陕西省宝鸡市高考数学一模试卷理科解析版.doc
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2017年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)已知复数是纯虚数,则实数a=( )
A.﹣2 B.4 C.﹣6D.6
2.(5分)设集合M={x|x2﹣3x﹣4<0},N={x|﹣5≤x≤0},则M∩N=( )
A.(﹣1,0] B.[0,4) C.(0,4] D.[﹣1,0)
3.(5分)设x,y满足约束条件,若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=( )
A. B. C. D.
4.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法.执行该程序框图,输入分别为98,63,则输出的结果是( )
A.14 B.18 C.9 D.7
5.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sinA=( )
A. B. C. D.
6.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=cos(2x﹣)的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
7.(5分)我市正在建设最具幸福感城市,原计划沿渭河修建7个河滩主题公园.为提升城市品位、升级公园功能,打算减少2个河滩主题公园,两端河滩主题公园不在调整计划之列,相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整,则调整方案的种数为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
8.(5分)已知A,B,C三点都在以O为球心的球面上,OA,OB,OC两两垂直,三棱锥O﹣ABC的体积为,则球O的表面积为( )
A. B.16π C. D.32π
9.(5分)正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16a12,则+的最小值等于( )
A.1 B. C. D.
10.(5分)已知双曲线C:
mx2+ny2=1(mn<0)的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切,则C的离心率等于( )
A. B. C.或 D.或
11.(5分)在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N(不与A,C重合)为AC边上的两个动点,且满足||=,则•的取值范围为( )
A.[,2] B.(,2) C.[,2) D.[,+∞)
12.(5分)已知函数y=x2的图象在点(x0,x02)处的切线为l,若l也与函数y=lnx,x∈(0,1)的图象相切,则x0必满足( )
A.0<x0< B.<x0<1 C.<x0< D.<x0
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)若(ax﹣1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,且a0+a1+a2+…+a9=0,则a3= .
14.(5分)设函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣k有且只有两个零点,则实数k的取值范围是 .
15.(5分)如图,在Rt△ABC中,两条直角边分别为AB=2,BC=2,P为△ABC内一点,∠BPC=90°,若∠APB=150°,则tan∠PBA= .
16.(5分)我市在“录像课评比”活动中,评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课,则称A课不亚于B课.假设共有5节录像课参评,如果某节录像课不亚于其他4节,就称此节录像课为优秀录像课.那么在这5节录像课中,最多可能有 节优秀录像课.
三、解答题(本大题共5小题,共60分)
17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)若数列{}的前n项和为Tn,求证:
1≤Tn<3.
18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点,点F是PC的中点F.
(Ⅰ)证明:
PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若ABCD为正方形,探究在什么条件下,二面角C﹣AF﹣D大小为60°?
19.(12分)现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
20.(12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)经过(1,1)与(,)两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证:
++为定值.
21.(12分)设函数f(x)=ax2lnx+b(x﹣1)(x>0),曲线y=f(x)过点(e,e2﹣e+1),且在点(1,0)处的切线方程为y=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:
当x≥1时,f(x)≥(x﹣1)2;
(Ⅲ)若当x≥1时,f(x)≥m(x﹣1)2恒成立,求实数m的取值范围.
选修题[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.(10分)极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ).
(1)求C的直角坐标方程;
(2)直线l:
为参数)与曲线C交于A,B两点,与y轴交于E,求|EA|+|EB|的值.
五、选修4-5:
不等式选讲
23.(10分)已知函数f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|x﹣1|+2.
(1)解不等式|g(x)|<5;
(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
2017年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)(2017•宝鸡一模)已知复数是纯虚数,则实数a=( )
A.﹣2 B.4 C.﹣6 D.6
【分析】化简复数,由纯虚数的定义可得关于a的式子,解之可得.
【解答】解:
化简可得复数==,
由纯虚数的定义可得a﹣6=0,2a+3≠0,
解得a=6
故选:
D
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,涉及纯虚数的定义,属基础题.
2.(5分)(2017•宝鸡一模)设集合M={x|x2﹣3x﹣4<0},N={x|﹣5≤x≤0},则M∩N=( )
A.(﹣1,0] B.[0,4) C.(0,4] D.[﹣1,0)
【分析】求出M中不等式的解集确定出M,找出M与N的交集即可.
【解答】解:
由M中不等式变形得:
(x﹣4)(x+1)<0,
解得:
﹣1<x<4,即M=(﹣1,4),
∵N=[﹣5,0],
∴M∩N=(﹣1,0],
故选:
A.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
3.(5分)(2017•宝鸡一模)设x,y满足约束条件,若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=( )
A. B. C. D.
【分析】由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,进一步求出最值,结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值.
