厦门市2013届高三质量检查数学理科试卷(含答案).doc
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厦门市2013届高三质量检查
数学(理科)试卷
注意事项:
1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名;
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一.选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.
1.已知全集,集合,,则等于()
A.B.C.D.
2.双曲线的渐近线方程为()
A.B.C.D.
3.某雷达测速区规定:
凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()
A.20辆B.40辆C.60辆D.80辆
4.“”是”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数()
A.是偶函数且为减函数B.是偶函数且为增函数
C.是奇函数且为减函数D.是奇函数且为增函数
开始
i=0
输入正整数n
n为奇数?
n=3n+1
n=n/2
i=i+1
n=1?
输出i
结束
6.若不等式组表示的平面区域为,不等式表示的平面区域为,
现随机向区域内投掷一粒豆子,则豆子落在区域内的概率为()
A.B.C.D.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为()
A.B.C.D.
8.在右侧程序框图中,输入,按程序运行后输出的结果是()
A.3B.4C.5D.6
9.若函数在上有最小值,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
10.中,,为锐角,点O是外接圆的圆心,则的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二.填空题:
本大题共5小题,每小题4分,满分20分。
11.若为纯虚数(为虚数单位),则实数=.
12.已知则=.
13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图
是半圆。
现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到
A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________.
14.在含有3件次品的10件产品中,取出件产品,
记表示取出的次品数,算得如下一组期望值:
当n=1时,;
当n=2时,;
当n=3时,;
……
观察以上结果,可以推测:
若在含有件次品的件产品中,取出件产品,记表示取出的次品数,则=.
15.某同学在研究函数的性质时,受到两点间距离公式的启发,将变形为,则表示(如图),下列关于函数的描述正确的是.(填上所有正确结论的序号)
①的图象是中心对称图形;②的图象是轴对称图形;
③函数的值域为;④方程有两个解.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
已知函数()的周期为4。
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象,
、分别为函数图象的最高点和最低点(如图),求的大小。
17.(本小题满分13分)
如图,PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O
(Ⅰ)求证:
OP⊥平面QBD;
(Ⅱ)求二面角P-BQ-D平面角的余弦值;
(Ⅲ)过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E,求的值.
18.(本小题满分13分)
某城市2002年有人口200万,该年医疗费用投入10亿元。
此后该城市每年新增人口10万,医疗费用投入每年新增亿元。
已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)预计该城市从2013年起,每年人口增长率为10%。
为加大医疗改革力度,要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元,若医疗费用人均投入每年新增元,求的值。
(参考数据:
)
19.(本小题满分13分)
已知函数在处的切线与直线垂直,函数.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若函数存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)设是函数的两个极值点,若,求的最大值.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆.
(Ⅰ)我们知道圆具有性质:
若为圆O:
的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。
类比圆的这个性质,写出椭圆的类似性质,并加以证明;
(Ⅱ)如图
(1),点B为在第一象限中的任意一点,过B作的切线,分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求三角形OCD面积的最小值;
(Ⅲ)如图
(2),过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?
若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
图
(1)图
(2)
21.本题设有
(1)
(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:
矩阵与变换
已知矩阵,.
(Ⅰ)求矩阵A的逆矩阵;
(Ⅱ)求直线在矩阵对应的线性变换作用下所得曲线的方程.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(为参数).
(Ⅰ)将C的方程化为普通方程;
(Ⅱ)以为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程是,
求曲线C与C交点的极坐标.
(3)(本小题满分7分)选修4-5:
不等式选讲
已知正数,,满足.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)若不等式对满足条件的,,恒成立,求实数的取值范围.
厦门市2013届高三质量检查
数学(理科)评分标准
一.选择题;
10.分析1:
BC=2,,所以,如图建系,
,求得圆O:
,设,则
分析2:
…
分析3:
又,
所以=
二.填空题:
11.12.13.(或)14.15.②③
15.分析:
如图设,当P,Q关于对称时,即
所以f(x)关于对称.
④设,则,观察出,则,由③知无解.
三.解答题:
16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质,考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力,考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力.满分13分.
解:
(1)
----------------------------------------------------------------1分
-------------------------------------3分
-------------------------------------5分
-------------------------------------6分
(2)将的图像沿轴向右平移个单位得到函数---------------------------7分
因为、分别为该图像的最高点和最低点,
所以--------------------------------------------------------------------------9分
所以----------------------------------------------------------------------------10分
--------------------------------------------------12分
所以---------------------------------------------------------------------------------------13分
法2:
法3:
利用数量积公式,
17.本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法,
考查空间想象、计算、推理论证等能力.满分13分.
解:
(Ⅰ)连接OQ,由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面
BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PACQ,∴BD⊥OP.------------------------------------------------------1分
由题中数据得PA=2,AO=OC=,OP=,QC=1,OQ=
∴△PAO∽△OCQ,∴∠POA=∠OQC,
又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ
(或计算PQ=3,由勾股定理得出∠POQ=90°,OP⊥OQ)------------------3分
∵OP⊥BD,OP⊥OQ,BD∩OQ=O,∴OP⊥平面QBD--------------------------4分
(Ⅱ)如图,以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系,
∴各点坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,2,1),O(1,1,0)-------------------5分
∴=(-2,0,2),=(0,2,1),设平面PBQ的法向量
∴,得,
不妨设,∴--------------------------------------------------------------------------------------------------6分
由(Ⅰ)知平面BDQ的法向量,---------------------------------------------------------------------------7分
,>=,
∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.-------------------------------------------------------------------------------------9分
(Ⅲ)设,∴,
,-------------------------------------------------------------------------------------------11分
∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。
----------------------------------------------------------------------------------------12分
∴.∴--------------------------------------------------------------------------------------------------------------13分
(方法二)在平面PAD中,分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M,
连结MC交直线DQ与点N,在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E,----------------------------11分
由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N
∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分
∵CQ=1,MD=PA=2,∴
∵NE∥PQ,------------------------------------------------------------13分
18.本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力,考查等差等比数列的基本知识,考查数学建模及其应用与计算的能力,考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力.满分13分.
