上海市黄浦区2016年高三数学二模(理)试卷及解析.doc
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上海市黄浦区2016年高考数学二模试卷(理科)(解析)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.
1.已知集合A={﹣1,3,2m﹣1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m= .
2.计算:
= .
3.函数的反函数f﹣1(x)= .
4.函数f(x)=(sinx﹣cosx)2的最小正周期为 .
5.在极坐标系中,直线ρ(cosθ+2sinθ)=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为 (结果用反函数值表示)
6.已知菱形ABCD,若||=1,A=,则向量在上的投影为 .
7.已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成,如图所示,若该凸多面体所有棱长均为1,则其体积V= .
8.已知函数f(x)=x3+lg(+x),若f(x)的定义域中的a、b满足f(﹣a)+f(﹣b)﹣3=f(a)+f(b)+3,则f(a)+f(b)= .
9.在代数式(4x2﹣2x﹣5)(1+)5的展开式中,常数等于 .
10.若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5,最大值为15,则椭圆的短轴长为 .
11.有红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各三个,在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3,现任取出3个,它们的颜色号码均不相等的概率是 .
12.设离散型随机变量ξ可能取到值为1,2,3,P(ξ)=ak+b(k=1,2,3),若ξ的数学期望Eξ=,则a+b= .
13.正整数a、b满足1<a<b,若关于x、y的方程组有且只有一组解,则a的最大值为 .
14.已知数列{an}中,若a1=0,ai=k2(i∈N*,2k≤i<2k+1,k=1,2,3,…),则满足ai+a2i≥100的i的最小值为
.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1:
a1x+b1y+c1=0,l2:
a2x+b2y+c2=0,那么“=0是“两直线l1,l2平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
16.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
17.若△ABC的三条边a、b、c满足(a+b):
(b+c):
(c+a)=7:
9:
10,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
18.若函数f(x)=lg[sin(πx)sin(2πx)sin(3πx)sin(4πx)]的定义域与区间[0,1]的交集由n个开区间组成,则n的值为( )
A.2B.3C.4D.5
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
19.如图,小凳的凳面为圆形,凳脚为三根细钢管,考虑到钢管的受力等因素,设计的小凳应满足:
三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面,且P分细钢管上下两端的比值为0.618,三只凳脚与地面所成的角均为60°,若A、B、C是凳面圆角的三等分点,AB=18厘米,求凳面的高度h及三根细钢管的总长度(精确到0.01)
20.已知函数f(x)=asinx+bcosx,其中a,b为非零实常数.
(1)f()=,f(x)的最大值为,求a,b的值;‘
(2)若a=1,x=是f(x)的图象的一条对称轴,求x0的值,使其满足f(x0)=,且x0∈[0,2π].
21.已知函数f(x)=ax+,其中a>1:
(1)证明:
函数f(x)在(﹣1,∞)上为增函数;
(2)证明:
不存在负实数x0使得f(x0)=0.
22.已知数列{an}的通项公式为an=(n﹣k1)(n﹣k2),其中k1,k2∈Z:
(1)试写出一组k1,k2∈Z的值,使得数列{an}中的各项均为正数;
(2)若k1=1、k2∈N*,数列{bn}满足bn=,且对任意m∈N*(m≠3),均有b3<bm,写出所有满足条件的k2的值;
(3)若0<k1<k2,数列{cn}满足cn=an+|an|,其前n项和为Sn,且使ci=cj≠0(i,j∈N*,i<j)的i和j有且仅有4组,S1、S2、…、Sn中至少3个连续项的值相等,其他项的值均不相等,求k1,k2的最小值.
23.对于双曲线C(a,b):
﹣=1(a,b>0),若点P(x0,y0)满足﹣<1,则称P在C(a,b)的外部,若点P(x0,y0)满足﹣>1,则称C(a,b)在的内部;
(1)若直线y=kx+1上的点都在C(1,1)的外部,求k的取值范围;
(2)若C(a,b)过点(2,1),圆x2+y2=r2(r>0)在C(a,b)内部及C(a,b)上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半,求b、r满足的关系式及r的取值范围;
(3)若曲线|xy|=mx2+1(m>0)上的点都在C(a,b)的外部,求m的取值范围.