【解答】解:
由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(1,2),
联立,解得B(m﹣1,m),
化z=x+3y,得.
由图可知,当直线过A时,z有最大值为7,
当直线过B时,z有最大值为4m﹣1,
由题意,7﹣(4m﹣1)=7,解得:
m=.
故选:
C.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
4.(5分)(2017•宝鸡一模)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法.执行该程序框图,输入分别为98,63,则输出的结果是( )
A.14 B.18 C.9 D.7
【分析】由已知中的程序框图可知:
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:
模拟执行程序,可得:
m=98,n=63,
第一次执行循环体,r=35,m=63,n=35,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体,r=28,m=35,n=28,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体,r=7,m=28,n=7,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体,r=0,m=7,n=0,满足退出循环的条件;
故输出的m值为7.
故选:
D.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答,属于基础题.
5.(5分)(2017•宝鸡一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sinA=( )
A. B. C. D.
【分析】由内角和定理及诱导公式知sin(A+B)=sinC=,再利用正弦定理求解.
【解答】解:
∵A+B+C=π,
∴sin(A+B)=sinC=,
又∵a=3,c=4,
∴=,
即=,
∴sinA=,
故选B.
【点评】本题考查了三角形内角和定理及诱导公式,正弦定理的综合应用.
6.(5分)(2017•宝鸡一模)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=cos(2x﹣)的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【分析】利用诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:
把函数y=cos(2x﹣)=sin(2x﹣)的图象向左平移个单位长度,
可得y=sin[2(x+)﹣]=sin(2x﹣)的图象,
故选:
A.
【点评】本题主要考查诱导公式的应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,统一这两个三角函数的名称,是解题的关键,属于基础题.
7.(5分)(2017•宝鸡一模)我市正在建设最具幸福感城市,原计划沿渭河修建7个河滩主题公园.为提升城市品位、升级公园功能,打算减少2个河滩主题公园,两端河滩主题公园不在调整计划之列,相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整,则调整方案的种数为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
【分析】利用间接法,任选中间5个的2个,再减去相邻的4个,问题得以解决.
【解答】解:
利用间接法,任选中间5个的2个,再减去相邻的4个,故有C52﹣4=6种,
故选:
C.
【点评】本题考查组合的应用,要灵活运用各种特殊方法,属于基础题.
8.(5分)(2017•宝鸡一模)已知A,B,C三点都在以O为球心的球面上,OA,OB,OC两两垂直,三棱锥O﹣ABC的体积为,则球O的表面积为( )
A. B.16π C. D.32π
【分析】设球O的半径为R,则OA=OB=OC=R,所以三棱锥O﹣ABC的体积为,利用三棱锥O﹣ABC的体积为,求出R,即可求出球O的表面积.
【解答】解:
设球O的半径为R,则OA=OB=OC=R,
所以三棱锥O﹣ABC的体积为.
由,解得R=2.
故球O的表面积为16π.
故选:
B.
【点评】本题考查球的表面积的求法,球的内含体与三棱锥的关系,考查空间想象能力以及计算能力.
9.(5分)(2017•宝鸡一模)正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16a12,则+的最小值等于( )
A.1 B. C. D.
【分析】设正项等比数列{an}的公比为q,(q>0),运用等比数列的通项公式,解方程可得q=2,由条件可得m+n=6,运用乘1法和基本不等式,计算即可得到所求最小值.
【解答】解:
设正项等比数列{an}的公比为q,(q>0),
由a2016=a2015+2a2014,得q2=q+2,
解得q=2或q=﹣1(舍去).
又因为aman=16a12,即a12•2m+n﹣2=16a12,
所以m+n=6.
因此
=≥(5+2)=,
当且仅当m=4,n=2时,等号成立.
故选:
B.
【点评】本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,考查等比数列的通项公式,考查运算能力,属于中档题.
10.(5分)(2017•宝鸡一模)已知双曲线C:
mx2+ny2=1(mn<0)的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切,则C的离心率等于( )
A. B. C.或 D.或
【分析】讨论当m>0,n<0时,双曲线的焦点在x轴上,求得渐近线方程,圆的圆心和半径,运用相切的条件:
d=r,由点到直线的距离公式化简可得16m=﹣9n,化双曲线方程为标准方程,运用离心率公式计算可得;同样讨论当m<0,n>0时,双曲线的焦点在y轴上,可得离心率.
