上海市松江区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).doc
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松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
(满分150分,完卷时间120分钟)2018.12
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.设集合,,则▲.
2.若复数满足,则▲.
3.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称,且点在函数的图像上,则实数▲.
4.已知等差数列的前10项和为30,则▲.
5.若增广矩阵为的线性方程组无解,则实数的值为▲.
6.已知双曲线标准方程为,则其焦点到渐近线的距离为▲.
7.若向量,满足,且,,则向量与夹角为▲.
8.在中,内角、、所对的边分别是、、,若,则的面积▲.
9.若函数,则图像上关于原点对称的点共有▲对.
10.已知、、是单位圆上三个互不相同的点,若,则的最小值是▲.
11.已知向量,是平面内的一组基向量,为内的定点,对于内任意一点,当时,则称有序实数对为点的广义坐标.若点的广义坐标分别为.对于下列命题:
①线段的中点的广义坐标为;
②两点间的距离为;
③向量平行于向量的充要条件是;
④向量垂直于向量的充要条件是.
其中的真命题是▲.(请写出所有真命题的序号)
12.已知函数的定义域为,且和对任意的都成立.若当时,的值域为,则当时,函数的值域为▲.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分.
13.过点且与直线垂直的直线方程是
A.B.
C. D.
14.若,,则是的
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
15.将函数的图像向下平移1个单位,得到的图像,若,其中,则的最大值为
A. B. C. D.
16.对于平面上点和曲线,任取上一点,若线段的长度存在最小值,则称该值为点到曲线的距离,记作.若曲线是边长为的等边三角形,则点集所表示的图形的面积为
A.B.
C.D.
三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知向量,.
(1)若∥,求的值;
(2)若,求函数的最小正周期及当时的最大值.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知函数(常数)
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)当为奇函数时,若对任意的,都有成立,求的最大值.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分
某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品,产品上线第1个月的收入为40万元,预计在今后若干个月内,该产品每月的收入平均比上一月增长50%.同时,该产品第1个月的维护费支出为100万元,以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.
(1)分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出,并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出?
(2)从第几个月起,该产品的总收入首次超过总支出?
(总支出包括维护费支出和研发投资支出)
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分
已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为,直线交曲线于、两点,为坐标原点.
(1)求曲线的方程;
(2)若不过点且不平行于坐标轴,记线段的中点为.求证:
直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(3)若,求面积的取值范围.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
对于给定数列,若数列满足:
对任意,都有,则称数列是数列的“相伴数列”.
(1)若,且数列是的“相伴数列”,试写出的一个通项公式,并说明理由;
(2)设,证明:
不存在等差数列,使得数列是的“相伴数列”;
(3)设,(其中),若是的“相伴数列”,试分析实数的取值应满足的条件.
2018.12
松江区2018学年度第一学期高三期末考试
数学试卷参考答案
一、填空题
1.;2.1;3.2;4.12;
5.-1;6.1;7.8.
9.4;10.;11.①③;12.;
12.令,则有,即
当时,,又,∴
即当时,的值域为
∴当时,的值域为
∵
∴当时,的值域为,时,的值域为,
依此类推可知,当时,的值域为,
∴当时,的值域为
又,,当时,,
∴
综上,当时,函数的值域为.
二、选择题
13.A14.B15.A16.D
17.解:
(1)由得,,……………………………………2分
∴……………………………………………4分
∴……………………………………………6分
(2)………………………………………8分
…………………………………10分
∴函数的最小正周期为…………………………………12分
当时,
∴当,即时,…………………………………14分
18.解:
(1)若为奇函数,必有得,……………………2分
当时,,
∴当且仅当时,为奇函数………………………4分
又,,∴对任意实数,都有
∴不可能是偶函数………………………6分
(2)由条件可得:
恒成立,……8分
记,则由得,………………………10分
此时函数在上单调递增,………………………12分
所以的最小值是,………………………13分
所以,即的最大值是………………………14分
19.解:
记产品从第一个月起,每个月的收入为数列,每个月的维护费支出为数列,
则,………………………4分
(1)第6个月的收入为:
万元,
第6个月的维护费为:
万元,………………………6分
∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费………………………7分
(2)到第个月,该产品的总收入为…………9分
该产品的总支出为…………11分
由题意知,只需,即…………12分
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.
∴从第10个月起,该产品的总收入首次超过总支出………………14分
注:
20.解:
(1)由题意知曲线是以原点为中心,长轴在轴上的椭圆,…………1分
设其标准方程为,则有,
所以,∴…………4分
(2)证明:
设直线的方程为,……………………5分
设
则由可得,即
∴,∴……………………8分
,
,……………………9分
∴直线的斜率与的斜率的乘积=为定值…………10分
(3)解法一:
设
则由知,,即,∴………11分
………12分
因、两点在椭圆上,有
即也即
得∴…………………13分
又由得
∴∴…………………15分
∴…………………………………………16分
解法二:
当直线、分别与坐标轴重合时,易知的面积,…11分
当直线、的斜率均存在且不为零时,设直线、的方程为:
、,点,
由可得,
∴,代入得…………………………………12分
同理可得,
∴…………………………………………13分
令,,
则………14分
由知…………………………………………15分
综上可知,…………………………………………16分
21.解:
(1),…………………………………………2分
此时,
所以是数列的“相伴数列”.…………………………………………4分
注:
答案不唯一,只需是正负相间的数列.
(2)证明,假设存在等差数列是的“相伴数列”,则有…………5分
若,则由得…①,
又由得
又因为是等差数列,所以,得,与①矛盾…………7分
同理,当,则由得…②,
又由得
又因为是等差数列,所以,得,与②矛盾……………9分
所以,不存在等差数列,使得数列是的“相伴数列”………………10分
(3)由于,易知且,
①当时,,由于对任意,都有,
故只需,………………12分
由于,所以当时,,
故只需当时,,
即对恒成立,得;………………13分
②当时,
,,与矛盾,不符合题意;……14分
③当时,,
当时,,
故只需当时,,
即对恒成立,得;……………15分
④当时,,则,
下证只需:
若,则,
当时,,
当时,,
符合题意.……………17分
综上所述,实数的取值应满足的条件为:
或………………18分
高三数学第9页共9页
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