浙江省各年高考卷中圆锥曲线大题.docx
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圆锥曲线大题
1、如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(Ⅰ)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴;
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
5.答案:
(1)略;
(2).
解答:
(1)设,,,
则中点为,由中点在抛物线上,可得,
化简得,显然,
且对也有,
所以是二次方程的两不等实根,
所以,,即垂直于轴.
(2),
由
(1)可得,,
,
此时在半椭圆上,
∴,
∵,∴,
∴,
,
所以,
,所以,
即的面积的取值范围是.
2、如图,已知抛物线,点A,,抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;
(Ⅱ)求的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
解得点Q的横坐标是,因为|PA|==
|PQ|=,所以|PA||PQ|=
令,因为,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,取得最大值.
3、如图,设椭圆(a>1).
(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);
(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
【答案】(I);(II).
(II)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足
.
记直线,的斜率分别为,,且,,.
由(I)知,
,,
故
,
所以.
由于,,得
,
因此
,①
因为①式关于,的方程有解的充要条件是
,
所以
.
因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
,
由得,所求离心率的取值范围为.
4、已知椭圆上两个不同的点,关于直线对称.
(1)求实数的取值范围;
(2)求面积的最大值(为坐标原点).
5、如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.
(1)已知直线的斜率为,用表示点的坐标;
(2)若过原点的直线与垂直,证明:
点到直线的距离的最大值为.
71.(I)设直的方程为,由,消去得,,由于直线与椭圆只有一个公共点,故,即,解得点的坐标为,由点在第一象限,故点的坐标为;
(II)由于直线过原点,且与垂直,故直线的方程为,所以点到直线的距离,整理得,因为,所以,当且仅当时等号成立,所以点到直线的距离的最大值为.
6、如图,点P(0,−1)是椭圆C1:
(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:
x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
x
O
y
B
l1
l2
P
D
A
(第21题图)
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力
【答案解析】
(Ⅰ)由题意得
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx−1.
又圆C2:
x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=,
所以|AB|=2=2.
又l1^l2,故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由 消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0
故x0=−.
所以|PD|=.
设△ABD的面积为S,则S=|AB|×|PD|=,
所以S=£=,
当且仅当k=±时取等号
所以所求直线l1的方程为y=±x−1
7、如图,椭圆C:
(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程.
【解析】
(Ⅰ)由题:
;
(1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:
.
(2)
由
(1)
(2)可解得:
.
∴所求椭圆C的方程为:
.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:
y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在椭圆上,
∴.
设直线AB的方程为l:
y=﹣(m≠0),
代入椭圆:
.
显然.
∴﹣<m<且m≠0.
由上又有:
=m,=.
∴|AB|=||==.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:
.
∴SABP=d|AB|=|m+2|,
当|m+2|=,即m=﹣3orm=0(舍去)时,(SABP)max=.
此时直线l的方程y=﹣.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)y=﹣.
8、已知抛物线=,圆的圆心为点M。
(Ⅰ)求点M到抛物线的准线的距离;
(Ⅱ)已知点P是抛物线上一点(异于原点),过点P作圆的两条切线,交抛物线于A,B两点,若过M,P两点的直线垂足于AB,求直线的方程.
21.本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
满分15分。
(I)解:
由题意可知,抛物线的准线方程为:
所以圆心M(0,4)到准线的距离是
(II)解:
设,
则题意得,
设过点P的圆C2的切线方程为,
即 ①
则
即,
设PA,PB的斜率为,则是上述方程的两根,所以
将①代入
由于是此方程的根,
故,所以
由,得,
解得
即点P的坐标为,
所以直线的方程为
9、
已知m>1,直线,
椭圆,分别为椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,,
的重心分别为.若原点在以线段
为直径的圆内,求实数的取值范围.
解析:
本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
(Ⅰ)解:
因为直线经过,
所以,得,
又因为,
所以,
故直线的方程为。
(Ⅱ)解:
设。
由,消去得
则由,知,
且有。
由于,
故为的中点,
由,
可知
设是的中点,则,
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
10、已知椭圆:
的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设点在抛物线:
上,在点处
的切线与交于点.当线段的中点与的中
点的横坐标相等时,求的最小值.
32.解析:
(I)由题意得所求的椭圆方程为,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MN的方程为,将上式代入椭圆的方程中,得,即,因为直线MN与椭圆有两个不同的交点,所以有,
设线段MN的中点的横坐标是,则,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设线段PA的中点的横坐标是,则,由题意得,即有,其中的或;
当时有,因此不等式不成立;因此,当时代入方程得,将代入不等式成立,因此的最小值为1.
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- 浙江省 年高 考卷 圆锥曲线