2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.
1.已知集合A={﹣1,3,2m﹣1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m= 1 .
【分析】根据题意,若B⊆A,必有m2=2m﹣1,而m2=﹣1不合题意,舍去,解可得答案,注意最后进行集合元素互异性的验证.
【解答】解:
由B⊆A,m2≠﹣1,
∴m2=2m﹣1.解得m=1.
验证可得符合集合元素的互异性,
此时B={3,1},A={﹣1,3,1},B⊆A满足题意.
故答案为:
1
【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系,注意解题时要验证互异性,属于基础题.
2.计算:
= .
【分析】分子分母同时除以3n,原式简化为,由此求出值即可.
【解答】解:
故答案为:
.
【点评】本题是一道基础题,考查函数的极限,解题时注意消除零因式.
3.函数的反函数f﹣1(x)= (x﹣1)3 .
【分析】欲求原函数f(x)=x3+1的反函数,即从原函数式中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.
【解答】解:
∵=y,
∴x=(y﹣1)3,
∴x,y互换,得y=(x﹣1)3.
故答案为(x﹣1)3.
【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:
1、换:
x、y换位,2、解:
解出y,3、标:
标出定义域,据此即可求得反函数.
4.函数f(x)=(sinx﹣cosx)2的最小正周期为 π .
【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式,然后利用周期公式求出函数的周期.
【解答】解:
函数f(x)=(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x;
所以函数的最小正周期为:
T=,
故答案为:
π.
【点评】本题是基础题,考查三角函数的化简周期的求法,考查计算能力.
5.在极坐标系中,直线ρ(cosθ+2sinθ)=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为 arctan (结果用反函数值表示)
【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系,把记极坐标方程化为直角坐标系方程,再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可.
【解答】解:
把极坐标方程ρ(cosθ+2sinθ)=1与ρsinθ=1化为普通方程是
x+2y=1与y=1;
又直线x+2y=1与y=1夹角的正切值为,
所以直线ρ(cosθ+2sinθ)=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan.
故答案为:
arctan.
【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题,能进行极坐标和直角坐标的互化,是解题的关键.
6.已知菱形ABCD,若||=1,A=,则向量在上的投影为 .
【分析】由题意作图辅助,解菱形,从而求得向量在上的投影.
【解答】解:
∵在菱形ABCD中,A=,
∴∠CAB=,
又∵||=1,
∴||=2||cos=,
∴向量在上的投影为||cos=,
故答案为:
.
【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用,属于中档题.
7.已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成,如图所示,若该凸多面体所有棱长均为1,则其体积V= .
【分析】多面体为正六棱柱,底面边长和高都是1.
【解答】解:
由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱,底面边长和高均为1.
正六棱柱的底面积S==.
∴多面体的体积V=Sh==.
故答案为.
【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算,属于基础题.
8.已知函数f(x)=x3+lg(+x),若f(x)的定义域中的a、b满足f(﹣a)+f(﹣b)﹣3=f(a)+f(b)+3,则f(a)+f(b)= ﹣3 .
【分析】由已知得f(x)是奇函数,由此利用奇函数的性质能求出f(a)+f(b).
【解答】解:
∵f(x)=x3+lg(+x),
∴f(﹣x)=﹣x3﹣lg(+x)=﹣f(x),
∵f(x)的定义域中的a、b满足f(﹣a)+f(﹣b)﹣3=f(a)+f(b)+3,
∴2[f(a)+f(b)]=﹣6,
∴f(a)+f(b)=﹣3.
故答案为:
﹣3.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的性质的合理运用.
9.在代数式(4x2﹣2x﹣5)(1+)5的展开式中,常数等于 15 .