【解答】解:
当m>0,n<0时,双曲线的焦点在x轴上,
可得渐近线方程为x±y=0,
圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的圆心为(3,1),半径为1,
由题意可得d==1,
化简可得16m=﹣9n,
双曲线C:
mx2+ny2=1的标准方程为﹣=1(m>0,n<0),
a2=,b2=﹣,
离心率为====;
当m<0,n>0时,双曲线的焦点在y轴上,
可得渐近线方程为x±y=0,
圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的圆心为(3,1),半径为1,
由题意可得d==1,
化简可得16m=﹣9n,
双曲线C:
mx2+ny2=1的标准方程为﹣=1(m<0,n>0),
a'2=,b'2=﹣,
离心率为===.
综上可得,离心率为或.
故选:
D.
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用分类讨论思想方法,结合直线和圆相切的条件:
d=r,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
11.(5分)(2017•宝鸡一模)在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N(不与A,C重合)为AC边上的两个动点,且满足||=,则•的取值范围为( )
A.[,2] B.(,2) C.[,2) D.[,+∞)
【分析】以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴,建立平面直角坐标系,写出直线AC的方程,设出M的坐标,由||表示出点N的坐标,求出、与它们的数量积•的取值范围即可.
【解答】解:
以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴,建立平面直角坐标系,
如图所示;则B(0,0),直线AC的方程为x+y=2;
设M(a,2﹣a),则0<a<1,
由||=,得N(a+1,1﹣a);
∴=(a,2﹣a),=(a+1,1﹣a);
∴•=a(a+1)+(2﹣a)(1﹣a)=2a2﹣2a+2=2(a﹣)2+.
∵0<a<1,∴当a=时,•取得最小值,
且a=0或1时,•=2,无最大值;
∴•的取值范围是[,2).
故选:
C.
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题,采用坐标法可使问题计算简便,注意a的范围是解题的关键.
12.(5分)(2017•山西二模)已知函数y=x2的图象在点(x0,x02)处的切线为l,若l也与函数y=lnx,x∈(0,1)的图象相切,则x0必满足( )
A.0<x0< B.<x0<1 C.<x0< D.<x0
【分析】求出函数y=x2的导数,y=lnx的导数,求出切线的斜率,切线的方程,可得2x0=,lnm﹣1=﹣x02,再由零点存在定理,即可得到所求范围.
【解答】解:
函数y=x2的导数为y′=2x,
在点(x0,x02)处的切线的斜率为k=2x0,
切线方程为y﹣x02=2x0(x﹣x0),
设切线与y=lnx相切的切点为(m,lnm),0<m<1,
即有y=lnx的导数为y′=,
可得2x0=,切线方程为y﹣lnm=(x﹣m),
令x=0,可得y=lnm﹣1=﹣x02,
由0<m<1,可得x0>,且x02>1,
解得x0>1,
由m=,可得x02﹣ln(2x0)﹣1=0,
令f(x)=x2﹣ln(2x)﹣1,x>1,
f′(x)=2x﹣>0,f(x)在x>1递增,
且f()=2﹣ln2﹣1<0,f()=3﹣ln2﹣1>0,
则有x02﹣ln(2x0)﹣1=0的根x0∈(,).
故选:
D.
【点评】本题考查导数的运用:
求切线的方程和单调区间,考查函数方程的转化思想,以及函数零点存在定理的运用,属于中档题.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)(2017•宝鸡一模)若(ax﹣1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,且a0+a1+a2+…+a9=0,则a3= 84 .
【分析】根据题意,令x=1求出a0+a1+a2+…+a9的值,从而求出a的值;再利用二项式展开式的通项公式求出a3的值.
【解答】解:
(ax﹣1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,
令x=1,得(a﹣1)9=a0+a1+a2+…+a9=0,
∴a=1;
∴(x﹣1)9展开式的通项公式为:
Tr+1=•x9﹣r•(﹣1)r,
令9﹣r=3,解得r=6;
∴a3=•(﹣1)6=84.
故答案为:
84.
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了赋值法求二项式展开式的特殊项问题,是基础题目.
14.(5分)(2017•宝鸡一模)设函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣k有且只有两个零点,则实数k的取值范围是 (,+∞) .
【分析】根据题意,分析可得若函数y=f(x)﹣k有且只有两个零点,则函数y=f(x)的图象与直线y=k有且只有两个交点;作出函数y=f(x)的图象,分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围,即可得答案.
【解答】解:
根据题意,若函数y=f(x)﹣k有且只有两个零点,
则函数y=f(x)的图象与直线y=k有且只有两个交点,
而函数f(x)=,其图象如图,
若直线y=k与其图象有且只有两个交点,必有k>,即实数k的取值范围是(,+∞);
故答案为:
(,+∞).
