肇庆一中高一(9)班数学必修4测试3.doc
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高一(9)班数学必修4测试③
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若角600°的终边上有一点(-4,a),则a的值是( )
A.4B.-4
C.D.-
2.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,则实数m的值为( )
A.-B.C.2D.6
3.设向量a=(cosα,),若a的模长为,则cos2α等于( )
A.-B.-C.D.
4.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( )
A.B.2C.4D.12
5.tan17°+tan28°+tan17°tan28°等于( )
A.-B.C.-1D.1
6.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于( )
A.6B.5C.4D.3
7.要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cos(x-)的图象( )
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
8.设函数f(x)=sin(2x+),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的图象关于点(,0)对称
C.把f(x)的图象向左平移个单位,得到一个偶函数的图象
D.f(x)的最小正周期为π,且在[0,]上为增函数
9.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p=(sinA,1),q=(1,-cosB),则p与q的夹角是( )
A.锐角B.钝角
C.直角D.不确定
10.已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为的偶函数
11.设0≤θ≤2π,向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2-cosθ),则向量的模长的最大值为( )
A.B.C.2D.3
12.若将函数y=tan(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ωx+)的图象重合,则ω的最小值为( )
A.B.
C.D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知α、β为锐角,且a=(sinα,cosβ),b=(cosα,sinβ),当a∥b时,α+β=________.
14.已知cos4α-sin4α=,α∈(0,),则cos(2α+)=________.
15.若向量=(3,-1),n=(2,1),且n·=7,那么n·=________.
16.若θ∈[0,],且sinθ=,则tan=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<.
(1)若a⊥b,求θ;
(2)求|a+b|的最大值.
18.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若α∈(-,),f(α+)=,求sin(2α+)的值.
19.(12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.
(1)若函数f(x)=1-,且x∈[-,],求x;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出y=f(x)在[0,π]上的图象.
20.(12分)已知x∈R,向量=(acos2x,1),=(2,asin2x-a),f(x)=·,a≠0.
(1)求函数f(x)的解析式,并求当a>0时,f(x)的单调增区间;
(2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为5,求a的值.
21.(12分)已知函数f(x)=sin2(x+)-cos2x-(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(2)若A为锐角,且向量m=(1,5)与向量n=(1,f(-A))垂直,求cos2A的值.
22.(12分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α (1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值; (2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值. 高一(9)班数学必修4测试③参考答案 1.B [∵600°=360°+240°,是第三象限角.∴a<0. ∵tan600°=tan240°=tan60°==,∴a=-4.] 2.D [a·b=6-m=0,∴m=6.] 3.A [∵|a|==,∴cos2α=.∴cos2α=2cos2α-1=-.] 4.B [∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×12=12. ∴|a+2b|=2.] 5.D [tan17°+tan28°+tan17°tan28° =tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28° =1-tan17°tan28°+tan17°tan28°=1.] 6.C [∵a=(1,1),b=(2,5),∴8a-b=(6,3),∵(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=18+3x=30, ∴x=4.] 7.A [方法一 y=cos(x-)=sin(x+),向右平移个单位即得y=sin(x-+)=sinx,故选A. 方法二 y=sinx=cos(x-),y=cos(x-)y=cos(x-),无论哪种解法都需要统一函数名称.] 8.C [∵f()=0,∴A不正确.∵f()=cos=≠0,∴B不正确.f(x)向左平移个单位得 f(x)=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos2x,故C正确.] 9.A [∵△ABC是锐角三角形,∴A+B>.∴>A>-B>0. ∵函数y=sinx,x∈(0,)是递增函数,∴sinA>sin(-B).即sinA>cosB. ∴p·q=sinA-cosB>0. ∴p与q所成的角是锐角.] 10.D [f(x)=(1+cos2x)=(1-cos22x)=-× =-cos4x,∴T==,f(-x)=f(x),故选D.] 11.D [||==≤=3.] 12.D [由题意知tan[ω(x-)+]=tan(ωx+),即tan(ωx+-)=tan(ωx+). ∴-ω=kπ+,得ω=-6k+,则ωmin=(ω>0).] 13. 解析 ∵a∥b, ∴sinαsinβ-cosαcosβ=0即cos(α+β)=0. ∵0<α+β<π.∴α+β=. 14.- 解析 ∵cos4α-sin4α=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos2α=. 又2α∈(0,π).∴sin2α=. ∴cos(2α+)=cos2α-sin2α=-. 15.2 解析 n·=n·(-)=n·-n·=7-(2,1)·(3,-1)=7-5=2. 16. 解析 ∵sinθ=2sincos===. ∴2tan2-5tan+2=0, ∴tan=或tan=2. ∵θ∈[0,],∴∈[0,]. ∴tan∈[0,1],∴tan=. 17.解 (1)若a⊥b,则sinθ+cosθ=0. 由此得tanθ=-1(-<θ<),∴θ=-. (2)由a=(sinθ,1),b=(1,cosθ)得 a+b=(sinθ+1,1+cosθ), |a+b|===, 当sin(θ+)=1时,|a+b|取得最大值, 即当θ=时,|a+b|的最大值为+1. 18.解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π, ∴T=2π,则ω==1.∴f(x)=sin(x+φ). ∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+(k∈Z). 又0≤φ≤π,∴φ=,∴f(x)=cosx. (2)由已知得cos(α+)=. ∵α∈(-,).∴α+∈(0,). ∴sin(α+)=. ∴sin(2α+)=-sin(2α+)=-2sin(α+)cos(α+)=-. 19.解 (1)依题设得f(x)=2cos2x+sin2x =1+cos2x+sin2x=2sin(2x+)+1. 由2sin(2x+)+1=1-得sin(2x+)=-. ∵-≤x≤,∴-≤2x+≤, ∴2x+=-,即x=-. (2)-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z) 得函数单调增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z). x 0 π y 2 3 2 0 -1 0 2 20.解 (1)f(x)=2acos2x+asin2x-a=asin2x+acos2x=2asin(2x+). 当a>0时,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 故函数f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)由 (1)知f(x)=2asin(2x+). 当x∈[0,]时,2x+∈[,]. 若a>0,当2x+=时, f(x)max=2a=5,则a=; 若a<0,当2x+=时, f(x)max=-a=5,则a=-5. 所以a=或-5. 21.解 (1)f(x)=sin2(x+)-cos2x- =[(sinx+cosx)]2-cos2x- =sinxcosx-cos2x- =sin2x--=sin(2x-)-1, 所以f(x)的最小正周期为π,最小值为-2. (2)由m=(1,5)与n=(1,f(-A))垂直, 得5f(-A)+1=0, ∴5sin[2(-A)-]-4=0,即sin(2A-)=-. ∵A∈(0,),∴2A-∈(-,), ∵sin(2A-)=-<0, ∴2A-∈(-,0), ∴cos(2A-)=. ∴cos2A=cos[(2A-)+]=×+×=. 22.解 (1)∵b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=, ∴f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx). 令t=sinx+cosx(0 则y=g(t)=t2+t-1=(t+)2-,-1 ∴t=-时,y取得最小值,且ymin=-, 此时sinx+cosx=-. 由于0 所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为. (2)∵a与b的夹角为, ∴cos==cosαcosx+sinαsinx=cos(x-α). ∵0<α ∵a⊥c, ∴cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0. ∴sin(x+α)+2sin2α=0,sin(2α+)+2sin2α=0. ∴sin2α+cos2α=0.∴tan2α=-.
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