解:
(Ⅰ)依题意,从2002年起,该城市的人口数组成一个等差数列,
到2012年,,该城市的人口数为万人,--------------------------------2分
故2012年医疗费用投入为元,即为30亿元,
由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列,--------------------------------------------------4分
所以,解得,--------------------------------------------------------------------------------5分
(Ⅱ)依题意,从2013年起(记2013年为第一年),
该城市的人口数组成一个等比数列,
其中,公比,----------------------------------------6分
医疗费用人均投入组成一个等差数列,
其中,公差为,;---------------------------------------------------------------7分
于是,从2013年起,将来10医疗费用总投入为:
,----------------------------------------------------------------------------------------8分
,
,
相减得:
,
,
所以(万元),----------------------------------------------------------------------------12分
由题设,,解得。
------------------------------------------------------13分
19.本题主要考查函数的导数的几何意义,导数知识的应用等基础知识,函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。
满分13分.
解:
(Ⅰ)∵,∴.------------------------------------------------------------------1分
∵与直线垂直,∴,∴.---------------------------------3分
(Ⅱ)∵,∴.---------------------------4分
由题知在上有解,∵,----------------------------------------------------------------5分
设,则∴只须------------------------------7分
,故的取值范围为.-------------------------------------------------8分
(Ⅲ)∵,∴令,得:
∴,
法1:
∵
----------------------------10分
∵,∴设,令-------------------------11分
则,∴在上单调递减.-----------------------------------------12分
又∵,∴,即
∵,∴,∴,,故所求最小值为--13分
法2:
同上得
--------------------------------------------10分
令,则----------------------------------------11分
≥0----------------------------------------------------------12分
在上为增函数.当时,故所求最小值为---------------------13分
20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识,考查类比推理论证能力、运算求解能力,考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
满分14分.
解:
(Ⅰ)若A,B为椭圆上相异的两点,为A,B中点,当直线AB
的斜率与直线OE的斜率的乘积必为定值;---------------------------------------------------1分
证1:
设,则
(2)-
(1)得:
,-----------2分
仅考虑斜率存在的情况:
----------------------------------------4分
证2:
设AB:
与椭圆联立得:
,-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分
所以----------4分
(Ⅱ)(ⅰ)当点A无限趋近于点B时,割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率,
即,
所以点B处的切线QB:
----------------6分
令,,令,所以-----------------8分
又点B在椭圆的第一象限上,所以
,当且仅当
所以当时,三角形OCD的面积的最小值为-------10分(没写等号成立扣1分)
(ⅱ)设,由(ⅰ)知点处的切线为:
又过点,所以,又可理解为点在直线上
同理点在直线上,所以直线MN的方程为:
--------------------------12分
所以原点O到直线MN的距离,----------13分
所以直线MN始终与圆相切. ------------------------14分
21.
(1)选修4-2:
矩阵与变换
本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识,考查书写表达能力、运算求解能力。
满分7分K^S*5U.C#O%
解:
(Ⅰ),矩阵A可逆.---------------------------------------------------------------------1分
且-------------------------------------------------------------------------------------------3分
(Ⅱ)==---------------------------------------------------------------------------4分
设直线上任意一点在矩阵对应的线性变换作用下得到,
则=----------------------------------------------------------------------------------------------------5分
即:
,从而------------------------------------------------------------------------------6分
代入得即为所求的曲线方程。
-------------------------------------7分
(2)选修4-4:
坐标系与参数方程
本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识,考查运算求解能力,数形结合思想。
满分7分
解:
(Ⅰ)C的普通方程为:
---------------------------------------------------------------------------3分
(Ⅱ)法一:
如图,设圆心为A,原点O在圆上,
设C与C相交于O、B,取线段OB中点C,
直线OB倾斜角为,OA=2,-----------------------------------------------4分
OC=1从而OB=2,-------------------------------------------------------------5分
O、B的极坐标分别为------------------------------------7分
法二:
C的直角坐标方程为:
--------------------------------------4分
代入圆的普通方程后,得,即:
,得:
O、B的直角坐标分别为---------------------------------------------------------------------5分
从而O、B的极坐标分别为---------------------------------------------------------------------7分
(3)选修4-5:
不等式选讲
本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,分类讨论思想。
满分7分
解:
(Ⅰ)由柯西不等式,----------------------------------------------1分
即有,
又、、是正数,即的最大值为6,-------------------------------------2分
当且仅当,即当时取得最大值。
-------------------------------------------------3分
(Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得,------------------------------------------------------4分
即:
---------------------------------------------------------------------6分
解得:
无解或综上,实数的取值范围为------------------------------------------7分
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