【分析】(1+)5的展开式的通项公式Tr+1==.令﹣2r=﹣2,﹣2r=﹣1,﹣2r=0,分别解出即可得出.
【解答】解:
(1+)5的展开式的通项公式Tr+1==.
令﹣2r=﹣2,﹣2r=﹣1,﹣2r=0,
分别解得:
r=1,r=(舍去),r=0.
∴常数项=4﹣5=20﹣5=15.
故答案为:
15.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
10.若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5,最大值为15,则椭圆的短轴长为 10 .
【分析】不妨设椭圆的标准方程为:
=1(a>b>0),a2=b2+c2.利用已知可得a﹣c=5,a+c=15,解出即可得出.
【解答】解:
不妨设椭圆的标准方程为:
=1(a>b>0),a2=b2+c2.
∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5,最大值为15,
∴a﹣c=5,a+c=15,
∴b2=a2﹣c2=5×15=75.
∴b=5.
则椭圆的短轴长为10.
故答案为:
10.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11.有红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各三个,在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3,现任取出3个,它们的颜色号码均不相等的概率是 .
【分析】根据排列组合求出,所有的基本事件,再求出满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可.
【解答】解:
红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各三个,在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3,现任取出3个,共有C93=84,
它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种,
故它们的颜色号码均不相等的概率是=,
故答案为:
【点评】本题考查了古典概率问题,关键是利用排列组合,属于基础题.
12.设离散型随机变量ξ可能取到值为1,2,3,P(ξ)=ak+b(k=1,2,3),若ξ的数学期望Eξ=,则a+b= .
【分析】由已知得(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)=,且a+b+2a+b+3a+b=1,由此能求出a+b.
【解答】解:
∵设离散型随机变量ξ可能取到值为1,2,3,
P(ξ)=ak+b(k=1,2,3),ξ的数学期望Eξ=,
∴(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)=,且a+b+2a+b+3a+b=1,
解得a=,b=0,
∴a+b=.
故答案为:
.
【点评】本题考查代数式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用.
13.正整数a、b满足1<a<b,若关于x、y的方程组有且只有一组解,则a的最大值为 4031 .
【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|,从而讨论以去掉绝对值号,并确定方程的解的个数及条件,从而解得.
【解答】解:
由方程组消y可得,
4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|,
当x≤﹣a时,
4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b,
故x=b﹣a﹣4032,
故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a,即b≤4032时,有一个解;
即a≤4031时,有一个解;否则无解;
当﹣a<x≤1时,
4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b,
故x=4032﹣a﹣b,
故当﹣a<4032﹣a﹣b≤1,即b<4032且a+b≥4301时,有一个解;
即2015≤a≤4030,有一个解,
否则无解;
当1<x≤b时,
4033﹣2x=x+a+b﹣1,
故3x=4034﹣a﹣b,
故当3<4034﹣a﹣b≤3b,即a+b<4031且a+4b≥4304时,有一个解;
即≤a≤2014,方程有一个解,
否则无解;
当x>b时,
4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1,
故5x=4034﹣a+b,
故当4034﹣a+b>5b,即a+4b<4304时,有一个解;
否则无解;
综上所述,
当a取最大值4031时,方程有一个解,
故答案为:
4031.
【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用,属于中档题.
14.已知数列{an}中,若a1=0,ai=k2(i∈N*,2k≤i<2k+1,k=1,2,3,…),则满足ai+a2i≥100的i的最小值为
128 .
【分析】由题意可得ai+a2i=k2+(k+1)2≥100,从而解得.
【解答】解:
∵ai=k2(i∈N*,2k≤i<2k+1,k=1,2,3,…),
∴ai+a2i=k2+(k+1)2≥100,
故k≥7;
故i的最小值为27=128,
故答案为:
128.