【点评】本题考查函数零点的判断方法,关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题.
15.(5分)(2017•宝鸡一模)如图,在Rt△ABC中,两条直角边分别为AB=2,BC=2,P为△ABC内一点,∠BPC=90°,若∠APB=150°,则tan∠PBA= .
【分析】由题意设∠PBA=α,在Rt△PBC中求出PB,在△PBA中,由∠APB=150°和内角和定理求出∠PAB,由正弦定理列出方程,由两角差的正弦函数化简后,由商的关系求出tan∠PBA的值.
【解答】解:
由题意知:
∠ABC=∠BPC=90°,AB=2,BC=2
设∠PBA=α,在Rt△PBC中,
PB=BCcos(90°﹣α)=2sinα,
在△PBA中,∠APB=150°,则∠PAB=30°﹣α,
由正弦定理得,,
则,即,
sinα=2(cosα﹣sinα),
化简得4sinα=cosα,则tanα=,
所以tan∠PBA=,
故答案为:
.
【点评】本题考查正弦定理,两角差的正弦函数,以及商的关系的应用,考查分析问题、解决问题的能力.
16.(5分)(2017•宝鸡一模)我市在“录像课评比”活动中,评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课,则称A课不亚于B课.假设共有5节录像课参评,如果某节录像课不亚于其他4节,就称此节录像课为优秀录像课.那么在这5节录像课中,最多可能有 5 节优秀录像课.
【分析】记这5节录像课为A1﹣A5,设这5节录像课为先退到两节录像课的情形,若A1的点播量>A2的点播量,且A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀录像课最多可能有2部,以此类推可知:
这5节录像课中,优秀录像课最多可能有5部.
【解答】解:
记这5节录像课为A1﹣A5,
设这5节录像课为先退到两节录像课的情形,若A1的点播量>A2的点播量,
且A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀录像课最多可能有2部;
再考虑3节录像课的情形,若A1的点播量>A2的点播量>A3的点播量,
且A3的专家评分>A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀录像课最多可能有3部.
以此类推可知:
这5节录像课中,优秀录像课最多可能有5部.
故答案为:
5.
【点评】本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,分析这5节录像课为先退到两部电影是关键.
三、解答题(本大题共5小题,共60分)
17.(12分)(2017•宝鸡一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)若数列{}的前n项和为Tn,求证:
1≤Tn<3.
【分析】(I)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出.
(II)=,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】(I)解:
∵Sn=2an﹣2,∴a1=2a1﹣2,解得a1=2,
n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2),化为:
an=2an﹣1,
∴数列{an}是等比数列,首项为2,公比为2.
∴an=2n.
(II)证明:
=,
∴数列{}的前n项和Tn=++…+,
=+…++,
∴=1++…+﹣=﹣=﹣,
∴Tn=3﹣∈[1,3).
∴1≤Tn<3.
【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.(12分)(2017•宝鸡一模)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点,点F是PC的中点F.
(Ⅰ)证明:
PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若ABCD为正方形,探究在什么条件下,二面角C﹣AF﹣D大小为60°?
【分析】(Ⅰ)连接BD,设AC∩BD=O,连结OE,则PB∥EO,由此能证明PB∥平面AEC.
(Ⅱ)由题意知AD,AB,AP两两垂直,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出当AP等于正方形ABCD的边长时,二面角C﹣AF﹣D的大小为60°.
【解答】证明:
(Ⅰ)连接BD,设AC∩BD=O,连结OE,
∵四边形ABCD为矩形,
∴O是BD的中点,
∵点E是棱PD的中点,
∴PB∥EO,
又PB⊄平面AEC,EO⊂平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
解:
(Ⅱ)由题意知AD,AB,AP两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz,
设AB=2a,AD=2b,AP=2c,
则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).
设AC∩BD=O,连结OE,则O(a,b,0),E(0,b,c).
因为,,
所以,所以∥,a=b,A(0,0,0),B(2a,0,0),
C(2a,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2c),E(0,a,c),F(a,a,c),
因为z轴⊂平面CAF,所以设平面CAF的一个法向量为=(x,1,0),
而,所以=2ax+2a=0,得x=﹣1,所以=(﹣1,1,0).
因为y轴⊂平面DAF,所以设平面DAF的一个法向量为=(1,0,z),
而,所以=a+cz=0,得,
所以=(1,0,﹣)∥=(c,0,﹣a).
cos60°==,得a=c.
即当AP等于正方形ABCD的边长时,二面角C﹣AF﹣D的大小为60°.
【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的大小的
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