2.
所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)证明:
由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.
(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.
由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.
在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2,可得∠PCD=30°.
在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=.
由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.
在Rt△PCB中,PB==.
在Rt△PEB中,sin∠PBE==.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
例3(2012高考浙江文20)(本题满分15分)如图1-5,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.
(1)证明:
(i)EF∥A1D1;
(ii)BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.
图1-5
【答案】解:
(1)证明:
(ⅰ)因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面A1D1DA,所以C1B1∥平面A1D1DA,
又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,
所以C1B1∥EF,
所以A1D1∥EF.
(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1,
所以BB1⊥B1C1.
又因为B1C1⊥B1A1,
所以B1C1⊥平面ABB1A1,
所以B1C1⊥BA1.
在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,
即∠A1B1F=∠AA1B,
故BA1⊥B1F,
所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)设BA1与B1F交点为H,连结C1H.
由
(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角.
在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=.
在直角△BHC1中,BC1=2,BH=,得
sin∠BC1H==,
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.
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