【点评】本题考查了数列,注意i与2i的关系对k的影响即可.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1:
a1x+b1y+c1=0,l2:
a2x+b2y+c2=0,那么“=0是“两直线l1,l2平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【分析】两条直线平行时,一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立,反过来不一定成立,由此确定两者之间的关系
【解答】解:
若“=0则a1b2﹣a2b1=0,若a1c2﹣a2c1=0,则l1不平行于l2,
若“l1∥l2”,则a1b2﹣a2b1=0,∴=0,
故“=0是“两直线l1,l2平行的必要不充分条件,
故选:
B.
【点评】本题重点考查四种条件的判定,解题的关键是理解行列式的定义,掌握两条直线平行的条件.
16.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,虚数单位i的幂运算性质,化简复数到最简形式为a+bi(a、b∈R)的形式,
分析实部和虚部的大小关系.
【解答】解:
z=(m∈R,i为虚数单位)==,
此复数的实部为m﹣1,虚部为m+1,虚部大于实部,故复数的对应点不可能位于第四象限,
故选D.
【点评】本题考查复数的实部和虚部的定义,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质.
17.若△ABC的三条边a、b、c满足(a+b):
(b+c):
(c+a)=7:
9:
10,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
【分析】不妨设a+b=7,则b+c=9,c+a=10,求出a、b、c的值,再利用余弦定理求出最大角的余弦值,从而得出结论.
【解答】解:
∵(a+b):
(b+c):
(c+a)=7:
9:
10,不妨设a+b=7,则b+c=9,c+a=10,
求得a=4,b=3,c=6.
再利用余弦定理可得cosC==﹣<0,故C为钝角,
故选:
C.
【点评】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
18.若函数f(x)=lg[sin(πx)sin(2πx)sin(3πx)sin(4πx)]的定义域与区间[0,1]的交集由n个开区间组成,则n的值为( )
A.2B.3C.4D.5
【分析】由题意可得sin(πx)sin(2πx)sin(3πx)sin(4πx)>0,而当x∈(0,1)时,sin(πx)>0恒成立;当0<x<时,sin(2πx)>0,当<x<1时,sin(2πx)<0,问题变成了求在0<x<时,sin(3πx)与sin(4πx)同号得区间,及<x<1时,sin(3πx)与sin(4πx)异号的区间.然后由三角函数的象限符号求解即可.
【解答】解:
要使原函数有意义,则sin(πx)sin(2πx)sin(3πx)sin(4πx)>0,
当x∈(0,1)时,sin(πx)>0恒成立;
即sin(2πx)sin(3πx)sin(4πx)>0.
若sin(2πx)>0,得2kπ<2πx<π+2kπ,即k<x<,
取k=0,得0<x<;
若sin(2πx)<0,得π+2kπ<2πx<2π+2kπ,即<x<1+k,
取k=0,得<x<1;
∴只需sin(3πx)与sin(4πx)在(0,)上同号,在()上异号.
若sin(3πx)>0,得2kπ<3πx<π+2kπ,即<x<,
取k=0,得0<x<.取k=1,得;
若sin(3πx)<0,得π+2kπ<3πx<2π+2kπ,即<x<,
取k=0,得<x<;
若sin(4πx)>0,得2kπ<4πx<π+2kπ,即<x<,
取k=0,得0<x<.取k=1,得;
若sin(4πx)<0,得π+2kπ<4πx<2π+2kπ,即+<x<,
取k=0,得<x<.取k=1,得.
∴满足sin(πx)sin(2πx)sin(3πx)sin(4πx)>0且在[0,1]内的区间为:
(0,),(),(),(),共4个.
∴n的值为4.
故选:
C.
【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了三角函数的象限符号,是中档题.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
19.如图,小凳的凳面为圆形,凳脚为三根细钢管,考虑到钢管的受力等因素,设计的小凳应满足:
三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面,且P分细钢管上下两端的比值为0.618,三只凳脚与地面所成的角均为60°,若A、B、C是凳面圆角的三等分点,AB=18厘米,求凳面的高度h及三根细钢管的总长度(精确到0.01)
【分析】连结PO,AO,由题意PO⊥平面ABC,推导出∠PAO=60°,AO=6,PO=18,由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度.
【解答】解:
连结PO,AO,由题意PO⊥平面ABC,
∵凳面与地面平行,∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角,即∠PAO=60°,
在等边三角形ABC中,AB=18,∴AO=6,
在直角△PAO中,PO=AB=18,
由,解得h≈47.13cm,
三根钢管总长度为≈163.25cm.
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查空间图形的基本知识和基本技能,是中档题,解题时要认真审题,注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
20.已知函数f(x)=asinx+bcosx,其中a,b为非零实常数.
(1)f()=,f(x)的最大值为,求a,b的值;‘
(2)若a=1,x=是f(x)的图象的一条对称轴,求x0的值,使其满足f(x0)=,且x0∈[0,2π].
【分析】
(1)由f()=,可得a+b=2,又f(x)=sin(x+φ),其中tanφ=,f(x)的最大值为,可得:
=,联立即可解出a,b的值.
(2)由a=1,可得f(x)=sin(x+φ),其中tanφ=b,由题意+φ=kπ+,k∈z,可得φ,根据tan(kπ+)==b,可求φ,由f(x0)=,解得:
x0+=2kπ+,或x0+=2kπ+,k∈Z,
结合范围x0∈[0,2π],即可得解.
【解答】解:
(1)∵f()=(a+b)=,
∴a+b=2,①
∵f(x)=asinx+bcosx=(sinx+cosx)
=sin(x+φ),其中tanφ=,
∴f(x)的最大值为,可得:
=.②
∴联立①②可得:
,,
(2)∵a=1,
∴可得:
f(x)=sinx+bcosx=sin(x+φ),其中tanφ=b,
∵根据直线x=是其图象的一条对称轴,可得+φ=kπ+,k∈z,可得φ=kπ+,
∴tan(kπ+)=tan==b,
故φ=,
故f(x)=2sin(x+).
∵f(x0)=,可得:
2sin(x0+)=,解得:
x0+=2kπ+,或x0+=2kπ+,k∈Z,
解得:
x0=2kπ,或x0=2kπ+,k∈Z,
又∵x0∈[0,2π].
∴x0=0或或2π.
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式,正弦函数的图象和性质,涉及辅助角公式和三角函数的最值,属中档题.
21.已知函数f(x)=ax+,其中a>1:
(1)证明:
函数f(x)在(﹣1,∞)上为增函数;
(2)证明:
不存在负实数x0使得f(x0)=0.
【分析】
(1)令g(x)=ax,(a>1),则g(x)在R递增,令h(x)=,求出h(x)的导数,得到函数的单调性,从而判断出f(x)的单调性即可;
(2)通过讨论x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)>0,x∈(﹣1,0)时,f(x)<0,从而证明结论即可.
【解答】证明:
函数f(x)的定义域是(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞),
(1)函数f(x)=ax+,其中a>1,
令g(x)=ax,(a>1),则g(x)在R递增,
令h(x)=,则h′(x)=>0,
∴函数f(x)在(﹣1,∞)上为增函数;
(2)x∈(﹣∞,﹣1)时,0<ax<1,
=1﹣,
x→﹣∞时:
x+1→﹣∞,﹣→0,
x→﹣1时,﹣→+∞,
故x∈(﹣∞,﹣1)时:
f(x)∈(1,+∞),
x∈(﹣1,0)时,由
(1)得:
f(x)在(﹣1,0)递增,
而f(0)=a0+=﹣2,∴f(x)<0在(﹣1,0)恒成立,
综上:
不存在负实数x0使得f(x0)=0.
【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道中档题.
22.已知数列{an}的通项公式为an=(n﹣k1)(n﹣k2),其中k1,k2∈Z:
(1)试写出一组k1,k2∈Z的值,使得数列{an}中的各项均为正数;
(2)若k1=1、k2∈N*,数列{bn}满足bn=,且对任意m∈N*(m≠3),均有b3<bm,写出所有满足条件的k2的值;
(3)若0<k1<k2,数列{
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